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第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案
一、单项选择题
1．下面函数与y?x为同一函数的是（ ） A.y?∴选C
4．下列函数在???,???内无界的是（ ）
A.y?1 B.y?arctanx 21?x?x? B.y?2xC.y?sinx?cosx D.y?xsinx
解: 排除法：A
x2 C.y?elnx D.y?lnex
解：?y?lne?xlne?x，且定义域
xx1??有界，21?x2x22
Barctanx??2有界，C sinx?cosx????,???， ∴选D
2．已知?是f的反函数，则f?2x?的反函数是（ ）
故选D 5．数列?xn?有界是limxn存在的（ ）
n??A 必要条件 B 充分条件
C 充分必要条件 D 无关条件 解：??xn?收敛时，数列xn有界（即
1A.y???x? B.y?2??x?
21??2xC.y???2x? D.y?2?
21解:令y?f?2x?,反解出x：x???y?,互
21换x，y位置得反函数y???x?，选A
23．设f?x?在???,???有定义，则下列函数为奇函数的是（ ）
xn?M），反之不成立，（如??1??n?1?有界，
但不收敛，
选A 6．当n??时，sin则k= （ ）
211与k为等价无穷小，nnA.y?f?x??f??x?B.y?x??f?x??f??x??? C.y?x3f?x2?
1 B 1 C 2 D -2 211sin22nnlim?lim?1，k?2 选C 解：?n??n??11nknk A
二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设f?x??为
解： ∵f??f?x????1
D.y?f??x??f?x?
解：?y?xfx331f?x??，则f?的定义域??1?x??的定义域???,???且
2y??x????x?f?x2???x3f?x2???y?x?
1?1?f?x?111?1?x
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x??1?1?x 2?x∴f??f?x???定义域为
解：?当n??时，sin22～ ∴原式nn(??,?2)?(?2,?1)?(?1,??)
8．设f(x?2)?x?1, 则f(x?1)?
解：（1）令x?2?t,f?t??t?4t?5
223n2?526=lim?= n??5n?3n5三、计算题（每小题8分，共64分）
arcsin13．求函数y?2x?17的定义域 x?1f?x??x2?4x?5
（2）f?x?1??(x?1)?4(x?1)?5?x?6x?10
229．函数y?log4x?log42的反函数是
??1?2x?1?1??3?x?4 7?解：??x?1或x??1x?1?0???2y?1解：（1）y?log4(2x)，反解出x：x?4
∴函数的定义域为??3,?1)?1,4? 14．设f?sin（2）互换x,y位置，得反函数y?410．limnn??2x?1
??n?1?n?2? lim3nn?1?n?2?3???x???1?cosx 求f?x? 2?解：原式
有理化n??
x??22sin解：???2cos?f11．若lim?1??n???5??n??kn?2?x?2?1?sin2x?
?2?2???e?10,
?f1????2????2?
?则k?
lim5(?kn)解：左式=en??n 故f?x??21?x?2?
?e?5k?e?10 故
k?2
3n2?52sin= 12．limn??5n?3n15．设f?x??lnx，g?x?的反函数
g?1?x??2?x?1?x?1，求fg?x?
?? 2
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解: （1） 求g(x):?y?2x?2 ∴反
x?1解出
x：xy?y?2x?2x?y?2
y?2x?2
x?2 (2)f?g?x???lng?x??lnx?2
??x?2互换x,y位置得g(x)?16．判别f?x??lnx?1?x2的奇偶性。 解法（1）：f?x?的定义域???,???，关于原点对称
???1??2? x?111??????2?得2f?x?? ?x?1x?11故 f(x)?2
x?111 ??????2?得2g?x??x?1x?1x故g(x)?2
x?1f(x)?g(x)?18．设lim??n?2a???8，求a的值。 n???n?a?3a??n?2a???lim1????n??n???n?a??n?a?3nn3n3?f??x??ln??x??ln1?x2
?11?x2
?x解： ?lim?
?lnx?1?x2???1??ln(x?1?x2)
?enan??n?alim?ea,?ea?8
n故a?ln8?3ln2
??f?x?
?f?x??ln(x?1?x2)为奇函数
解法（2）：?f?x??f??x?
?111?19．求lim? ??????n???1?22?3n?n?1???解：（1）拆项，
1k?1?k ?k(k?1)(k?1)k?ln(x?1?x2)?ln?x?1?x2
?ln?(x?1?x2)?????11?k?1,2,?,n kk?1?1?x2?x??ln1?0
????f??x???f?x? 故f?x?为奇函数
17．已知f?x?为偶函数，g?x?为奇函数，
111???? 1?22?3n?n?1?1??1??11??1??1??????????? ?2??23??nn?1?1，求f?x?及g?x? x?11解： 已知f(x)?g(x)?????
x?11即有 ?f(?x)?g(?x)??x?1且f?x??g?x??
