书利华教育网www.shulihua.net精心打造一流新课标资料
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
1．设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)＝m，令随机变量
??1 A发生X＝?，则X的方差DX＝( )
?0 A不发生?
A．m B．2m(1－m) C．m(m－1) D．m(1－m)
解析：选D.显然X服从两点分布，DX＝m(1－m)． 2．已知X的分布列为 X －1 0 1 111P 2367，且Y＝aX＋3，EY＝，则a为( )
3
A．1 B．2 C．3 D．4
1111
解析：选B.先求出EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－. 2363
再由Y＝aX＋3得EY＝aEX＋3. 71
∴＝a(－)＋3，解得a＝2. 33
4
3.正态总体N(0，)中，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)内的概
9
率是( )
A．0.46 B．0.997 C．0.03 D．0.0026
2
解析：选D.由题意μ＝0，σ＝，
322
∴P(－2＜X<2)＝P(0－3×＜X<0＋3×)＝0.9974，
33
∴P(X＜－2)＋P(X＞2)＝1－P(－2≤X≤2)＝1－0.9974＝0.0026. 4．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.2 0.4 0.4 则E(6X＋8)＝( ) 书利华教育网www.shulihua.net精心打造一流新课标资料
书利华教育网www.shulihua.net精心打造一流新课标资料
A．13.2 B．21.2 C．20.2 D．22.2 解析：选B.EX＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4 ＝0.2＋0.8＋1.2＝2.2，
∴E(6X＋8)＝6EX＋8＝6×2.2＋8＝13.2＋8＝21.2. 5．(2008年高考安徽卷)设两个正态分布N(μ1，σ12)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
解析：选A.由正态分布N(μ，σ2)性质知，x＝μ为正态密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2.又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.
6．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是( )
62A. B. 5537C. D. 55
解析：选A.记“同时取出的两个球中含红球个数”为X，
C30C221C31C216
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
C5210C521020
C3C23
P(X＝2)＝＝，
C52101636
EX＝0×＋1×＋2×＝. 1010105
7．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则DX＝________.
1
解析：∵X～B(3，)，
4
139
∴DX＝3××＝. 4416
书利华教育网www.shulihua.net精心打造一流新课标资料
书利华教育网www.shulihua.net精心打造一流新课标资料
9
答案：
16
8．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的方差最大，其最大值是________．
p＋q2n1
解析：由Dξ＝npq≤n()＝，当p＝q＝时取等号，此时Dξ
242
＝25.
1
答案： 25
29．均值为2，方差为2π的正态分布的概率密度函数为________．
2
1－(x－μ)
解析：在密度函数f(x)＝e，x∈R中， 22σ2πσ
μ＝2，σ＝2π，
2
1－(x－2)
故f(x)＝e，x∈R.
2π4π(x－2)21
答案：f(x)＝e－，x∈R
2π4π10．(2009年高考江西卷)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审
1
结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支
2
持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．
(1)写出ξ的分布列； (2)求数学期望Eξ.
解：(1)ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.
13155
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝5)＝，P(ξ＝10)＝，P(ξ＝15)＝，P(ξ
643264161531
＝20)＝，P(ξ＝25)＝，P(ξ＝30)＝.
643264
31551531
(2)Eξ＝5×＋10×＋15×＋20×＋25×＋30×＝
326416643264
15.
11．在北京奥运会期间，4位志愿者计划在长城、故宫、天坛和天安门等4个景点服务，已知每位志愿者在每个景点服务的概率都是1
，且他们之间不存在相互影响． 4
(1)求恰有3位志愿者在长城服务的概率；
书利华教育网www.shulihua.net精心打造一流新课标资料
书利华教育网www.shulihua.net精心打造一流新课标资料
(2)设在故宫服务的志愿者人数为X，求X的概率分布列及数学期望．
由此可得X的概率分布列为
X 0 1 2 3 4 81272731P 2566412864256所以变量X的数学期望为 81272731
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.
2566412864256
12.(2009年高考全国卷Ⅱ)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；
(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； (3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．
解：(1)由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理．若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人．
(3)ξ的可能取值为0,1,2,3. Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i＝0,1,2. B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人． Ai与B独立，i＝0,1,2.
书利华教育网www.shulihua.net精心打造一流新课标资料
书利华教育网www.shulihua.net精心打造一流新课标资料
31
P(ξ＝2)＝1－[P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)]＝.
75
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 6283110P 757575758
Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝.
5
书利华教育网www.shulihua.net精心打造一流新课标资料