2019版高考数学(理)一轮复习课时分层作业
课时分层作业 三十三
数 列 求 和
一、选择题(每小题5分,共25分) 1.数列{1+2n-1}的前n项和为 ( )
A.1+2n B.2+2n C.n+2n-1 D.n+2+2n 【解析】选C.由题意得an=1+2n-1,
所以Sn=n+=n+2n-1.
2.1-4+9-16+?+(-1)n+1n2等于 ( )
A.C.(-1)n+1
B.-
D.以上答案均不对
【解析】选C.当n为偶数时,1-4+9-16+?+(-1)n+1n2=-3-7-?-(2n-1)
=-=-;
当n为奇数时,1-4+9-16+?+(-1)n+1n2=-3-7-?-[2(n-1)-1]+n2
=-+n2=,
综上可得,原式=(-1)n+1
.
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3.设直线nx+y=与两坐标轴围成的三角形面
积为an,则a1+a2+?+a2 017= ( )
A.C.
B. D.
(n∈N*)与
【解析】选A.分别令x=0和y=0,得到直线nx+(n+1)y=
两坐标轴的交点:,,则
an=··==-,
然后分别代入1,2,?,2 017,则有a1+a2+?+a2 017=1-+-+?+1--=
= .
【变式备选】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=4,S4=10,则数列
的前2 018项和为 ( )
A.C.
B. D.
【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,则a4=a1+3d=4,S4=4a1+6d=10,
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联立解得a1=d=1,所以an=a1+(n-1)d=n,==-,
所以数列的前
2 +
018项和=1-
为
=
.
++?
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,通项公式an=n·(-1)n+1,则S17=( ) A.10 B.9 C.8 D.7 【解析】选B.S17=1-2+3-4+5-6+?+15-16+17 =1+(-2+3)+(-4+5)+?+(-14+15)+(-16+17) =1+1+1+?+1=9.
【一题多解】解决本题还可以采用以下方法: 选
B.S17=1-2+3-4+5-6+?+15-16+17=(1+3+?+17)-(2+4+?
+16)=81-72=9.
【变式备选】在数列{an}中,a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为( )
A.990 B.1 000 C.1 100 D.99
【解析】选A.n为奇数时,an+2-an=0,an=2;n为偶数时,an+2-an=2,an=n.故S60=
2×30+(2+4+?+60)=990.
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5.定义为n个正数p1,p2,?,pn的“均倒数”.若
已知正项数列{an}的前n项的“均倒数”为,又bn=,则
++?+=
( )
A. B. C. D.
【解析】选C.依题意有n项和Sn=n(2n+1)
=,即数列{an}的前
=2n2+n,当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1,a1=3满足该式.则an=
4n-1,bn==n.因为==-,所以
++?+=
1-+-+?+-=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知数列2 017,2 018,1,-2 017,?若这个数列从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2 018项之和S2
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018
=________.
【解析】由题意可知an+1=an+an+2,a1=2 017,a2=2 018,所以a3=1,a4=-2 017,a5=
-2 018,a6=-1,a7=2 017,?,所以an+6=an,即数列{an}是以6为周期的数列
018
,又a1+a2+a3+a4+a5+a6=0, 所以S2
=336(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+(a1+a2)=4 035.
答案:4 035
7.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项公式为2n,则数列{an}的前n项和Sn=________. 【解析】因为an+1-an=2n,
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2+?+22+2+2=+2=2n-2+2=2n.
所以Sn=答案:2n+1-2
=2n+1-2.
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=nan+an-c(c是常数, n∈
N*),a2=6,又bn=,数列的前n项和为Tn,若2Tn>m-2对n∈
N*恒成立,则正整数m的最大值是________.
【解析】因为Sn=nan+an-c,
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当n=1时, S1=a1+a1-c,解得a1=2c, 当n=2时,S2=a2+a2-c,即a1+a2=a2+a2-c, 解得a2=3c,所以3c=6,解得c=2. 则a1=4,数列{an}的公差d=a2-a1=2, 所以an=a1+(n-1)d=2n+2.
因为bn===,
由错位相减可得: Tn=2-,
则Tn+1-Tn=-=>0
所以数列{Tn}单调递增,T1最小,最小值为, 所以2×>m-2,所以m<3, 故正整数m的最大值为2. 答案:2
【题目溯源】本考题源于教材人教A版必修五P61习题A组T4“求和:1+2x+3x2+?+nxn-1”.