3
?1?1 n?1n?nlim1??n??n?1?e?e?1 （2）原式=lim?1??n???n?1?专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印
20．设f?x??a求limx?a?0,a?1?, （3）讨论f3?x?的有界性
1ln??f?1??f?2??f?n??? n??n2?f3?x??x1?3x2?x3x?13
解： 原式=lim112nlna?a?a??
n??n2?f3?x?有界
22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为?的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角?的函数。
解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h，底半径为r，依题意：漏斗容积V=?rh
1?lim2?lna?2lna???nlna? n??n?lna?lim1?2???n
n??n2?lna?lim?(n?1)n
n??n2?21321lna?a?0,a?1? 2x1?x2?h?R2?r2,2?r?R?
四、综合题（每小题10分，共20分） 21．设f?x?=，求f3?x?=
R2??R2??2?r?h?R? 224?4?24?2????R2???R故V?
34?22?ff??f?x???并讨论f3?x?的奇偶性与有
界性。
解：（1）求f3?x?
?f?x??x1?x2???R3???4?2??? 324?（2）函数的定义域
?f2?x??f?x?1?f2?4?2??2?0,?2??2???x1?2x22
?x????0??????
f3?x??f??f2?x????f2?x?1?f22?x?x1?3x2
R3??4?2????0?????? 故V?224?五、证明题（每小题9分，共18分） 23．设f?x?为定义在???,???的任意函数，证明f?x?可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。
4
（2）讨论f3?x?的奇偶性
?f3??x???x1?3x2??f3?x?
?f3?x?为奇函数
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证：(1) f?x??f?x??f??x?2?f?x??f??x?2
?2??2??1?:f?x??4f?x??x?x2?22?x2 ?3f?x??,f?x??x3x2x
(2)令g?x??f?x??f??x?2????x????
?g?x?
（3）?f?x?的定义域???,0???0,???
?g??x??f??x??f?x?2?g?x?为偶函数
(3)令??x??2?x2又?f??x????f?x?
?3x?f?x?为奇函数
f?x??f??x?2????x????
＊选做题
1已知12?22???n2?????x??f??x??f?x?2n(n?1)(2n?1)，
6????x?
???x?为奇函数
（4）综上所述：f?x??g?x?偶函数+??x?奇函数
?1222n2??3???3求lim?3? n??n?1n?2n?n??12?22???n2解: ?
n3?n?1?24 设f?x?满足函数方程2f?x?+f??
?x?=
12n212?22???n2?3???3?n?1n?nn3?112?22???n2且lim n??n3?n?limn?n?1?(2n?1)6?n3?n??1 3
1，证明f?x?为奇函数。 x?1?1证：（1）?2f?x??f??????1?
?x?xn??1令?t,2fx的记号无关
?1????f?t??t ?函数与自变量?t?12?22???n2limn??n3?1?limn(n?1)(2n?1)1?
n??6(n3?1)3?1??2f???f?x??x???2?
?x?1?（2）消去f???，求出f?x? ?x?
5
1 32 若对于任意的x,y，函数满足：
∴由夹逼定理知，原式?
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f?x?y??f?x??f?y?，证明f?y?为奇
函数。
解 (1)求f?0?：令
注：B:??,C:2,D:1
3． 若limf?x???，limg?x???，则
x?x0x?x0下列正确的是 （ ） A． lim??f?x??g?x?????
x?x0x?0,y?0,f?0??2f?0??f?0??0
(2)令x??y:f?0??f??y??f?y??f??y???f?y?
B． lim?f?x??g?x????? x?x0?C． limx?x0?f?y?为奇函数
1?0
f?x??g?x?第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1． 下列极限正确的（ ） A． lim在
C． limxsinx??D． limkf?x????k?0?
x?x0解：?limkf?x??klimf?x??k??x?x0x?x0k?0?
sinxx?sinx不存?1 B． limx??x??xx?sinx1??1 D． limarctanx?
