调和级数悖论的再思考
蒋晓云
1
黄汉那
2
秦桂毅
1
（1桂林师专数学系 广西 桂林 541001； 2 百色学院数学系 广西 百色 533000）
【摘要】文献[1]宣称证明了调和级数是一个既收敛又发散的级数，经过剖析发现调和级数收敛性证明是一个由直觉和不完全归纳导出的错误。并通过计算几类特殊自然数集合的密度，“巨大的自然数”的分布不能凭单纯的枚举归纳和直觉，必须付诸逻辑（证明、计算）的手段。
【关键词】调和级数，直觉，密度，悖论。
文献[1]的作者凭借经常接触的1位数、2位数和3位数的直觉和经验加以类推，得到“含有9的n位自然数”远少于“不含9的n位自然数”，从而得出“含有9的自然数”的倒数级数是收敛的，最终得出一个数学悖论：调和级数是一个既收敛又发散的级数。
我们平时很少接触“巨大”的自然数，事实上绝大多数“巨大自然数（位数很多）”都含有9，而不是“含有9的n位自然数”远少于“不含9的n位自然数”，这和人们的直观感觉正好相反。因为所有的n位数共有9?10例为
n?1个，不含数字9的n位数为8?9n?1，所以不含数字9的n位数所占比
8989?()n?1，而lim?()n?1?0，这表明当n较大时，不含9的整数相对地要非常的稀少，
n??991010或者说当n充分大时，几乎所有的n位整数都含有数字9。因此，文献[1]导出的悖论其实是一个直
觉导出的错误。这个错误告诉我们：单纯的枚举归纳法和直觉可能会欺骗我们，从而导致错误。对于“巨大的自然数（位数很多）”，我们必须付诸逻辑（证明、计算）的手段。
1 自然数密度
含有9的自然数在全体自然数中到底占有多大的比例？
如果要研究这样的问题，我们首先借鉴数论方法中的密率论，引进自然数集合的统计密度概念： 定义1 考虑自然数的无穷子集合，A(n)表示A中不超过n的元素个数（即前n个自然数中有，则如果极限??limA(n)个是A的元素）
n??A(n)存在，我们就称之为A的统计密度，记为?(A)。 n为了有效地计算一些特殊的自然数集合的密度，我们得出了如下结论。 定理1 A?{a1,a2,?,an,?}（这里ai?ai?1, ai都是自然数）的倒数级数
1收敛，则集合?an?1n?A的统计密度?(A)?0。
???0 k?At1证明 设tk??，则???k，A(n)?t1?t2???tn，
n?1ank?1k?1 k?A
作者简介: 蒋晓云(1963～ ) ,男,广西桂林市人,桂林师专数学系副教授,主要从事数学教育研究。 黄汉那(1954～ ) ,男,广西百色市人,百色学院数学系副教授,主要从事数学教育研究。秦桂毅 (1961～ ) ,男,广西桂林市人, 桂林师专数学系讲师，主要从事数学教育研究。 ?tk1由于???收敛，根据柯西收敛准则，即???0,?N?N,?p?N有
k?1ki?1ai?tN?ptN?1tN?1N?2N?p?????1，由阿贝尔变换，有能?N?2?????，又0?N?pN?pN?pN?1N?2N?ptN?pN?ptN?1N?1tN?2N?2????????1??，即N?1N?pN?2N?pN?pN?pNtk??。 ?N?pk?N?1N?p对固定的N，?K?N,?p?K有
tkt1?t2???tN??? ?N?pk?1N?p于是???0,?N1?N?K?N,?p?K,取n?N?p?N1有
tk??nk?1nN?p?k?1tk?N?pn??tk??N?pk?1Nt1?t2???tntklim?0 ，即?2??n??nk?N?1N?pN?p所以?(A)?lim
A(n)?0。 n2 含有9的自然数
设A9是不含有数码9的自然数集合，其倒数级数为：
111111111?1????????????????????u28101820288088
111111111111?(1????)?(????????????)?(?????????)??28101820288088100108800888?8?1199?8?9??8?9?9???8?[1??()2??]?80 10100101011级数?是正项级数，所以?是收敛的。由定理1知，不含数码9的自然数集合的密度
uu?(A9)?0，这也说明不含9的自然数非常稀疏。
反之，含有数码9的自然数集合B9，设B9(n)表示不超过n的含数码9的自然数个数，A9(n)表示不超过
