2016-2017学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷
一、填空题（每小题5分，共70分）
1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则?U（A∪B）= ． 2．
= ．
3．函数y=ln（x+1）的定义域是 ．
4．等比数列{an}中，若a5=1，a8=8，则公比q= ．
5．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为 ． 6．命题“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是 ． 7．sinα）sinβ） 已知向量=（cosα，，=（cosβ，，且0＜α＜β＜π，则+与﹣的夹角为 ．8．已知函数f（x）=ax3+bx+1且f（m）=6，则f（﹣m）= ．
9．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+|的最小值为 ．
10．若函数f（x）=k?cosx的图象过点P（等于 ．
11．设函数y=sin（?x+
）（0＜x＜π），当且仅当x=
时，y取得最大值，则正数?的
，1），则该函数图象在P点处的切线倾斜角
值为 ．
12．已知函数f（x）对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有
＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是 ．
13．设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且bi=ai2（i=1，2，3），则数列{bn}的公比为 ． 14．已知
，
是非零不共线的向量，设
=
+
，定义点集M={K|
=
}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式|
|≤c||恒成立，则实
数c的最小值为 ．
二、解答题（本大题6小题，共90分）
15．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}． （1）求（?RB）∪A；
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若 C?A，求实数a的取值范围． 16．已知函数f（x）=
．
（1）证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数； （2）若x∈[0，2]，求函数f（x）的值域． 17．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）． （1）若，且α∈（0，π），求角α的值；
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（2）若，求的值．
18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流
速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x?v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）． 19．设常数a≥0，函数f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1
（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．
20．设数列{an}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得an+k2=an?an+2k成立，则称数列{an}为“Jk型”数列．
（1）若数列{an}是“J2型”数列，且a2=8，a8=1，求a2n；
（2）若数列{an}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{an}是等比数列．
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2016-2017学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题5分，共70分）
1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则?U（A∪B）= {4} ． 【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据A与B求出两集合的并集，找出并集的补集即可． 【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，3}， ∴A∪B={1，2，3}，
∵全集U={1，2，3，4}， ∴?U（A∪B）={4}． 故答案为：{4} 2．
= ．
【考点】二倍角的余弦．
【分析】利用二倍角的余弦公式即可求得． 【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，故答案为：
．
=cos
=
，
3．函数y=ln（x+1）的定义域是 （﹣1，+∞） ． 【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由对数式的真数大于0得答案． 【解答】解：由x+1＞0，得x＞﹣1．
∴函数y=ln（x+1）的定义域是（﹣1，+∞）． 故答案为：（﹣1，+∞）．
4．等比数列{an}中，若a5=1，a8=8，则公比q= 2 ． 【考点】等比数列的通项公式．
【分析】直接由已知结合等比数列的通项公式求解． 【解答】解：在等比数列{an}中，由a5=1，a8=8， 得
故答案为：2．
5．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为 第3页（共14页）
，∴q=2．
．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，再由余弦定理求得cosC的值．
【解答】解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得， 可设其三边分别为2k，3k，4k，由余弦定理可得 16k2=4k2+9k2﹣12k2cosC， 解方程可得cosC=故答案为：
．
，
6． ∪命题“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是 （﹣∞，﹣2）（2，+∞） ．【考点】特称命题．
【分析】若命题“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．
【解答】解：若命题“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题， 则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点， 故△=a2﹣4＞0，
解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）， 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
7．已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且0＜α＜β＜π，则+与﹣的夹角为 ．
【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由已知得，求出（+）?（﹣）=0得答案． 【解答】解：∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）， ∴， 则（+）?（﹣）=∴+与﹣的夹角为故答案为：
．
．
，
8．已知函数f（x）=ax3+bx+1且f（m）=6，则f（﹣m）= ﹣4 ． 【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式f（﹣x）与f（x）的关系，从面通过f（m）的值求出f（﹣m）的值，得到本题结论． 【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx+1，
∴f（﹣x）=a（﹣x）3+b（﹣x）+1=﹣ax3﹣bx+1， ∴f（﹣x）+f（x）=2， ∴f（﹣m）+f（m）=2． ∵f（m）=6， ∴f（﹣m）=﹣4． 故答案为：﹣4
