典型例题一
loga(1?x)?loga(1?x)a?0例1 若0?x?1，证明（ 且a?1）．
分析1 用作差法来证明．需分为a?1和0?a?1两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．
解法1 （1）当a?1时， 因为 0?1?x?1,1?x?1， 所以
loga(1?x)?loga(1?x)
??loga(1?x)?loga(1?x)
2??log(1?x)?0． a
（2）当0?a?1时， 因为 0?1?x?1,1?x?1 所以
loga(1?x)?loga(1?x)
?loga(1?x)?loga(1?x)
2?log(1?x)?0． a
综合（1）（2）知
loga(1?x)?loga(1?x)．
分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号． 解法2 作差比较法． 因为
loga(1?x)?loga(1?x)lg(1?x)lg(1?x)?lgalga
?
?1?lg(1?x)?lg(1?x)?lga
?1??lg(1?x)?lg(1?x)?lga?1lg(1?x2)?0lga
?，
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所以
loga(1?x)?loga(1?x)．
说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快． 典型例题二
例2 设a?b?0，求证：ab?ab.
分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．
abbaaabbaa?ba?bb?a?a?b?()bab证明：ab
a?1,a?b?0.a?b?0∵，∴b
aabbaa?b()?1ba∴b. ∴ab?1.
又∵ab?0， ∴ab?ab..
说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小. 典型例题三
abbabaa4?b4a?b4?()22例3 对于任意实数a、b，求证（当且仅当a?b时取等号）
a?b4)2分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有，展
(开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：a?b?2ab出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。
证明：∵ a?b?2ab（当且仅当a?b时取等号） 两边同加(a?b):2(a?b)?(a?b)，
4444222222222a4?b4a2?b22?()22即： （1）
又：∵ a?b?2ab（当且仅当a?b时取等号）
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22 22222(a?b):2(a?b)?(a?b)两边同加
a2?b2a?b2?()22 ∴
a2?b22a?b4()?()22∴ （2）
a4?b4a?b4?()22由（1）和（2）可得（当且仅当a?b时取等号）．
说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要
注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解． 典型例题四
111???9.?aba?b?c?1c?Rabc例4 已知、、，，求证
111??分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把abc通分，则会把不等式变得较复杂而
不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，
ba?ab，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技比如
巧．
证明：∵a?b?c?1
111a?b?ca?b?ca?b?c?????abcabc∴ bcacab?)?(?1?)?(??1)aabbcc bacacb?3?(?)?(?)?(?)abacbc
?(1?babacacb??2??2??2??2ababacbc∵，同理：，。
111???3?2?2?2?9.∴ abc
说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的．
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典型例题五
111??例５ 已知a?b?c，求证：a?bb?cc?a＞0.
分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程. 证明一：(分析法书写过程)
111??为了证明a?bb?cc?a＞0 111?只需要证明a?bb?c＞a?c
∵a?b?c
∴a?c?a?b?0,b?c?0
111?,∴a?ba?cb?c＞0 111?∴a?bb?c＞a?c成立 111??∴a?bb?cc?a＞0成立
证明二：(综合法书写过程)
∵a?b?c ∴a?c?a?b?0,b?c?0
111∴a?b＞a?c b?c＞0 111?∴a?bb?c＞a?c成立 111??∴a?bb?cc?a＞0成立
说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚. 典型例题六
例6 若a?0,b?0，且2c?a?b，求证：
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c?c2?ab?a?c?c2?ab.
