偏微分方程数值解试题 一（10J(x)?小值点. (4分) 评分标准:?(?)的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 分）、设矩阵A对称正定，定义 二（20分）、对于边值问题 ??2u?2u?2?2??1,(x,y)?G?(0,1)?(0,1) ??x?y??u|?G?01(Ax,x)?(b,x)(x?Rn)，证明下列两个问题等价：(1)求2x?RJ(x);(2)求下列方程组的解：Ax?b x0?Rn使 J(x0)?minn解: 设x0?Rn是J(x)的最小值点,对于任意的x?Rn,令 ?(?)?J(x0??x)?J(x0)??(Ax0?b,x)??22(Ax,x), (3分) （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。 因此??0是?(?)的极小值点,?'(0)?0,即对于任意的（2）取h?1/3，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩x?Rn,(Ax0?b,x)?0,特别取x?Ax0?b,则有阵形式，并求解） (Ax0?b,Ax0?b)?||Ax0?b||2?0,得到Ax0?b.（3分) （3）就取h?1/N的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分 反之,若x0?Rn满足Ax0?b,则对于任意的1x,J(x0?x)??(1)??(0)?(Ax,x)?J(x0),因此x0是J(x)的最2块矩阵表示）。 解: (1) 区域离散xj?jh,yk?kh,差分格式为 uj?1,k?2ujk?uj?1,kh2?uj,k?1?2ujk?uj,k?1h2??1评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分, 形式3分,B的形式2分 (5分) 应用Tayloy展开得到,截断误差为为O(h2) (3分) (2) 未知量为U?(u11,u12,u21,u22)T,矩阵形式为AU?F,其中 h?u?u[4?4]jk?O(h4),其阶12?x?y244??u?2u??a2,0?x?1,0?t?T?x??t三（20分）、对于初边值问题?u(x,0)??(x),0?x?1 ?u(0,t)?u(1,t)?0,0?t?T??（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，?4?1?10??1?????1?1???140?1?A??,F??104?1?9?1??????0?1?14??1?????(4分) 1解为u?(1,1,1,1)T (3分) 18 指出误差阶; （2）写出差分格式的矩阵形式（即AUk?1?BUk??F的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性 （3）建立六点加权格式，写出计算形式，应用Fourier方法（分离变量法）分析格式的稳定性。 ?B???I(3) 矩阵为?????IB??I??I??4?1???????14?1?,B???? (5分) ???????B??14???解:(1) 区域离散,格式为(5分) ?1uk?ukjj??a(3分) 12k , ?uxj2h111当??格式恒稳定,当??,稳定条件为r?
221?2?(2分) 主项为应用2Ta2y展4开得到,,误阶差为1?ukah?uk(2)j??(4)j?O(?2?h4)2?t12?x?u?u?a?0的三层差分格式四（10分）、逼近2t ? x O(??h) ? ?1?1un?unjj(3分) 2??anunj?1?uj?12h?0 (2) (4分) A?E,B?diag{r,1?2r,r}, 分析格式的稳定性 解:计算形式为?1nnn?1un??ar(u?u)?ujj?1j?1j
稳(3分) 定条件为r?1/2 (2 分 ) ?1此为三层格式,化为两层格式.令vn?unjj,则n?1nnn??uj??ar(uj?1?uj?1)?vj有 n?1 (4分) n, ? ?uj??vj(3) 格式为uk?1j?ukj??a2k?1k?(?u?(1??)uxjj)2hni?jhni?jh令un,代入格式,消去公因子,得到 ,vnj?w1ej?w2e ?w1n?1???2iarsin?h1??w1n??n?1????n????w???10???2???w2?(2分) 2?2u2?u 五 （ 10 分） 、 建立波动方程 2?a的初值问题的显格式，推2?t?x导截断误差. ?1n?1un?2unjj?ujn1???2arsi?hi?放大矩阵为G??,特征方程为??10??|?E?G|?解:差分格式为?2?a212n?xuj2h,
??2arsi?hin?1 ?1??2arsin?h?4?4a2r2sin2?h?i 2(5分) 41??4u?22??u?????a??h2?O(?4?h4),阶为截断误差为4?4???12??t?j??x?jnn???2arsin?hi??1?0,?1,22O(?2?h2) (5分) ?1?2?1,max{|?1|,|?2|}?1的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即??4?4a2r2sin2?h?0.考虑到?的变化,稳定条件为|ar|?1 (2分) ?u?2u?2u六（10分）、对于二维抛物型方程?a(2?2)建立向后差?t?x?y分格式（隐格式），指出截断误差阶，分析格式的稳定性。 解: (4分) 差分格式为?1nunjk?ujk?|G|??2sin2kh?1?4?(1?coskh)?4?2(1?coskh)2 a2n?12n?1?2(?xujk??yujk) h ??2(1?coskh)(1?cokhs)?1?4?(1?cokhs)?4?2(1?cokhs)2 误差阶为O(??h2) (3分) 放大因子为G(?,?,?)?1,恒稳定. (3?h?h1?4rsin2?4rsin222 ?1?(1?coskh)[4??4?2(1?coskh)??2(1?coskh)] (2分) von Neumann条件|G|?1变为 4??4?2(1?cokhs)??2(1?cokhs)?0 即 4??2?2?(4?2??2)(1?cokhs)?0
分) 七（10分）、分析差分格式 ?1kuk?ujj? 的稳定性 ?akkuk?2u?uj?1jj?1h2?bkuk?uj?1j?12h?cukj(a?0)只需 4??2?2?0,2(?2?4?2)?4??2?2?0
a2?2???1。第二个条件可化为2?1，因条件4??2??0可以写成h2?解:写出计算形式,忽略低阶项2分,写出放大因子3分 此差分格式稳定的条件是 a2?2???1,?1 (3分) 2?h2