1．讨论下列是函数列在所示区间D上是否一致收敛，并说明理由： （1）fn(x)?x,n?1,2,?,D?(??,??); 221?nx1??(n?1)x?1,0?x???n?1,n?1,2,? (2) fn(x)??1?0, ?x?1?n?1?x,n?1,2,?,(i)D?[0,??),(ii)D?[0,1000]. nx (4) fn(x)?sin,n?1,2,?,(i)D?[?l,l],(ii)D?(??,??).
n (3) fn(x)? 2. 证明: 设fn(x)?f(x),x?D,an?0(n??)(an?0).若对每一个正整数n,有
|fn(x)?f(x)|?an,x?D,则{fn(x)}在D上一致收敛于f.
3. 判别下列函数项级数在所示区间的一致收敛性:
xn (1) ?,x?[?r,r];
(n?1)!(?1)n?1x2 (2) ?,x?(??,??).
(1?x2)n(3)
n?xn,|x|?r?1.
(?1)n?1,x?(??,??). (4) ?2x?nx2 (5) ?,x?(??,??). 2n?1(1?x) 4. 设函数项级数
n?u(x)在D上一致收敛于S(x)，函数g(x)有D上有界. 证明级数
n?g(x)u(x)在D上一致收敛于g(x)S(x).
5. 若在区间I上,对任何正整数n,
|un(x)|?vn(x),
证明当
?v(x)在I上一致收敛时,级数?u(x)在I上一致收敛.
nn 6. 设un(x)(n?1,2,?)是[a,b]上的单调函数,证明:若则
?u(a)与?u(b)都绝对收敛,
nn?u(x)在[a,b]上绝对且一致收敛.
n7. 在[0,1]上定义函数列
1?1,x?,??nnun(x)??n?1,2,?,
1?0, x?,?n?证明级数
?u(x)在[0,1]上一致收敛.
n 8. 讨论下列各函数列{fn(x)}在所定义的区间上: (a) {fn(x)}与{fn?}的一致收敛性;
(b) {fn}是否有定理13.9, 13.10, 13.11的条件与结论. (1) fn(x)?2x?n,x?[0,b]; x?nxn,x?[0,1]; (2) fn(x)?x?n9. 证明: 若函数列{fn(x)}在[a,b]满足定理13.11的条件,则{fn(x)}在[a,b]上一致收敛.
xxn?110.设s(x)??2,x?[?1,1],计算积分?S(t)dt.
0n?1n?xcosnx11. S(x)??,x?(??,??),计算?S(t)dt.
0n?1nn??12. S(x)??ne?nx,x?0,计算?n?1ln3ln2S(t)dt.
13.证明: 函数f(x)?sinnx?n3在(??,??)上连续,且有连续的导函数.
14. 证明: 定义在[0,2?]上的函数项级数
??rn?0?ncosnx(0?r?1),满足定理13.13的条件,且
?
2?0(?rncosnx)dx?2?.
n?0