分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径．但用“分析”法证不等式，要有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等）．
22c?c?ab?a?c?c?ab. 证明：为要证
只需证?c?ab?a?c?即证
2c2?ab，
a?c?c2?ab，
22(a?c)?c?ab， 也就是
即证a?2ac??ab， 即证2ac?a(a?b)， ∵a?0,2c?a?b,b?0，
2c?∴
a?b?ab222，故c?ab即有c?ab?0，
又 由2c?a?b可得2ac?a(a?b)成立，
22c?c?ab?a?c?c?ab成立． ∴ 所求不等式
说明：此题考查了用分析法证明不等式．在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注
意在书写时，分析法的书写过程应该是：“欲证??需证??”，综合法的书写过程是：“因为（∵）??所以（∴）??”，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混．
典型例题七
33例7 若a?b?2，求证a?b?2．
分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法．
332222a?b?(a?b)(a?ab?b)?2(a?ab?b)， a?b?2证法一：假设，则2233而a?b?2，故(a?ab?b)?1．
∴1?ab?a?b?2ab．从而ab?1， ∴a?b?1?ab?2．
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222(a?b)?a?b?2ab?2?2ab?4． ∴
∴a?b?2．
这与假设矛盾，故a?b?2． 证法二：假设a?b?2，则a?2?b，
3333222?a?b?(2?b)?b(b?1)?0， 2?8?12b?6b故，即，即
这不可能．从而a?b?2．
333证法三：假设a?b?2，则(a?b)?a?b?3ab(a?b)?8． 33由a?b?2，得3ab(a?b)?6，故ab(a?b)?2．
3322a?b?(a?b)(a?ab?b)?2， 又
22∴ab(a?b)?(a?b)(a?ab?b)． 222(a?b)?0． a?ab?b?ab∴，即
这不可能，故a?b?2．
说明：本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾．
一般说来，结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定“过头”时，都可以考虑用反证法．
典型例题八
x2?y2?3x3?y3yx例8 设、为正数，求证．
分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法． 证明：要证
x2?y2?3x3?y3223332(x?y)?(x?y)， ，只需证
6422466336x?3xy?3xy?y?x?2xy?y即证，
42243322223xy?3xy?2xyxy(3x?2xy?3y)?0． 化简得，22∵??4y?4?3?3y?0， 223x?2xy?3y?0． ∴
2222xy(3x?2xy?3y)?0． ∴
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∴原不等式成立．
说明：1．本题证明易出现以下错误证法：
x?y?2xy22，
3x?y?33332x23y2，然后分
(1)x?y?1；(2)x?y?1；(3)x?1且0?y?1；(4)y?1且0?x?1来讨论，结果无效． 2．用分析法证明数学问题，要求相邻两步的关系是A?B，前一步是后一步的必要条件，后一步是前一步的充分条件，当然相互为充要条件也可以． 典型例题九
1?x2?xy?y2?3例9 已知1?x?y?2，求证2．
22分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明． 证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数r．
221?x?y?2， ∵
0???2?． ∴可设x?rcos?，y?rsin?，其中1?r?2，∴
x2?xy?y2?r2?r2sin?cos??r2(1?1sin2?)2．
1131213?1?sin2??r?r2(1?sin2?)?r222，故222． 由2121321r?r?3?x2?xy?y2?32，2而2，故2．
x2y2?2?12222222x?y?rx?y?rab说明：1．三角代换是最常见的变量代换，当条件为或或
时，均可用三角代换．2．用换元法一定要注意新元的范围，否则所证不等式的变量和取值的
变化会影响其结果的正确性． 典型例题十
1111??????1n2n?1n?22n例10 设是正整数，求证．
111????2n的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整分析：要求一个n项分式n?1n?2为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围．
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111??证明：由2n?n?k?n(k?1,2,?,n)，得2nn?kn． 111??当k?1时，2nn?1n；
111??当k?2时，2nn?2n
??