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9．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+|的最小值为 3 ． 【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意画出图形，把求|+|的最小值转化为求直角梯形ABCD的中位线长得答案．
【解答】解：如图，
=以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，则，
要使||取最小值，只需||取最小值，
∵E为AB的中点，故当PE⊥CD时，||取最小值， 这时PE为梯形的中位线， 即故
（|BC|+|AD|）=， =3．
故答案为：3．
10．若函数f（x）=k?cosx的图象过点P（等于
．
，1），则该函数图象在P点处的切线倾斜角
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】把点P（
，1）代入解析式求出k的值，由求导公式求出f′（x），由导数的几何
意义求出切线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角． 【解答】解：因为f（x）=k?cosx的图象过点P（所以1=k?cos
，解得k=2，
，1），
则f（x）=2cosx，所以f′（x）=﹣2sinx， 所以在点P（
，1）处的切线斜率是﹣2sin
，
=﹣
，
则在P点处的切线倾斜角是故答案为：
．
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11．设函数y=sin（?x+）（0＜x＜π），当且仅当x=时，y取得最大值，则正数?的
值为 1 ．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由条件利用正弦函数的最值，求得正数ω的值． 【解答】解：因为函数y=sin（ωx+所以
ω+
=2kπ+
，k∈Z，
）在x=
处取得最大值，
所以ω=12k+1，k∈Z； 又0＜x＜π时，当且仅当x=所以正数ω的值为1． 故答案为：1．
12．已知函数f（x）对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有
＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是 （﹣时y取得最大值；
3，1） ．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，故由不等式可得﹣2＜m+1＜2，由此求得m的范围． 【解答】解：由f（﹣x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数． 再根据对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有
＜0，故函数在（﹣∞，
0]上是减函数．
故由f（m+1）＜f（2），
可得﹣2＜m+1＜2，解得﹣3＜m＜1， 故答案为：（﹣3，1）．
13．设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且bi=ai2（i=1，2，3），则数列{bn}的公比为 3+2 ． 【考点】等比数列的性质．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，可得d＞0，由数列{bn}为等比数列，可得b22=b1?b3，代入化简可得a1和d的关系，分类讨论可得b1和b2，可得其公比． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， 由a1＜a2可得d＞0，
∴b1=a12，b2=a22=（a1+d）2， b3=a32=（a1+2d）2，
∵数列{bn}为等比数列，∴b22=b1?b3， 即（a1+d）4=a12?（a1+2d）2， ∴（a1+d）2=a1?（a1+2d） ① 或（a1+d）2=﹣a1?（a1+2d），②
由①可得d=0与d＞0矛盾，应舍去；
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由②可得a1=当a1=
d，或a1=
d时，可得b1=a12=
d，
b2=a22=（a1+d）2=当a1=b2=（a1+d）2=
，此时显然与b1＜b2矛盾，舍去；
，
d时，可得b1=a12=
，
∴数列{bn}的公比q=
=3+2， ，
综上可得数列{bn}的公比q=3+2故答案为：3+2 14．已知
，
是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|
=
}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式|
．
|≤c||恒成立，则实
数c的最小值为
【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由
=
+
，可得A，B，C共线，再由向量的数量积的几何意义可得
=
=r，可得K的轨迹为圆，
KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得求得圆的直径与AB的关系，即可得到所求最值． 【解答】解：由
=
+
，
可得A，B，C共线， 由
=
，
可得||cos∠AKC=||cos∠BKC， 即有∠AKC=∠BKC，
则KC为∠AKB的平分线， 由角平分线的性质定理可得
=
=r，
即有K的轨迹为圆心在AB上的圆， 由|K1A|=r|K1B|，可得|K1B|=
，
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由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=可得|K1K2|=
=
，
+|AB|
=|AB|，
由r﹣在r≥2递增，可得r﹣≥2﹣=， 即有|K1K2|≤|AB|，
≤，由题意可得c≥，
即
故c的最小值为． 故答案为：．
二、解答题（本大题6小题，共90分）
15．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}． （1）求（?RB）∪A；
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若 C?A，求实数a的取值范围． 【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算． 【分析】（1）解指数不等式我们可以求出集合A，解对数不等式，我们可以求集合B，再由集合补集的运算规则，求出CRB，进而由并集的运算法则，即可求出（CRB）∪A；
（2）由（1）中集合A，结合集合C={x|1＜x＜a}，我们分C=?和C≠?两种情况，分别求出对应的实数a的取值，最后综合讨论结果，即可得到答案． 【解答】解：（1）A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}… B={x|log2x＞1}={x|x＞2}…
（CRB）∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}… （2）当a≤1时，C=?，此时C?A… 当a＞1时，C?A，则1＜a≤3…
综上所述，a的取值范围是（﹣∞，3]…
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16．已知函数f（x）=．
（1）证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数； （2）若x∈[0，2]，求函数f（x）的值域．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的值域；函数单调性的判断与证明． 【分析】（1）证法一：设x1，x2是区间（﹣1，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，作差判断f（x1），f（x2）的大小，可得绪论
证法二：求导，根据x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，可得：函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；
