(k?1)(k)?4||x?x||?10?要求当时迭代终止。
?5x1?2x2?x3??12;???x1?4x2?2x3?20;?2x?3x?10x?3.23?1
11. 设有方程组Ax?b，其中A为对称正定阵，迭代公式
?时上述迭代法收敛（其中0????(A)??）。
(k?1)(k?1)xAx?bi12. 用高斯－塞德尔方法解，用记x的第i个分量，且
试证明当
0???2x(k?1)?x(k)??(b?Ax(k)), (k?0,1,2,?)
ri(k?1)i(k)i(k?1)?bi??aijxj?1i?1(k?1)j??aijxi(k)j?in。
ri(k?1)x?x?ai；
(a) 证明
(k)?x(k)?x?，其中x?是方程组的精确解，求证： (b) 如果??ri其中
(c) 设A是对称的，二次型
(k?1)(k?1)i??(k)i??aij?j?1i?1ri(k?1)?aii
(k?1)j??aij?i(k)j?in。
Q(?(k))?(A?(k),?(k))
Q(?(k?1))?Q(?(k))???n(rj(k?1))2aj?1jj证明 。 (d) 由此推出，如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯－塞德尔方法对任意初始向
量x是收敛的，则A是正定阵。
13. 设A与B为n阶矩阵，A为非奇异，考虑解方程组 其中z1,z2,d1,d2?R。
(a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 (b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 比较两个方法的收敛速度。 14. 证明矩阵
(m?1)(m)(m?1)(m)Az1?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m?0);
n(0)Az1?Bz2?b1,Bz1?Az2?b2,
(m?1)(m)(m?1)(m?1)Az1?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m?0);
?1aa??A??a1a????aa1??
111??a?1??a?2是收敛的。 对于2是正定的，而雅可比迭代只对2?51?02A???3?1??0315. 设
23?04??2?1??07?，试说明A为可约矩阵。 (k?1)?Cx(k)?g，其中C?Rn?n(k?0,1,2,?)，试证明：如果C的16. 给定迭代过程，x特征值i，则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。
17. 画出SOR迭代法的框图。
18. 设A为不可约弱对角优势阵且0???1，求证：解Ax?b的SOR方法收敛。 19. 设Ax?b，其中A为非奇异阵。 (a) 求证AA为对称正定阵；
T2cond(AA)?(cond(A))22(b) 求证。
T?(C)?0(i?1,2,?)