111??当k?n时，2nn?nn．
1n111n????????122nn?1n?22nn∴．
说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明
1117111???????1222n24．由k2k?1k，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第
2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．
2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和． 典型例题十一
(a?b)2a?b(a?b)2??ab?a?b?028b． 例11 已知，求证：8a分析：欲证不等式看起来较为“复杂”，宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法证明较
好．
(a?b)2a?b(a?b)2??ab?8a28b， 证明：欲证
(a?b)2(a?b)2?a?b?2ab?4b． 只须证4a?a?b??a?b?2?????(a?b)?????2a2b????， 即要证
22a?b即要证2a?a?b?a?b2b．
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a?b即要证2aa?b?1?a?b2b， 即要证
a?2?a?bb．
1?即要证
ba?2?ab?1ba?1?b． ，即aba?1?b （*） 即要证a∵a?b?0，∴（*）显然成立，
(a?b)2a?b(a?b)2??ab?28b 故8a说明：分析法证明不等式，实质上是寻求结论成立的一个充分条件．分析法通常采用“欲证
——只要证——即证——已知”的格式． 典型例题十二
888233233233yx?y?z?xyz?yzx?zxy． xz?R例12 如果，，，求证：
分析：注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态，而右边却结合在一起，因而要
寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能（保持两边项数相同），由
(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0，易得a2?b2?c2?ab?bc?ca，此式的外形特征符合要求，
因此，我们用如下的结合法证明．
888424242x?y?z?(x)?(y)?(z) 证明：∵
?x4y4?y4x4?z4x4
222222222?(xy)?(yz)?(zx)
222222222222?xy?yz?yz?zx?zx?xy
222222 ?(xyz)?(yzx)?(zxy) 222222?xyz?yzx?yzx?zxy?zxy?xyz
233233233?xyz?yzx?zxy．
888233233233x?y?z?xyz?yzx?zxy． ∴
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22说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式a?b?2ab而得到的．左右两边都是三项，222实质上是a?b?c?ab?bc?ca公式的连续使用．
111x8?y8?z8?x3y3z3(??)?xyz进
如果原题限定x，y，z?R，则不等式可作如下变形：x5y5z5111?????333333xyz． yzxzxy一步可得到：
显然其证明过程仍然可套用原题的思路，但比原题要难，因为发现思路还要有一个转化的过
程．
典型例题十三
(1?b)c，(1?c)a三数中，不可能例13 已知0?a?1，0?b?1，0?c?1，求证：在(1?a)b，1都大于4．
分析：此命题的形式为否定式，宜采用反证法证明．假设命题不成立，则
1(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a三数都大于4，从这个结论出发，进一步去导出矛盾． 1(1?b)c，(1?c)a三数都大于4， 证明：假设(1?a)b，(1?a)b?111(1?b)c?(1?c)a?4，4，4．
即
又∵0?a?1，0?b?1，0?c?1，
∴
(1?a)b?111(1?b)c?(1?c)a?2，2，2．
32 ①
∴
(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?又∵
(1?a)b?1?a?b1?b?c1?c?a(1?b)c?(1?c)a?222，，．
以上三式相加，即得：
(1?a)?b?(1?b)?c?(1?c)?a?32 ②
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显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证． 说明：一般情况下，如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样，通常情况下要用反证法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合法的解题思想．
典型例题十四
?a?b??a?b?c3?2??ab??3??abc?3???． 例14 已知a、b、c都是正数，求证：?23?2ab?c?3abc，即只需分析：用分析法去找一找证题的突破口．要证原不等式，只需证
3证c?2ab?3abc．把2ab变为ab?ab，问题就解决了．或有分析法的途径，也很
容易用综合法的形式写出证明过程．
?a?b??a?b?c3?2??abc???ab?3?3??， 证法一：要证?2?3只需证a?b?2ab?a?b?c?3abc，
33即?2ab?c?3abc，移项，得c?2ab?3abc． 3由a、b、c为正数，得c?2ab?c?ab?ab?3abc．
∴原不等式成立．
证法二：∵a、b、c为正数，