（2）根据（1）中函数的单调性，求出函数的最值，进而可得函数的值域． 【解答】（本题满分14分） （1）证法一：
．
设x1，x2是区间（﹣1，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，… 于是
=．…
因为x2＞x1＞﹣1，所以x1+1＞0，x2+1＞0，x2﹣x1＞0， 所以f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x1）＜f（x2），… 所以函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调增函数．… 证法二：∵f（x）=∴f′（x）=
．
．
当x∈（﹣1，+∞）时， f′（x）＞0恒成立，
故函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；… （2）由（1）可知，函数在[0，2]上为单调增函数，… 于是，当x∈[0，2]时，f（x）min=f（0）=1，…所以，当x∈[0，2]时，函数f（x）的值域为
．…
．…
17．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）． （1）若，且α∈（0，π），求角α的值； （2）若
，求
的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
和 的坐标，再根据【分析】（1）求得 以及α∈（0，π），求得tanα 的
值可得α 的值．
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（2）由，求得 sinα+cosα=，平方可得2sinαcosα=﹣，再根据=2sinαcosα，求得结果．
=（cosα﹣2，sinα）【解答】解：（1）由题意可得 ，=（cosα，sinα﹣2），
∵，∴（cosα﹣2）2+sin2α=cos2α+（sinα﹣2）2，且α∈（0，π）． 整理可得tanα=1，α=（2）若
．
，则 （cosα﹣2）cosα+sinα（sinα﹣2）=，
化简得 sinα+cosα=，平方可得 1+2sinαcosα=，2sinαcosα=﹣，
∴==2sinαcosα=﹣．
18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流
速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x?v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）． 【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；
（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值． 【解答】解：（Ⅰ） 由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得，解得
故函数v（x）的表达式为
（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得
．
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200 当20≤x≤200时，
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当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为
．
，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时． 答：（Ⅰ） 函数v（x）的表达式
（Ⅱ） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
19．设常数a≥0，函数f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1
（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．
【考点】复合函数的单调性；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；简单复合函数的导数；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）依题意求出g（x）的表示式，用导数研究其单调性求出其最小值再与0比较；
（2）利用（1）的结论进行证明，判断时要求注意研究的区间是（0，+∞）这一特征； （3）由（2）的结论知只须证明f（1）非负即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣（lnx）（lnx）+2alnx﹣1，x∈（0，+∞） ∴
，=
，
∴g（x）=xf'（x）=x﹣2lnx+2a，x∈（0，+∞） ∴
列表如下：
，令g'（x）=0，得x=2，
∴g（x）在x=2处取得极小值g（2）=2﹣2ln2+2a，
即g（x）的最小值为g（2）=2﹣2ln2+2a．g（2）=2（1﹣ln2）+2a， ∵ln2＜1，∴1﹣ln2＞0，又a≥0， ∴g（2）＞0
证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）的最小值是正数， ∴对一切x∈（0，+∞），恒有g（x）=xf'（x）＞0 从而当x＞0时，恒有f'（x）＞0 故f（x）在（0，+∞）上是增函数
证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴当x＞1时，f（x）＞f（1） 又f（1）=1﹣ln21+2aln1﹣1=0
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∴f（x）＞0，即x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0 ∴x＞ln2x﹣2alnx+1
故当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1
20．设数列{an}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得an+k2=an?an+2k成立，则称数列{an}为“Jk型”数列．
（1）若数列{an}是“J2型”数列，且a2=8，a8=1，求a2n；
（2）若数列{an}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{an}是等比数列． 【考点】数列递推式；等比关系的确定． 【分析】（1）利用数列{an}是“J2”型数列，可得数列{an}的奇数项、偶数项分别组成等比数列，根据a2=8，a8=1，求出数列的公比，即可得到通项；
（2）由题设知，当n≥8时，an﹣6，an﹣3，an，an+3，an+6成等比数列；an﹣6，an﹣2，an+2，an+6也成等比数列，可得
，进而可得
，
对任意n≥2都成立，
由此可得数列{an}为等比数列． 【解答】解：（1）∵数列{an}是“J2”型数列， ∴
=an?an+4
∴数列{an}的奇数项、偶数项分别组成等比数列 设偶数项组成的等比数列的公比为q， ∵a2=8，a8=1，∴∴a2n=8×
，∴q= =24﹣n；
（2）由题设知，当n≥8时，an﹣6，an﹣3，an，an+3，an+6成等比数列；an﹣6，an﹣2，an+2，an+6也成等比数列．
从而当n≥8时，an2=an﹣3an+3=an﹣6an+6，（*）且an﹣6an+6=an﹣2an+2． 所以当n≥8时，an2=an﹣2an+2，即
于是当n≥9时，an﹣3，an﹣1，an+1，an+3成等比数列，从而an﹣3an+3=an﹣1an+1，故由（*）式知an2=an﹣1an+1， 即
．
当n≥9时，设
，当2≤m≤9时，m+6≥8，从而由（*）式知am+62=amam+12，
故am+72=am+1am+13，从而
，
于是
．
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因此对任意n≥2都成立．
因为，所以于是．
故数列{an}为等比数列．
，
第13页（共14页）
2016年12月1日
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