x??x2?选D
4．若limx?0f?2x?x?2，
1?tx1sintlim解：?limxsin ?选C
x??t?0xt则limx?0x? （ ）
f?3x?A．3 B．
11 C．2 D． 32sinxsinxx?1?0?1 ?0;Blim注：Alimx??xx??sinx1?01?x1?2． 下列极限正确的是（ ）
2tx3x?2t3lim解：lim x?0f?3x?t?0f?2t?e?0 B． lime?0 A． lim??x?0x?01x1x?21211lim??? 3t?0f?2t?323tC． lim(1?cosx)x?0secx?e
?选B
1xD． lim(?x??1x1x)?e
??e?e解：?lim?x?0?1?0 ?选A e?6
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??1xsinx(x?0)?5．设f?x????0(x?0)且lim??xsin1?a(x?0)x?0f?x??x?存在，则a= （ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 解：?limsinxx?0?x?1, xlim???0?????xsin1?x???a????o?a ?a?1 选C
6．当x?0?时，f?x??1?xa?1是比x高阶无穷小，则 （ ）
A．a?1 B．a?0 C．a为任意实数 D．a?1a1xa解：lim1?x?12a?1x?0?x?limx?0?x0?a?1 故选A
二 、填空题（每小题4分，共24分）
x7．lim?x???x??1?x??? ?x解：原式
1lim?lim?xx????1?1?x??1?xx?1???e?e?1 8．lim?x?1?1?x?1?2?x2?1??? 解：原式
?????limx?1?2x?1?x?1??x?1? ?lim11x?1x?1?2
?2x?1?39．lim?3x?2?97x???3x?1?100?
????解：原式
????397lim?x???2x?1??3x?1???lim?3x?2?x????3x?1?? ??3?2?8?3???27
10．已知limx2?ax?6存在，
x?11?x则a= 解：?limx?1?1?x??0
?limx?1?x2?ax?6??0
1?a?6?0,a??7
11．lim?1x?0??exsin1arcsinx??x2?x??? 解：?sin111x1x2?1,limx?0?e?0?limx?0exsinx2?0又?limarcsinxxx?0x?limx?0x?1 故 原式=1
12．若limx2ln?1?x2?x?0sinnx?0
且limsinnxx?01?cosx?0,则正整数n= 解：?limx2ln?1?x2?x?0limx2?x2sinnx?x?0xn 7
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n?40,limxn?20?n?2,n?4, 故2n原式?lim?cost?sin2t?t?01t x?0x2n?3
三、计算题（每小题8分，共64分）
13．求limsin3x?2xx??sin2x?3x
sin3x?2解： 原式=limsinxx??2x
x?3?limsin3xx??x?0??1??sin3x?1,limx??x?0??
limsin2xx??x?0???sin2x?1,lim1?x??x?0??
?原式?0?220?3??3 14．求lim1?tanx?1?sinxx?0x?1?cosx?
解：原式
有理化
limtanx?sinxx?0x(1?cosx)(1?tanx?1?sinx) ?limtanx(1?cosx)x?0x(1?cosx)?12
?limtanxx??x?12?1x12limx?0x?2
15．求lim?21xx????sinx?cos?x??
解：令
1x?t，当x??时，t?0
1?limt?0?1?cost?1?sin2t?t
???cost?1?sin2telimt?0t?e2
16．求limlncos2xx?0lncos3x
解：原式
变形limln?1?cos2x?1?x?0ln?1?cos3x?1?
等价limcos2x?1x?0cos3x?1
?1等价lim2?2x?2x?0?4 ?12?3x?29????注:原式
????lim?2sin2xx?0cos2x?cos3x?3sin3x
????49 17．求limex?e?x?2xx?0x?sinx
0 解： 原式
0limex?e?x?2x?01?cosx 000ex?e?xlim0ex?e?xx?0sinxlimx?0cosx?2
8
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??1xe???a,x?018．设f?x???且limf?x?x?0?1?cosx,x?0?x?存在，求a的值。
通分limt?0t?ln?1?t?t2
?0????0?1?limt?0?解：?lim?ex?0??1?x????a??e?a?0?a?a
?11?t 2t?limt?01?t?111?lim?
2t?t?1?t?0t?121?cosxlim?limx?0?x?0?xx22x四、证明题（共18分） 21．当x??时且
limu?x??0,limv?x???,
x??x??1?lim?x?02??x?x2 ??2证明lim??1?u?x???x??v?x??ex??
limu?x?v?x?
证：lim??1?u?x???x??v?x??a??2 211?3lnx?lim??1?u?x???x??1?u?x??v?x?u?x?19．lim?sin3x??x?0
?ex??3cosx3xlimu?x??v?x?
解： 原式
?0?换底法0eln(sin3x)x?0?1?3lnxlimx?0?sin3xlim证毕（利用两个重要极限）
22．当x?0时，证明以下四个差函数的等价无穷小。
?e也可以用两个重要极限中的一个，凑一个1出来（凡是可以用换底的都可以用重要极限来求）
x3（1）tanx?sinx等价于?x?0?
2Tanx-sinx可以提取一个tanx，从而凑成
Tanx*(1-cosx)，用等价无穷小可以得出1-cosx~1/2x^2,从而整体等价于x^3/2;
(总结规律：注意tanx-sinx有公共因子tanx，从而充分利用等价无穷小的规律，在不定积分中也同样可以用此方法化解式子)
?e3xx?0?3sinxlim?e??xx?0?3xlim?e??13
20．求lim?x?xln?1?x??21??? x???无穷大与0之间的转换（笔记）
解： 原式
1?txx3（2）tanx?x等价于?x?0?
