第五讲 振动与波
1．如图所示，用一个小重球A和一根长为l的轻杆组成一个单摆.杆的一端用铰链固定在天花板上的B点.未发生形变时长度相同的两根轻弹簧，一端固定在小球上，另一端分别固定在天花板上的O点和K点，O、K与B的距离均为l.已知弹簧和杆的运动都在同一个竖直平面内运动，求单摆微小振动的周期. 2．两位外星人A和B生活在一个没有自转的匀质球形星体上.有一次他们决定进行一次比赛，看谁先到达星球的对径位置上.A计划沿着星体直径开一个通道，采用自由下落的方式到达对径位置；B计划像卫星一样沿着紧贴星球表面的空间轨道飞到对径位置.问：谁会赢得这场比赛？
3．在两个向相反方向转动的小轴上，水平地放一块匀质的木板，木板质量为m，两轴心相距2l（如图）.木板与轴之间的动摩擦因数为μ.如果使木板的重心偏离两轴的中心位置，试分析木板的运动情况.
4．劲度系数都是100N·m的两根弹簧共同系住一个质量M=2kg的木块，地面水平且光滑.将M拉离平衡位置10cm后由静止释放（如图）.试求： （1）木块振动的周期； （2）在木块平衡位置上方1cm高处，有一团质量为0.4kg的粘泥，
当木块通过平衡位置时恰好落到木块上并随之一起振动，求此后的振幅.
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5．广而深的静水池中竖立一固定细杆，其露出水面部分套着一个长度为L、密度ρ、截面均匀的匀质细管.细管可沿杆无摩擦地上下滑动.现用手持管，使管的下端刚刚与水面接触，放手后管竖直下沉.设水的密度为ρ水，不计水的阻力和表面张力.
（1）当管的密度ρ等于某一值ρ0时，管能下沉到刚好全部没入水中，求ρ0. （2）在ρ=ρ0的情况下，管下沉所经历的时间是多少？ （3）设管的密度ρ=2ρ水/3，管下沉到最后位置所需的时间.
6．在劲度系数为k的弹簧下面悬挂一质量为的盘.盘不动时，一个质量为m的质点自高h处落入盘中，与盘发生完全非弹性碰撞，以碰后肯时为计时起点，求盘的振动方程（如图）.
7．一重物被一弹性轻绳悬挂，平衡时弹性绳被拉长了l0，已知弹性绳的弹力F=βl2（l为其伸长）.求重物在其平衡位置附近做上下小振动时的周期.
8．一个单摆，由一根刚性轻杆和杆端的重物组成，做振幅很小的自由振动.如果在杆上某点再固定一个和杆端重物质量相同的重物，使单摆变成一个异形复摆，摆的振动周期最多能改变百分之几？
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9．在边长为a的正方形四个顶点上分别固定电量均为Q的四个点电荷，在对角线交点上放一个质量为m，电量为q（与Q同号）的自由点电荷.若将q沿着对角线移动一个小的距离，它是否会做周期性振动？若会其周期是多少？
10．五根自由状态下长度相同、劲度系数同为k的轻弹簧，在光滑的水平面上连接成如图所
示的系统.现将A点固定，B点连接一个质量为m的小球.试求小球沿AB方向偏离平衡位置做微小振动的周期.
11．用三根竖直的、长度相同且不可伸长的细轻绳将一个重环悬挂起来，环上的拴绳点彼此
距离相等.如果借助一些重量不计的辐条，将一个和环的质量相同的小重物固定在环心的位置上.问：环的微小扭转振动的周期将会如何转变？
12．一简谐振动的系统如图，不计一切摩擦，绳不可伸长，m1、m2及弹簧的戏度系数k已知.
求m2上下振动的周期.
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13．如图所示，弹簧与细绳质量可忽略，不计摩擦.m1、m2、M及k均为已知.设细绳较长，
能使滑轮上、下振动一段时间，试求滑轮的振动周期.
14．光滑水平桌面上的轻弹簧弹簧端分别连着m1=1kg和m2=2kg的物体，弹簧自然长度
l0=0.2m，颈度系数k=100N·m.现设法用外力使m2沿着m1指向m2的方向以恒加速度a=5m/s2运动.若从m2由静止开始加速运动时开始计时，求弹簧长度及外力随时间变化的规律.
15．两质量相同的木块，用一根质量可忽略、劲度系数为k的弹簧相连（如图），置于靠墙光
滑的水平地面上.若先把弹簧压缩d0，然后释放，问： （1）木块B离开墙后，两木块相对于它们的中点C将做什么运动？ （2）试求出反映此运动特征的主要物理量.
16．颈度系数为k的轻弹簧悬挂着一块质量为m的圆木板B静止.在圆木板上方高h处自由
落下质量也为m的环形木板C，与B做完全非弹性碰撞（如图），问： （1）要保证以后C和B一起起而不分离，h的最大限度hmax为多少？ （2）若h>hmax，C与B分离时的速度为多大？
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17．用两根长度均为L的轻杆，把质量为m的小球悬挂在水平杆AB上，球可以前后振动两
杆间夹角为θ.现把AB杆在竖直面内转过一个小角α（如图），求这时摆摆动的周期.
18．在天花板下用两根长度同为l的轻绳悬吊一质量为M的光滑匀质木板，板中央有一质量为m的小滑块（如图）.开始时系统静止，然后使板有一个水平的纵向小速度v0，试求振动周期.
19．在两条柔软的弹性轻绳中间连接着一个小球.而这两条绳的另一端分别固定于同一竖直线上的O、O′点，如图所示.已知上、下绳的颈度系数分别为k1=8.0N·m和k2=12.0N·m,小球静止不动时位于图上C点处，这时上、下绳相对于各自的自然长度分别伸长了l1=0.080m和l2=0.030m.现在将小球沿竖直方向下拉到与平稳位置C的距离为l3=0.080m处，然后轻轻释放.求小球从释放开始到第一次回到该释放点所需要的时间.（计算时可取g=10.0m/s2）
20．在平缓的海滩上会看到，不论海中波向什么方向传播，波到岸边时的方向总是垂直于岸
边的，怎样解释这个现象？（提示：水面波的传播速度与水的深度有关，水越浅，波速越小.）
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21．相距l=100m的两个波源沿着它们的边线方向，向两边发出平面简谐波.两波源频率同为
f=50Hz，振幅同为A=0.1m.波长同为λ=2m，振动相位相反.求两波源之间发生干涉相长和相消的各点的位置，以及两波源外侧各点的振幅.
22．在单行道上，有一支乐队沿同一方向前进，乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们靠近.
此时，乐队正奏出频率为440Hz的音调.在乐队前面街上有一固定话筒作现场转播.旅行 者从车上的收音机收听演奏.
旅行者发现从前面乐队直接听到的声音和从广播听到的声音混合后产生拍，并测出三秒
钟有四拍.车速为18km/h，试计算乐队前进的速度.已知声速为330m/s.
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