武汉理工大学《基础技能强化训练》课程设计说明书
是n的函数，其中an是n的偶函数，即a?n= an；而bn是n的奇函数，既有b?n=- bn
将式（2-1）中同频率项合并，可写成如下形式 f(t)=
A0?A1cos(?t??1)?A2cos(2?t??2)?…… 2A0???Ancos(n?t??n) (2-4) =
2n?1式中 A0?a0
An=a2?b2，n=1,2,……
?n=-arctan(
bn) an如将式（2-4）的形式化为（2-1）的形式，他们系数之间的关系为 a0?A0
an?Ancos?n,n=1,2,…… bn??Ansin?n,
式（2-4）表明，任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和许多余弦（或正弦）分量。其中第一项
A0是常数项，它是周期信号中所包涵的直流分量；式中第二2项A1cos(?t??1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同，A1是基波振幅，?1是基波初相角；式中第三项A2cos(2?t??2)称为二次谐波，它的频率是基波频率的两倍，A2是二次谐波振幅，?2是其初相角。以此类推，还有三次、四次、……谐波。一般而言，Ancos(n?t??n)称为n次谐波，An是n次谐波的振幅，?n是其初相角。式（2-4）表明，周期函数可以分解为各谐波分量。
1.4 方波的分解
T设方波信号f(t)的周期为T，宽度为2，将其展开为傅里叶级数
由式（2-2）和（2-3）可得
2an?T?T2T?2f(t)cos(n?t)dt
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2=T2??T2(?1)cos(n?t)dtT+
0?T20(1)cos(n?t)dt
T02121??sin?n?t???T???sin?n?t??2?Tn?Tn?0 2考虑到
??2?T，可得
an?0
T202bn??T??1?sin?n?t?dt??2sin?n?t?dtT?2T0
?
T021?n?t??T?2?1??cos?n?t??2?cosTn?Tn?02
2?1?cos?n?????n?04n?n?2,4,6,??n?1,3,5,?? 将它们代入到式（2-1），得到信号的傅里叶级数展开式为
f(t)?4?111?????????sin?t?sin3?t?sin5?t???sinn?t?????35n??，n=1，3，5，……
它只含一、三、五…奇次谐波分量。
下图中画出了一个周期的方波组成情况，由图可见，当它包含的谐波分量愈多时，波形就愈接近原来的方波信号f?t?（图中虚线所示），其均方误差愈小，还可以看出，频率较低的谐波，其振幅较大，他们组成方波的主体，而频率较高的高次谐波振幅较小，它们主要影响波形的细节，波形中所包含的高次谐波愈多，波形的边缘愈陡峭。
（a）基波 （b）基波“+”三次谐波
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（c）基波+三次谐波+五次谐波 （d）基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波 由图中还可以看出，合成波形所包含的谐波，除间断点附近外，它愈接近于原方波信号。在间断点附近，随着所含谐波次数的增高，合成波形的尖峰愈靠近间断点，但尖峰幅度并未明显减小。可以证明，即使合成波形所含谐波次数n??时，在间断点处仍有约9%的偏差，这种现象称为吉布斯现象。在傅里叶级数的项数取得很大时，间断点处尖峰下的面积非常小以致趋近于零，因而在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。
2 建模与仿真
2.1建模
上文中，我们证明了一个以原点为奇对称中心的方波可以用奇次正弦波的叠加
来逼近。f(t)可以简化为y(t)：
y(t)?sint?sin3t?sin5t?1315?1sin(2k?1)t?2k?1 （4）
如果我们能验证y(t)是方波，那么我们可以得出f(t)也是方波，只是f(t)的方波的幅值是y(t)幅值的
4h?倍。
已知方波的宽度为?，周期为2?，我们可以用MATLAB程序来检验这种逼近的程度与特征。 程序如下：
t = 0:.01:2*pi; % 设定一个时间数组, 有101 个点
y = sin(t);plot(t,y),figure(gcf),pause % 频率为w=1(f=1/2π)的正弦基波 y = sin(t) + sin(3*t)/3; plot(t,y), pause % 叠加三次谐波 y = sin(t) + sin(3*t)/3 + sin(5*t)/5 + sin(7*t)/7 + sin(9*t)/9; plot(t,y) % 用1, 3, 5, 7, 9 次谐波叠加
% 为了绘制三维曲面, 要把各次波形数据存为一个三维数组, 因此必须重新定义y, 重编程。
y = zeros(10,max(size(t))); x = zeros(size(t)); for k=1:2:19
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x = x + sin(k*t)/k; y((k+1)/2,: ) = x; end
pause, figure(1),plot(t,y(1:9,: )),grid % 将各波形迭合绘出 line([0,pi+0.5],[pi/4,pi/4]) % 加上方波幅度线及标注 text(pi+0.5,pi/4,' pi/4' ) halft=ceil(length(t)/2); pause, figure(2),
mesh(t(1:halft),[1:10],y(:,1:halft)), % 只用正半周波形 pause,clc
2.2仿真
仿真结果如图2至图6所示，其中所有的横坐标为时间t，纵坐标为幅值y：
图2 频率为??1?f???12???的正弦基波 ?8
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图3 叠加三次谐波
图4 用1, 3, 5, 7, 9 次谐波叠加
图5 谐波合成的二维曲线
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