3x3（3）x?sinx等价于?x?0?
69
?1ln?1?t??lim??? 2t?0tt??专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印
x3（4）arcsinx?x等价于?x?0?
6tan2xx2?lim2?lim2?1 x?0x?0xxx2当x?0时，tanx?x?
3tanx?sinx证：?1??lim 3x?0x2?0????0?tanx?1?cosx?x23?3??limx?0limx?0
x?sinx1?cosx ?limx?01312xx62x2x??lim32?1 x?0x2x3当x?0时，tanx?sinx?
2tanx?xsec2x?1?lim ?2??lim2x?0x?013xx3（0/0型，先用洛比达法则进行求导，然后利用tanx与secx之间的关系转换，再利用等价无穷小）
规律总结：见到tanx的想法：
与sinx同幂组合，注意看是否可以提取公因式tanx;
有平方项看是否可以转化为secx（转化的时候把转化式子写出来，要注意是加1还是减1.。。）；
注意利用万能公式（看书复习万能公式，归纳适用条件）
（怎样将一个word文要分两边显示。。。怎样就可以将这样的文档转化为习惯的样子？？？问老哥）
12x2?lim?1 x?012x2当x?0时，x?sinx?13x 6?4??limx?0arcsinx?x
13x6?111?x?limx?012x221?1?x2 ?limx?012x1?x2212x2?lim?1 x?012x?12当x?0时，arcsinx?x等价于13x 6（规律总结：
三角函数，反三角函数与X组合，0/0型的时候应该先用洛比达法则求一次导，（求导的时候可以对分母先应用等价无穷小，再求导），然后再应用等价无穷小进行化简，，此外应该特别注意，可以先应用极限的四则运算，（四则不仅只有加减，还有乘除，应格外熟悉）,将某些难化简，但极限好求的先进行计算，（一
10
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般题目要求求的都是极限存在的，所以可以用此方法解题，若解出来发现极限不存在，这说明不能用四则运算，因而再想别的方法）） 五、综合题（每小题10分，共20分） 23．求lim3x?9x2?12x?1
x????10?2?n n?12 答m?6,n?12
选做题
11?1?x求??xlim?x?0?e?????x? ???1x1x有根号，无从下手时想到用分母有理化，化成指数次幂除以指数次幂的形式。 解： 原式
解：原式1?有理化limx??9x2??9x2?2x?1?3x?9x?2x?1
2??1?x??e??? lim1?x?0??e????1?x???1?x??lim?x?0e
lim?limx???2x?13x?9x2?2x?1?1?x?x?ex?e1??????ex?0?e1x
1?21x?lim???
x??3?33213?9??2xx?2?x2?mx?81?，求常24． 已知lim2x?2x??2?n?x?2n5数m,n的值。
解：（1）∵原极限存在且
2lim??x??2?n?x?2n???0 x?2令y??1?x??e11ln?1?x?xy???1?x?1x1x?ln?1?x?1?x 2xx?1?x?2??1?x?xx??1?x?ln?1?x?x??1?x?ln?1?x?x2?1?x?
原式?ex?0lim?ex?0lim0?ln?1?x?2x?3x2
?ex?02x?3x2lim?x?e
?12?lim?x?mx?8??0,4?2m?8?0
2x?2第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题
2m?12,m?6
（2）?limx?2x?6x?8
x2??2?n?x?2n2答案
一、单项选择题（每小题4分，共24 分） 1．若f?x?为是连续函数， 且f?0??1,f?1??0， 则limf?xsinx??11
?0????0?lim2x?64?6?
x?22x??2?n?4??2?n??
?21? 2?n5??1???( ) x?专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印
A． -1 B．0 C．1 D． 不存在 解： 原式
1??sinf连续??1?x?f?limxsin??f?limx??1?x??x????x???f?x?,x?0?Fx?4．设???x
?f?0?,x?0?且f?x?在x?0处可导，f??0??0,
?f?1??0，选B
2． 要使f?x??ln?1?kx?在点x?0处连续，应给f?0?补充定义的数值是( ) A． km B．
mxf?0??0,则x?0是F?x?的 ( )
A． 可去间断点 B． 跳跃间断点 C． 无穷间断点 D． 连续点 解：?limF?x??limx?0x?0f?x??f?0?x?0?f??0?,
k mkmf??0??f?0??F?0??f?0??limF?0?，
x?0C． lnkm D． e
故x?0是F?x?的第一类可去间断点。选A
m??解：?limf?x??ln?lim(1?kx)x?
x?0?x?0?limkx?mx1??xsin5．f?x???x,x?0在x?0处 ( )
??0,x?0A． 极限不存在 B．极限存在但不连续
C ．连续但不可导 D．可导但不连续
?lnex?0?lnekm?km
解：?limf?x??limx?sin?0，且f?0??0
x?0x?03．若limf(x)?A，则下列正确的是 x
x?a?f?0??km 选A
1（ ）
A． limf?x??A
x?a?f?x?在x?0连续，又?f??0?
