最小平均成本为
C(50)?[125q?3?100q]q?50 =
125?50?3?10050= 7（万元）
3. 生产某种产品的固定费用是1000万元，每多生产1台该种产品，其成本增加10万元，又知对该产品的需求为q =120-2p (其中q是产销量，单位：台；p是价格，单位：万元). 求 (1) 使该产品利润最大的产量；
(2) 使利润最大的产量时的边际收入.
解（1）设总成本函数为C(q)，收入函数为R(q)，利润函数为L(q)，于是 C(q) =10q +1000 (万元)
R(q) = qp =60q?12q (万元)
12q?1000(万元)
22 L(q) = R(q)-C(q) =50q? L?(q)?50?q?0
得到 q = 50(台)。 因为驻点唯一，故q = 50台是所求最小值点。即生产50台的该种产品能获最大利润。 (2) 因为 R(q)=60q?12q，
2 边际收入 R?(q)= 60-q (万元/台) ， 所以 R?(50)= 60 – 50。
1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C?(x)=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为
?C??64(2x?40)dx=(x2?40x)64= 100（万元）
又 C(x)???x0C?(x)dx?c0x=
x2?40x?36x =x?40?36x
令 C(x)?1?36x2?0， 解得x?6.
x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.
2．已知某产品的边际成本C?(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益R?(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 解 因为边际利润
L?(x)?R?(x)?C?(x)=12-0.02x –2 = 10-0.02x
令L?(x)= 0，得x = 500
x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为
?L??550500(10?0.02x)dx?(10x?0.01x)2550500 =500 - 525 = - 25 （元）
即利润将减少25元.
3．生产某产品的边际成本为C?(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R?(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
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解 L?(x) =R?(x) -C?(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x 令L?(x)=0, 得 x = 10（百台）
又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 L??1210L?(x)dx??1210(100?10x)dx?(100x?5x)21210??20
即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.
4．已知某产品的边际成本为C?(q)?4q?3(万元/百台)，q为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.
解：因为总成本函数为
C(q)??(4q?3)dq=2q2?3q?c
当q= 0时，C(0) = 18，得 c =18
即 C(q)=2q2?3q?18 又平均成本函数为
A(q)?C(q)q?2q?3?18q
令 A?(q)?2?18q2?0， 解得q= 3 (百台)
该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当q = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为
A(3)?2?3?3?183?9
(万元/百台)
5．设生产某产品的总成本函数为 C(x)?3?x(万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为R?(x)?15?2x（万元/百吨），求：
(1) 利润最大时的产量；
(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 解：(1) 因为边际成本为 C?(x)?1，边际利润L?(x)?R?(x)?C?(x) = 14 – 2x 令L?(x)?0，得x = 7
由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.
(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为
?L??87(14?2x)dx?(14x?x)287 =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）
即利润将减少1万元.
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