基于频率抽样法的FIR数字低通滤波器的设计
1 设计目的
熟悉频率采样法的理论及其应用；掌握频率采样法设计FIR数字滤波器的方法。了解FIR数字滤波器的频率特性和相位特性，观察过渡带取样点对滤波器幅频特性的影响。掌握用频率采样法设计线性相位FIR低通数字滤波器的方法，并掌握该方法的matlab编程和仿真。
2 FIR数字滤波器设计的原理
2.1频率抽样设计法
FIR低通滤波器的设计一般方法有两种，即频率抽样法和窗函数法，频率抽样法设计不同于窗函数法，窗函数是从时域出发，把理想的hd(n)用一定形状得窗函数截取成有限长的h(n)，以此h(n)来近似理想的hd(n)，这样得到的频率响应H(ejw)逼近于所要求的理想的频率响应Hd(ejw)。
频率抽样法则是从频域出发，把给定的理想频率响应Hd(ejw)加以等间隔抽样，即Hd(ejw)|w?2?kN?Hd(k)然后以此Hd(k)作为实际FIR数字滤波器的频率特性
w?2?kN的抽样值H(k)，即令H(k)?Hd(k)?Hd(ejw)|k?0,1,,N?1，知道H(k)后，由DFT定义，可以用频域的这N个抽样值H(k)来唯一确定有限长序列h(n)，而由X(z)的内插公式知道，利用这N个频域抽样值H(k)同样可求得FIR滤波器的系统函数H(z)及频率响应H(ejw)。这个H(z)或H(ejw)将逼近Hd(z)或
Hd(ejw)，H(z)和H(ejw)的内插公式为
1?z?NH(z)?NjwN?1k?0H(k) （2.1） ??k?11?Wzk?0N2?k) （2.2） NN?1H(e)??H(k)?(w?wN)?jw(N?1)12e2其中?(w)是内插函数?(w)? （2.3）
Nsin(w)2将式（2.3）代入（2.2）式，化简后可得
sin(wN)?j1jw2 H(e)?e （2.4） H(k)eN?w?kNk?0sin(?)2Nw?ksin[N(?)]?kN?1N?1?j()w1jN(N?1)jw2N （2.5）2即 H(e)?e H(k)?e??w?kNk?0sin(?)2NN?1N?1?j()w2?ksin(从内插公式（2.2）看到，在各频率抽样点上，滤波器的实际频率响应是严格地和理想频率响应数值相等，即H(ej2?kN)?H(k)?Hd(k)?Hd(ej2?kN)。但是在
抽样点之间的频率响应则是由各抽样点的加权内插函数的延伸叠加而形成的，因而有一定的逼近误差，误差大小取决于理想频率响应曲线形状，理想频率响应特性变化越平缓，则内插值越接近理想值，逼近误差越小，如图2.1梯形理想频率特性所示。反之，如果抽样点之间的理想频率特性变化越陡，则内插值与理想值之误差就越大，因而在理想频率特性的不连续点附近，就会产生肩峰和波纹，如图2.2矩形理想频率特性所示。
图2.1 梯形理想频率特性
图2.2 矩形理想频率特性
2.2线性相位的约束
对于第二类线性相位FIR滤波器，由于h(n)偶对称、N为偶数时, 公式是
H(e)?H(w)ejw?j(N?1)w2，其中幅度函数H(w)应为奇对称的，H(w)??H(2??w)，
如果抽样值H(k)?H(ej2?kN)也用幅值Hk（纯标量）与相角Qk表示，则为：
j2?kNH(k)?H(e)?H(2?k)ejQK?HkejQK （2.6）N其中Qk必须为： Qk??(N?12?1 )k???k(?1 ) （2.7）
2NNHk必须满足奇对称，即Hk??HN?k。
2.3线性相位第一种频率抽样
H(k)??h(n)en?0*N?1?j2?nkN （2.8）
当h(n)为实数时，满足H(k)?H((N?k))NRN(k)?H*(N?k)，由此得出，Q(k)??Q(N?k)，也就是说，H(k)的模H(k)以k?N2为H(k)?H(N?k)对称中心呈偶对称，H(k)的相角Q(k)以k?N2为对称中心呈奇对称。再利用线性相位的条件Q(ejw)??N?1w，即可得到（N为偶数）： 2?2??N?1?k?0,??Nk?2?????Q(k)??0k???2??N?1??N(N?k)k?????N?2??2??N?,??1??2?N （2.9）
2??1?,,N?1?2?N?1?jk()??N?N2H(k)ek?0,,?1???2????N （2.10） H(k)??0k?2?2?N?1?j(N?k)()?N?N2H(N?k)ek??1???,,N?12???
???N?H(0)sinN?1????j??2??j?2H?e??e????Nsin?????2??N?12k?1??????k??????k?????sinN????sin?N??????H?k???2N2N???????????? ? （2.11）
?k??k?N???????sin?sin???????2N2N????????2.4过渡带抽样的优化设计
为了提高逼近质量，使逼近误差更小，也就是减小在通带边缘由于抽样点的陡然变化而引起的起伏振荡,这种起伏振荡使阻带内最小衰减变小。这里是使理想频率响应的不连续点的边缘加上一些过渡的抽样点,从而增加过渡带，减小频率边缘的突变，也就减小了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。
这些周扬点上的取值不同，效果也就不同，如果精心设计过渡带的抽样值，就有可能使它的有用频带（通带、阻带）的纹波得以减小。从而设计出较好的滤波器。一般过渡带取一、二、三点抽样值即可得到满意的结果。在低通设计中，不加过渡抽样点时，阻带最小衰减为－20dB，一点过渡抽样的最优设计，阻带最小衰减可提高到－40dB到－54dB左右，二点过渡抽样的最优设计可达－60dB到－75dB左右，而加三点过渡抽样的最优设计则可达－80dB到－95dB左右。加过渡抽样点的示意图如图2.3所示。
图2.3 加过渡抽样点
3 FIR数字滤波器设计方法
3.1设计任务
本次课程设计的任务是利用频率抽样法设计一个低通FIR数字低通滤波器，其理想频率特性是矩形的，即
（3.1）
给定抽样频率为?s?2??1.5?104(rad/sec)，通带截止频率的
?p?2??1.6?103(rad/sec)，阻带起始频率为?st?2??3.1?103(rad/sec)，通带波动?1?1dB，阻带衰减?2?50dB。幅度特性如图3.1所示。
图3.1 H(j?)幅度特性曲线
3.2参数计算
2??1.6?103通带的截止频率为wp??2??2???0.213? 4fs?s2??1.5?10?st?st2??3.1?103阻带的起始频率为wst??2??2???0.413?
fs?s2??1.5?1041理想低通截止频率?c?(?p??st)?2??2.35?103(rad/sec)
2?c2??2.35?103?2???0.313? 其对应的数字频率wc?2?4?s2??1.5?10?p?p过渡带带宽为?w?wst?wp?0.2?，设抽样点数为N，由于?w?算得抽样点数N等于30。
2??3，故N