B． limx?af?x??A 1xsin?0x?f?x?在x?0?lim?不存在，
x?0x?0不可导 选C
（判断函数是否可导，应该用定义法去判断。。。）
C． limf?x???A
x?aD． limf(x)?A
x?a解：limx?af?x?u连续?x2?1,x?16．设f?x???在x?1可导，则
ax?b,x?1?limf?x??x?aA a,b为 （ ）
A． a??2,b?2 B． a?0,b?2
12
选B
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C． a?2,b?0 D． a?1,b?1 解：（1）?f?x?在x?1连续，
2f??0??0 即f??0??0
9．设y?6x?k是曲线y?3x?6x?13的 一条切线，则k?
解： （1）?y??6,y??6x?6,?6x?6?6,x?2 （2）6?2?k?3?4?6?2?13,?12?k?12?12?13,2?lim?x2?1??2,lim??ax?b??a?b ?x?1x?1故a?b?2??1?
x2?1（2）f???1??lim?2,f???1?
x?1?x?1a?x?1?ax?b?2?1??limlim?a ?x?1?x?1x?1x?1故k?1
10． 若y?f(x)满足：f(x)?f?0??x
???x?，且limx?0??x?x?0
?a?2，代入?1?得b?0，选C
（两个未知数找准两个方程，第一人利用连续的性质，第二个利用可导，求出特殊点的导数） 二、 填空题（每小题4分，共24分） 7．设f(x)为连续奇函数，则f?0?=
解：（1）?f?x?为奇函数，?f??x???f?x?
则f??0?= 解：f??0??limx?0f?x??f?0?x?0
?limx?0x???x?x?1?0?1
?f?x??（2）?limf??x??lim?? x?0x?0?又?f?x?在x?0连续
（在不确定函数是否可以求的导的情况下一
定要用定义求在某点的导数）
11． 设f(x)在x?2连续，且f(2)=4， 则limf(x)?x?2?f?0???f?0? 故f?0??0
规律总结：连续的奇函数在0点的函数值为0； 可导的偶函数，0点的导函数为0；
8．若f?x?为可导的偶函数，则f??0??
4??1?2?? x?2x?4??x?2解： 原式=f(2)limx?2?4 2x?4?4limx?211?4??1 x?24sinx??x?1?x?x5?f??x??f?x? ?f?x?为偶函数，解：（1）
(2)?f?x?可导，??f???x??f??x? 故
12．f(x)?的间断点个数为
52解： 令x?x?0,x?x?1??x?1?x?1?0
?f??0??f??0?
13
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x?0,x??1,x?1为间断点，
故f?x?有三个间断点
（间断点就是函数没有意义的点） 三 、计算题（每小题8分，共64分）
x?1lim?ln?1?t?lnxx?1?t?lim?1 ?x?0x?1t?f?x?在x?1不连续
(判断连续性即找准分段点，求极限) 15． 设f(x)有连续的导函数，且
?sin2x?e2ax?1,x?0?13． 已知f(x)?? x?a,x?0?在???,???上连续，求a的值 解：?f?x?在x?0连续
?f?x??asinx,x?0?f?0??0,f??0??b若F?x???x?A,x?0?在x?0连续，求常数A。 解：?limF?x??limx?0x?0f?x??f?0??asinxxasinxx?0xsin2x?e2ax?1?limf?x??limx?0x?0xsin2xe2ax?1?lim?lim?2?2a x?0x?0xx且f?0??a,?2?2a?a 故a??2
?limx?0f?x??f?0?x?0?lim?f??0??a
且F?0??A，?a?b?A 答A?a?b
?1?ex,x?0?14． 讨论f(x)??0,0?x?1在x?0,x?1?lnx?,x?1?x?1连续性
1x?ex?1,x?0?16． 设f(x)??x在x?0可导，
?kx?b,x?0?求k,b的值。
（看到可导的条件要求变量，一定是两个方程，一个关于连续性，一个是关系某点的导数值（都是左导等于右导）
找一个题目自己动手计算，看是否有问题！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！）
?lime?0,lim?0?0 解：（1）在x?0处，?x?0x?0且f?0??0
?f?x?在x?0处连续 0?0, （2）在x?1处，?lim?x?1ex?1?f?x?在x?0连续，解：（1）?lim??1
x?0xx?0?lim(kx?b)?b 故有b?1
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（2）?f?x?在x?0可导 答：a??1,f??0???1 2ex?1?1x f???0??lim?x?0x?0?0???ex?1?x?0?ex?11?limlim? x?0?x?02x2x218． 讨论f(x)?x?a??x?在x?a是否可导，其中??x?在x?a连续。 解：（1）f???a??lim?x?a?x?a???x??0x?a
kx?1?1f???0??lim?k,
x?0x11?k?，答k?,b?1
22?ln(1?ax),x?0?17．设f(x)??在x?0可x???1,x?0导，求a与f??0?