?c?ab?ab?33cab?ab?33abc．
33即c?2ab?3abc，故?2ab?c?3abc．
?a?b?2ab?a?b?c?33abc，
?a?b??a?b?c3??2??abc???ab?3?3?2???．
a?ba?b?c33说明：题中给出的2，ab，，abc，只因为a、b、c都是正数，形式同算
术平均数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证，问题
就不好解决了．
原不等式中是用“不大于”连结，应该知道取等号的条件，本题当且仅当c?ab时取“＝”号．证明不等式不论采用何种方法，仅仅是一个手段或形式问题，我们必须掌握证题的关键．本
3c?2ab?3abc． 题的关键是证明
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典型例题十五
例15 已知a?0，b?0，且a?b?1．求证：
0?111(a?)(b?)?1aab．
M?0?分析：记
111(a?)(b?)aab，欲证0?M?1，联想到正、余弦函数的值域，本
?题采用三角换元，借助三角函数的变换手段将很方便，由条件a?b?1，a、b?R可换元，
22围绕公式sec??tan??1来进行．
证明：令a?sec?，b?tan?，且
220????2，
111111(a?)(b?)?(sec??)?(tan??)2sec?tan? sec?ab则a?cos2?(1sin?cos??cos?)?(?)cos?cos?sin? sin2?12?cos????sin?cos?sin?cos? 0???111?0?(a?)(b?)?1aab2，∴0?sin??1，即成立．
∵
说明：换元的思想随处可见，这里用的是三角代换法，这种代换如能将其几何意义挖掘出来，对代换实质的认识将会深刻得多，常用的换元法有：(1)若
x?1，可设x?sin?,??R；(2)
2222y?sin?y?rsin?，x?y?1x?y?1，x?cos???R若，可设，，；(3)若可设x?rcos?，
且
r?1．
典型例题十六
例16 已知x是不等于1的正数，n是正整数，求证(1?x)(1?x)?2nnn?1?xn．
分析：从求证的不等式看，左边是两项式的积，且各项均为正，右边有2的因子，因此可考虑使用均值不等式．
证明：∵x是不等于1的正数， ∴1?x?2x?0，
nnn∴(1?x)?2x． ① nn又1?x?2x?0． ②
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将式①，②两边分别相乘得
(1?xn)(1?x)n?2xn?2n?xn，
nnn?1n(1?x)(1?x)?2?x∴．
说明：本题看起来很复杂，但根据题中特点，选择综合法求证非常顺利．由特点选方法是解题的关键，这里因为x?1，所以等号不成立，又因为①，②两个不等式两边均为正，所以可利用不等式的同向乘性证得结果．这也是今后解题中要注意的问题． 典型例题十七
?x?例17 已知，x，y，z?R，且x?y?z?1，求证
y?z?3．
分析：从本题结构和特点看，使用比较法和综合法都难以奏效．为找出使不等式成立的充分条件不妨先用分析法一试，待思路清晰后，再决定证题方法． 证明：要证只需证只需证
x?y?z?3，
x?y?z?2(xy?xz?yz)?3，
xy?xz??yz?1．
∵x，y，z?R， ∴∴∴∴
x?y?2xyy?z?2yz，x?z?2xz，，
yz)，
2(x?y?z)?2(xy?xz?xy?xz?x?yz?1成立．
y?z?3．
说明：此题若一味地用分析法去做，难以得到结果．在题中得到只需证
xy?xz?yz?1后，
思路已较清晰，这时改用综合法，是一种好的做法．通过此例可以看出，用分析法寻求不等
式的证明途径时，有时还要与比较法、综合法等结合运用，决不可把某种方法看成是孤立的． 典型例题十八
1?例18 求证
111?????222223n．
分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到
12这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从n下手考
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查即可．
111111?????(n?2)nnnn(n?1)n?1n证明：∵2，
1?1?1111?11??11????2??21?2?2???2?1????????????n23n?n?1n??12??23?∴．
说明：此题证明过程并不复杂，但思路难寻．本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种
方法，即放缩法．这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这一步极为关键． 典型例题十九
444例19 在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若A?C?2B，求证a?c?2b．
分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化．
?1B?，cosB?32． 证明：∵A?C???B?2B，∴
22222由余弦定理得b?a?c?2accosB?a?c?ac 222∴a?c?b?ac，
4422222a?c?(a?c)?2ac ∴
2222(a?c?2ac)(a?c?2ac) =
22?[b?(2?1)ac]?[b?(2?1)ac]
4222 ?b?2ac?b?ac
244 ??(ac?b)?2b?2b
说明：三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理，另外还有面积公式
S?1absinC2．本题应用知识较为丰富，变形较多．这种综合、变形能力需要读者在平时解
题时体会和总结，证明不等式的能力和直觉需要长期培养．
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