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2018·武邑模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,a2=8,a3=24,{an+1-2an}为等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.
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(2)求Sn.
【解析】(1)因为a2-2a1=4,a3-2a2=8, 所以an+1-2an=4×2n-1=2n+1,
所以-=1,所以是以1为首项,1为公差的等差数列.
所以=1+(n-1)=n,
所以an=n×2n. (2)由(1)可得an=n×2n,
所以Sn=1×2+2×22+3×23+?+n×2n,① 2Sn=1×22+2×23+3×24+?+n×2n+1,② 由①-②及整理得Sn=(n-1)×2n+1+2.
10.已知函数g(x)=(a+1)x-2+1(a>0)的图象恒过定点A,且点A又在函数f(x)=lo
(x+a)的图象上.
(1)求实数a的值.
(2)当方程|g(x+2)-2|=2b有两个不等实根时,求b的取值范围.
(3)设an=g(n+2),bn=N*).
,n∈N*,求证,b1+b2+b3+?+bn<,(n∈
【解析】(1)函数g(x)的图象恒过定点A,A点的坐标为(2,2), 又因为A点在f(x)上,则f(2)=
(2+a)=2,
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即2+a=3,所以a=1. (2)
=2b,
所以
=2b,
=2b,即
由图象可知:0<2b<1,
故b的取值范围为(3)an=2n+1,
.
bn==-,
所以b1+b2+b3+?+bn=-<,n∈N*.
1.(5分)(2018·合肥模拟)已知数列{an}满足a1=2,4a3=a6,数列,则数列{(-1)nan}的前10项的和S10= ( ) A.220 B.110 C.99 D.55
是等差
【解析】选B.设等差数列的公差为d,则=a1+5d,=+3d,
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将已知值和等量关系代入,计算得d=2,所以
=a1+(n-1)d=2n,an=2n2,所以 S10=-a1+a2-a3+?+a10 =2(-12+22-32+?+102)=110.
2.(5分)已知在正项等比数列{an}中,a1=1,a2a4=16,则|a1-12|+|a2-12|+?+|a8-12|= ( )
A.224 B.225 C.226 D.256 【解析】选B.设正项等比数列{an}的公比为q且q>0, 因为a1=1,a2a4=16, 所以q4=16,解得q=2. 所以an=1×2n-1=2n-1, 由2n-1≤12,解得n≤4.
所以|a1-12|+|a2-12|+?+|a8-12|=12-a1+12-a2+12-a3+12-a4+a5-12+?+a8-12
=-2(a1+a2+a3+a4)+(a1+a2+?+a8)
=-2×+
=-2(24-1)+28-1=225.
【变式备选】已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n+1(3n-2),则前100项和S100等于________.
【解析】因为a1+a2=a3+a4=a5+a6=?=a99+a100=-3,所以S100=-3×50=-150.
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答案:-150
3.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,且an=sin
018
,n∈N*,则S2
=________.
【解析】an=sin
504+2
,n∈N*,显然每连续四项的和为0.S2 018=S4×
=1+0=1.
答案:1
4.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2-n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=,求数列的前n项和Tn.
【解析】(1) 当n=1时, a1=S1=-=-2, 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=n2-n-
[(n-1)2-(n-1)]=3n-5,将n=1代入上式验证显然适合, 所以an=3n-5(n∈N*).
(2)bn==
所以Tn=b1+b2+?+bn
,
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=+(
-)=
+
=-
+.
?
5.(13分)数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=Sn+an+2,a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列
的通项公式.
(2)若数列{bn}满足=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)因为Sn+1=Sn+an+2, 所以an+1-an=2, 所以数列{an}是公差为2的等差数列, 因为a1,a2,a5成等比数列, 所以所以
=a1·a5,
=a1 (a1+8),解得a1=1.
所以an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)因为数列{bn}满足所以bn=(2n-1)
=, =(2n-1)·2n.
所以数列{bn}的前n项和 Tn=2+3×22+5×23+?+(2n-1)·2n,
所以2Tn=2×2+3×23+?+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1, 所以Tn=6+(2n-3)×2n+1.
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