解：（1）?f?x?在x?0连续，
?lim?x?a??x?a???x?x?a
??lim??x??x?a?连续???a?
（2）f???a??lim?x?a?x?a???x??0x?a?lim??x??x?a
?lim?x?a?x?a???x?x?a?连续??a?答： 当??a??0时，f?x?在x?a连续，
?limf?x??limx?0x?0ln?1?ax?x?limax?a
x?0x当??a??0时，f?x?在x?a不连续 19． 求f(x)?点类型
解：（1） 间断点：x?0,x??1,x?1 （2） 在x?0处：?lim且f?0???1，故有a??1 （2）?f?x?在x?0可导
1的间断点，并指出间断lnxln(1?x)?1x f??0??limx?0x?0?1???1ln?1?x??x?0??limlimx?1 2x?0x?02xx?lim1?x?11??
x?02x?x?1?215
1?0
x?0lnx?x?0是f?x?的第一类间断点。
（3） 在x??1处：?lim1??
x??1lnx
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?x??1为f?x?的第二类无穷间断点。
?x1??120． 设f(x)??e,x?0指出
??ln?1?x?,?1?x?0f(x)的间断点，并判断间断点的类型。
解：（1）x?1为间断点，x?0可能是间断
点。
（2）在x?1处：
（4）在x??1处：?limx?1??
x??1x?1?x??1是f?x?的第二类无穷间断点
?x2?x,x?0?22．已知f(x)??ax3?bx2?cx?d,0?x?1，
?x2?x,x?1?在???,???可导，求a,b,c,d之值 解：（1）?f?x?在x?0连续，
?lime?x?11x?1?e???0,lime?x?11x?1??
?x?1是f?x?的第二类无穷间断点
（3）在x?0处：
1x?1?lim??ax3?bx2?cx?d??d
x?0x?02limx?x??0,f?0??0 ???lime?x?0?e?1,limln?1?x??0 ?x?0故d?0??1?
（2）?f?x?在x?0可导
?x?0是f?x?的第一类跳跃间断点
四、 综合题（每小题10分，共20分）
11?21． 求f(x)?xx?1的间断点，并判别
11?x?1x间断点的类型。
解： （1）间断点：x?0，x??1,x?1 （2）在x?0处：
x2?xf???0??lim?1,
x?0?xax3?bx2?cxf???0??lim?c
x?0x故有c?1??2?
（3）?f?x?在x?1连续，
f?x??x?x?1?x?11??
x(x?1)1x?1x?0?lim?ax3?bx2?x??f?1? ?x?1?limf?x??limx?0x?1??1 x?1即a?b?1?f?1??0
?x?0是f?x?的第一类可去间断点
（3）在x?1处：?limf?x??limx?1x?1?a?b?1?0??3?
（4）?f?x?在x?0可导：
x?1?0 x?116
?x?1是f?x?的第一类可去间断点
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x2?x?f???1??lim?1
x?1?x?1ax3?bx2?x f???1??limx?1?x?1?0????0?1?u?xsin,x?024． 设f?x???，证明（1）x??0,x?0当u?0时f?x?在x?0连续，当u?1时，
f?x?在x?0可导
x?1lim?3ax2?2bx?1? ?解：（1）?limxsinx?0u?3a?2b?1
故有3a?2b?0??4? 由（3）（4）解得a?2,b??3 答：a?2,b??3,c?1,d?0 五、证明题（每小题9分，共18分） 23． 证明x?2x?4?0在区间??2,2?内至
41u?0时0
x?1uu?0?sin?1,limx0? ?x?0x???当u?0时，f?x?在x?0连续 1x?limxu?1sin1u?1时0 (2)?limx?0x?0x?1xxusin?1u?1u?1??sin?1,limx0? ?x?0x??当u?1时，f?x?在x?0可导 总之，当u?0时，f?x?在x?0连续 当u?1时，f?x?在x?0可导 选做题
设对于任意的x，函数满足f?1?x??
少有两个实根。
证：（1）?f(x)在??2,0?连续， 且f?0???4?0,f??2??16?0
?由零点定理知，
f(x)=0在??2,0?上至少有一个实根。
（2）?f(x)在?0,2?连续,且
f?0???4?0,f?2??16?4?8?0
?由零点定理知，
f(x)=0在?0,2?上至少有一个实根
（3）综上所述，f(x)=0在??2,2?上至少有两个实根
af?x?且f??0??b,证明f??1??a?b
证：（1）令x?0，f?1?0? ?af?0?，即
f?1??af?0?