n的不含数码9的自然数个数，则B9(n)?n?A9(n)，所以
?(B9)?limB9(n)n?A9(n)?lim?1??(A9)?1，说明含有数码9的自然数“几乎”与全体自然
n??n??nn数一样多。
完全相同的方法，我们可以得出：
定理2 不含数码i(i?0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)的自然数集合Ai的统计密度?(Ai)?0，而含数码
i的自然数集合Bi的统计密度?(Bi)?1。
3 完全包含数
一个自然数如果同时包含数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，我们称之为完全包含数。
在我们日常经常接触的自然数中，几乎没有完全包含数，人们凭直觉也许会认为完全包含数是很稀小的，果真如此吗？我们用逻辑（证明、计算）的手段来论证一下。
含数码i(i?0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)的自然数集合记为Bi，完全包含数的集合记为B，不含数码
i的自然数集合记为Ai，非完全包含数的集合记为A。则A?B?N,A?B??,这里N为自然数
集合?为空集合，所以?(B)?1??(A)。而A?A0?A1?A2?A3?A4?A5?A6?A7?A8?A9，
0??(A)??(A0)??(A1)????(A9)?0，即?(A)?0，从而?(B)?1??(A)?1。
这表明，几乎所有的自然数都是完全包含数。
4 单调不减数码自然数
一个自然数的各位数字是单调不减的，我们称之为单调不减数码自然数。
设单调不减数码自然数集合D?{1,2,?,9,11,12,?,19,22,23,?,29,33,?,99,111,112,?}是其倒数级数为：
111111111111?1?????????????????????? ?d291119222399111119122999由组合数学知识很容易算出：n位的单调不减数码自然数d共有??n?8??个，这里?1??m?m!,所以 ???nn!(m?n)!???d?(1?2???9)?(11???19?22???99)?(111???119?122???999)???1?8??2?8??3?8??n?8??????????1??1??1?n?????????????bn， 1111111111n?1????n个11111111111?n?8???n?1(n?8)!9(n?8)!?????这里bn? n?1n?20n11?1110?10???10n!?8!10?18!n!???n个所以limbn?1n??bn(n?1?8)!(10n?1)(n?9)110n?1?18!(n?1)!?lim?lim??1。 n??n??(10n?1?1)(n?1)9(n?8)!10?10n?18!n!?9由比较判别法知，级数
?bn是收敛的，级数?bn和?n?1n?1??11是正项级数，所以?收敛，dd?(D)?0。
解决数学问题的信念一般是将经验和直觉加以类推（类比和推广）而得到，一切理论和逻辑推理奠基于人们的直接经验。然而，直觉把握不了的东西也很多，一般地，太大、太小、太快、太慢、太远等等，都是人们感觉难以把握的。这里的“巨大的自然数”，我们必须付诸逻辑（证明、计算）的手段。
参考文献：
[1] 张慧. 既收敛又发散的无穷级数[J]. 陕西科技大学学报,2004,22(4).
[2] 蒋晓云，罗国湘. 调和级数悖论的剖析[J]. 桂林航天工业高等专科学校,2006,11(2). [3] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社，1999.
作者简介: 蒋晓云(1963～ ) ,男,汉，广西桂林市人,桂林师范高等专科学校数学与计算机科学系副教授,主要从事数学教育研究。黄汉那(19？？～ ) ,男,广西百色市人,百色学院数学系副教授,主要从事数学教育研究。秦桂毅(1961～ ) ,男,汉，广西桂林市人,主要从事数学教育研究。
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