一、填空题（本大题共7小题，每小题1分，共7分）
1. 序列x(n) = sin(0.3?n + 0.25?)，该序列的周期N为 20 。 2. 序列x(n)存在傅里叶变换的充分条件是 n????x(n)?? 。
?3. 用DFT对序列进行谱分析时，对序列截断引起主谱线向附近展宽的现象称为 频谱泄露 。
4. 全通滤波器的极点和零点是互为 共轭倒易 关系。
5. 对12点长序列x(n)做DIF-基2FFT计算，其运算流图中每级的蝶形个数是 8个 。
6. 设计IIR滤波器的脉冲响应不变法，不适合设计 高通、带阻 滤波器。
7. 用频率采样法设计FIR数字滤波器，为了提高阻带衰减，可在频响间断点处内插一个或几个 采样点 。
二、判断改错题，正确打“?”，错误打“?”，并改错。（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
8. 周期序列的傅里叶级数仍是周期离散的。 （ ? ）
9.DIT-基2FFT分解的基本方法是将序列x(n)按n值前后对半分为2个序列。（ ? ） 的奇偶
10. 序列x(n)的N点DFT为X(k)，则序列x(n)的DFT变换为X(N?k)。 （ ? ） ，且X(N)=X(0)
11. 因果稳定的LTI时域离散系统，其系统函数所有零点都必须在单位圆内。
（ ? ）
极点
三、计算题（本大题共6小题，共42分）
12.已知序列x(n)??(n?1)?2?(n?3),h(n)?2?(n)??(n?2)，试计算循环卷积
*
*
y(n)?x(n)?h(n)，且循环卷积区间长度L=4。（6分）
解：求x(n)和h(n)的DFT：
3X(k)??x(n)W4kn?W4k?2W43k
n?0《数字信号处理》期末考试 A 卷 1
H(k)??h(n)Wn?03kn4?2-W42k
求X(k)与H(k)的乘积：
Y(k)?H(k)X(k)?2-W42kW4k?2W43k
?????2W4k?4W43k-W43k-2W45k ?2W4k?4W43k-W43k-2W4k
?3W43k
求Y(k)的反变换得： y?n??3?(n?3)
13. 若序列x(n)波形如下，且x(n)的FT变换为X(ej?)，不直接求X(ej?)，完成下列运算：求 (1) X(e) = ？ （2）
j?
????X(e)d???（8分）
x(n) 2 1 1 1 j?2?2 ?1 0 1 2 3 4 n ?1 解：（1）∵X(e)?j??1 ?n???4?x(n)e??j?n?n????x(n)[cosn??jsinn?]??x(n)
n???? ∴X(e)?j?n??2?x(n)??1?1?1?1?2?1?3
??? （2）由帕斯维尔定理，有
?X(e)d??2?j?2n????x(n)
?2《数字信号处理》期末考试 A 卷 2
∴
????X(e)d??2?j?2n????x(n)?2?2??x(n)n??242
?2?(1?1?1?1?4?1)?18?
14. 用微处理机对实序列作谱分析，要求谱分辨率F?100Hz，信号最高频率为4kHz，试确定以下各参数：(1)最小记录时间TPmin；(2)最大取样间隔Tmax；(3)最少采样点数Nmin；(4)若信号频带不变，采用基2FFT做谱分析，求使谱分辨率提高1倍的N值。（8分） 解：(1)已知最大谱分辨率F=100Hz，所以
TPmin?(2)Tmax?11??0.01s F1001fsmin?11??0.125ms 2fmax2?4000(3)Nmin?TPmin0.01??80 ?4Tmax1.25?10(4)频带不变，则取样率不变，分辨率提高1倍，则要求最小记录时间扩大1倍，此时有：
Nmin?TPmin0.02??160 ?4Tmax1.25?107
8
采用基2FFT做谱分析，由于128=2<160<256=2,所以N应取256。
15.若某计算机实现复数乘法平均需要4?s，实现复数加法平均需要1?s，分别用直接计算和基2FFT计算N = 1024点复数信号x(n)的N点DFT X(k)时，若只考虑乘法和加法运算，所需要的运算时间各是多少？ （6分）
2
解：直接计算所需运算量：复乘法次数N次，复加法次数为N(N-1)次；
基2FFT所需运算量：复乘法次数
Nlog2N次，复加法次数为Nlog2N次。 2因此，直接计算所需运算时间为：
tD?N2?4?10?6?N(N?1)?1?10?6?(1024)2?4?10?6?1024?1023?1?10?6?4194304?10?6?1047552?10?6?5.241856s基2FFT计算所需运算量：
《数字信号处理》期末考试 A 卷 3
tF?Nlog2N?4?10?6?Nlog2N?1?10?62?512?10?4?10?6?1024?10?1?10?6 ?20480?10?6?10240?10?6?0.030720s
16.已知某模拟系统Ha(s)?2，采样间隔T=2s，试用脉冲响应不变法将
2s2?7s?6（8分） Ha(s)转换为数字滤波器，求该数字滤波器系统函数H(z)。解：由因式分解可得：
212?2 ???2332s?7s?6(s?2)(s?)s?s?2223即：s1??2;s2??，因为T=2，所以有：
24444H(z)????3??21?e?2?2z?11?e?4z?11?e?3z?1?121?ez442z2z ?????1?11?0.0183z1?0.0498zz?0.0183z?0.04982z?(?0.0315)?0.063z??2(z?0.0183)(z?0.0498)z?0.0681z?9.1134?10?4Ha(s)?
17. 已知序列x(n)长度为N，X(k)=DFT[x(n)]，y(n)??
Y(k)为2N点y(n)的DFT值，试用X(k)表示Y(k)。（6分） 解：由DFT定义有：
2N?1?x(n),0?n?N?1
0, N?n?2N?1?Y(k)?
?y(n)Wn?0nk2N??x(n)Wn?0N?1nk2N??x(n)Wn?0N?1kn2Nkk?X() , ?整数
22《数字信号处理》期末考试 A 卷 4
五、画结构图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 18.已知IIR系统为：y(n)?51y(n?1)－y(n?2)?x(n)－3x(n?1)＋2x(n?2)，试： 66(1) 确定系统的零、极点；（2）画出该系统的直接型网络结构图（II型）；（3）画出系统的级联型网络结构图。 解：（1）由差分方程有：
y(n)?56y(n?1)?16y(n?2)?x(n)?3x(n?1)?2x(n?2) 方程两端求Z变换：
Y(z)?56z?1Y(z)?16z?2Y(z)?X(z)?3z?1X(z)?2z?2X(z) 系统函数为：
H(z)?Y(z)1?3z?1?2z?2z2?3z?2(z?2)(z?1)X(z)???
1?5z?1?16z?2z2?56z?16(z?12)(z?163)系统函数零点z1=2，z12=1；系统函数极点：p1?2,p12?3 （2）系统直接Ⅱ型结构流图如下图所示：
x(n) y(n) z-1 5/6 -3
z-1 -1/6 2
系统函数可以写作：
H(z)?(z?2)(z?1)1?2z?11?z?1(z?11?1?
?11?2)(z?3)1?12z1?3z由此可以画出系统的一种级联型结构流图如下图所示：
x(n) y(n) -11/2 z-1 1/3 z -2 -1 《数字信号处理》期末考试 A 卷 5