(2) f??1??limx?0f?1?x??f?1?x
17
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?limx?0af?x??af?0?x?af??0??a?b
选B
注：本题用导数定义计算更方便！ 3．设f?x??ln?1?x?，则fA ．
?5?证毕
?x?= ( )
5
第四讲：导数与微分的计算方法的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．设fx4!?1?x?5!5 B ．
?4!?1?x??5!
C．
?1?x?5 D．
?1?x?5
???x24?x2?1,则f??1??( )
2解：f??x???1?x?,
?1A ．1 B ．3 C． -1 D． -3
22解：（1）?fx?xf???x???1?1?x?, f????x????1???2??1?x? f?4??3?2?????x2?1
?f?x??x2?x?1
(2) f??x??2x?1,f???1???2?1??1 选C
2．设f?x??xx?12?x????1???2???3??1?x??4,
?5f(5)?x????1???2???3???4??1?x??2??x2?22?
?4!(1?x)?5 选A
4．设y?f?x?由方程e2x?y ?x?n?22?,则f??0?? （ ）
n2?cos?xy??e?1所确定，则曲线y?f?x?在点（0，1）的切线斜率f?(0)= ( )
A ．2 B． -2 C ．
2A ．(n!) B． ??1?(n!)
C． n! D． ??1?n!
22解： 令g?x??x?1n???x2?22???x2?n2?
11 D． - 222x?yf?x??x?g(x) f??x??g?x??xg??x? f??0??g?0??0???1???2? ????n????1??n!?
18
2n222解：e?2?y???sin?xy???y?xy???0
e??2?y??0???0?0,y??0??f??0???2
选B
5． 设f?x?为可导偶函数，且g?x??f?cosx?，
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???则g'??? （ ）
?2? A． 0 B ．1 C ．-1 D． 2 解：（1）g??x??f??cosx???cosx??
d2y则2? dxdy?e?tcost?e?tsint解：（1）??e?2t(?1) ttdxesint?ecostd2ydy?dy?dx?2e?3t(2) ???2dxdxdtdtsint?cost8．设f?x??1?lnx，
2?f??cosx????sinx?
（2）?f??x??f?x?,
?f???x????1??f??x? ?f??0??f??0?得f??0??0
（3）g??则f??e?=
??????f?0??0 选A ?2?11lnxxx解：(1)f??x?? ?2221?lnx1?lnx2lnx?（2）f??e??6．设f?x?在x?1有连续导数，且f??1??2,则lim?x?0112? 2e2exdfcosx? ( ) dx??9． 直线l与x轴平行，且与曲线y?x?e相切，则切点坐标是
A． 1 B． -1
C． 2 D ．-2 解：
dfcosx dx????1?e,ye??0?e?1?0 解：?y曲故有切点坐标?0,?1?
xx?f?cosx??sinx??sinx2x????12x
10．y?f?x?由方程x?y?sinx?6y?033(2)原式?lim?x?0f?cosx
???x?0? 确定，则dy解：当x?0时，y?6y?0得y?0
3??1f??1???1 2选B
二、填空题（每小题4分，共24分）
t??x?esint7．若?， ?t??y?ecost3x2?3y2?y??cosx?6y??0
y??0??11，dy?x?0?y??0?dx?dx 661?ex11．设y?ln，
1?ex19
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则dy?
11解：y?ln?1?ex??ln?1?ex?
221xex1?eex2 y????21?ex1?exe2x?112．设f?x??a0x?a1xnn?1解：(1) y??arcsinx?x212?x?1????2?2 ??2x24?x2?arcsin???an?1x?a0，
?xx? 224?xx4?x2则 f?n??0?=
n?1?arcsinx 2解：f??x??na0x?(n?1)a1xn?2
??an?1?? f?n?x???(2)y????arcsin?
2???x??n?n?1???a0xn?n?n
??n!a0,f??x?????2??x?1????2?2?14?x2 ?0??n!a0
1?x?1，求dy。
1?x?1三、计算题（每小题8分，共64分） 13 ．设y?ln15．方程sin?xy??lnx?1?1确定y?y?x?，y解： (1)y?ln(1?x?1)?ln?1?x?1
?求
dy?x?0 dx11?y??=0 x?1y(2)y??1111?x?121?x1? 解：(1)cos?xy??(y?xy?)??1x1?x1?x?121?x
（2） 当x?0时，0?lny?1?y?e （3）cos?0?e??(e?0)?1?（3）dy?1dx
x1?x1y?(0)?0 ee?1?1y?(0) ，y?(0)?e(e?1) ecoxs14．设y?xarcsinx求y?及y??。 ?4?x2，216．设 y?x?sinx?，求y?
解：（1）lny?lnx?cosxlnsinx
20
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11cosx(2)y???sinx?lnsinx?cosx
yxsinxy??x?sinx?cosx解：（1）F?x?y?22???2x?2yy??
?F??x?y??1?y???y??0
?1cos2x???sinxlnsinx???xsinx?（2）当x?0时，y?2 ??（3）F??4???4y?(0)??F?(2)?1?y?(0)? ?y?(0)?0
??x?ln1?t217 ．设?，确定y?y?x?，
??y?t?arctantd2y求。 dx24y?(0)?1dy1?2dy1?tdt解：（1）??12t?t
dxdx21?t2dtdy?2t??1?t2?dydy?dt(2)2? ???dxtdxdxtdt1?t21?x?n?18． 设y?，求y
1?x?1?x?22解：（1）变形，y? ??1?1?x1?x（2）y??2??1??1?x?
?21?1?y?(0)??y?(0)?0 21y?(0)??
71dy?x?1?，求 ,y?f??xx?1dx??20．已知f??x???x?1??x?1???x?1???解：（1）y?f? ??2x?1???x?1???2?x?1?2?x?1?f???
x?1??(2)?f??x??1 xy???2??1???2??1?x?
y????2??1???2??1?x???
ny???2??1?n!?1?x?n?n?1?4?3?x?1?x?1?f?? ??x?1x?1??dy?2x?1?2?? dx?x?1?2x?1x2?1四、证明题（本题8分） 21．证明抛物线x?
19． 设y?y?x? 由方程Fx?yy?a任一点处的切?22??F?x?y??y?0所确
线所截两坐标轴的截距之和等于a。 证：（1）求切线方程：设切点坐标为?x0,y0?
定，其中F可导，且
1dyF??2??,F?(4)?1,y?0??2，求?x?0
2dx
21
?12x?12yy??0，y???y x专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印
?y??x0???y0 x0?2?a?1,a??1,
又?点?1,?1?在曲线y?x?x?b上
2故有切线方程：
yy?y0??0?x?x0?
x0（2）求截距： 令y?0，?y0??解得x?x0???1?12?1?b,b??1
23．设y?f?x?单调，且二阶可导，求
dx及dyy0?x?x0? x0d2xf??x??0? 2?dy解：（1）
x0y0,
x0y0 令x?0，y?y0?解得y?y0?dx11 ??dydyf??x?dxx0y0
（3）证明两截距之和为a（即x?y?a）
1d2x?dx?d（2）= ?2?dydydyf?x?=
x?y?x0?y0+2x0y0 ?????x0???2y02?2?2x0y0?
??21d1dx0?f???x???? 2??dxf?x?dy?f??x??f?x????f???x???f??x???3?
??x0?y0???a?2?a
证毕
五、综合题（每小题10分，共30分） 22．若曲线y?x?ax?b与2y??1?xy在点?1,?1?相切，求常数a,b。 解：（1）求两曲线的斜率
在y?x?ax?b上，y??2x?a,y??1??2?a
2324．设y?arctan1?x，求y?? 1?x1dx?解：（1）dy(1?x)2?1?x??? 2??1?x??1?x?1????1?x?2?(1?x)??1?x?2??(1?x)??1?x?(1?x)232y??y3?3xy2y?,y??1??1 在y??1?xy上，
??2?1 ?2(1?x)2(1?x)22）求a,b之值：依题意，?两曲线在点?1,?1?相切，
22
?1?(2)y????1??1?x2??
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?1?x选做题
?2?2??2x?2x?1?x?22
（2）当f?x??0时：
ddlnf?x??ln??f?x??? dxdx?inx1．设f可导，y?sinf????s??且
?????f??x?f?x??f??x?f?x?
f(0)?0，求y?(0)
（3）综上所述：
f??x?dlnf?x?? 解：（1）y??cos?f??sinf?x????
?f???sinf?x????cosf?x??f??x?
(2)∵f?0??0?cosf?0??1,sinf?0??0（3）y??0??cosf?0??f??0??cosf?0??f??0?
??22?cosf?0??????f??0??????f??0??2?
2．设f?x?有任意阶导数，且
f??x???f?x??2??，求f(n)?x? 解：∵f??x??f2?x?
∴f???x??2f?x?f??x??2f3?x?
f????x??2?3f2?x?f??x??2?3f4?x?,??? f?n??x??n!fn?1?x?
3．设f?x?可导且f?x??0，
证明ddxlnf?x??f??x?f?x? 解：（1）当f(x)?0时
ddxlnf?x??d1dxlnf?x??f?x?f??x?
23
dxf?x?