同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案
习题 1?11. 设 A?∞, ?5∪5, +∞, B[?10, 3, 写出 A∪B, A∩B, A\\B及 A\\A\\B的表达式解 A∪B?∞, 3∪5, +∞, A∩B[?10, ?5, A\\B?∞, ?10∪5, +∞, A\\A\\B[?10, ?5
C C C2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: A∩B A ∪B证明 因为 C C C C Cx∈A∩B ?x?A∩B? x?A或x?B? x∈A 或x∈Bx∈A ∪B ,C C C 所以 A∩B A ∪B 3. 设映射 f : X →Y, A?X, B?X证明1fA∪BfA∪fB; 2fA∩B?fA∩fB 证明 因为 y∈fA∪B??x∈A∪B, 使 fxy?因为 x∈A 或 x∈B y∈fA或 y∈fB? y∈ fA∪fB,所以 fA∪BfA∪fB 2因为y∈fA∩Bx∈A∩B, 使 fxy?因为 x∈A且 x∈B y∈fA且 y∈fB? y∈ fA∩fB,
所以 fA∩B?fA∩fB 4. 设映射f : X→Y, 若存在一个映射g: Y→X, 使 g f I , f g I , 其中I 、I 分别是X、
X Y X Y
Y上的恒等映射, 即对于每一个x∈X, 有I xx; 对于每一个y∈Y, 有I yy. 证明: f是双射, 且g
X Y?1
是f的逆映射: gf证明 因为对于任意的y∈Y, 有xgy∈X, 且fxf[gy]I yy, 即Y中任意元素都是X中某
y
元素的像, 所以f为X到Y的满射 又因为对于任意的x ≠x , 必有fx ≠fx , 否则若fx fx ?g[ fx ]g[fx ]x x
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 因此 f 既是单射, 又是满射, 即 f 是双射 对于
映射g: Y→X, 因为对每个y∈Y, 有gyx∈X, 且满足fxf[gy]I yy, 按逆映射的
y
定义, g是f的逆映射 5. 设映射 f : X→Y, A?X证明: ?1 1f fA?A; ?1 2当f是单射时, 有f fAA ?1 ?1 证明 1因为x∈Afxy∈fAf yx∈f fA, ?1
所以 f fA?A1 2由1知f fA?A1 ?1 另一方面, 对于任意的x∈f fA?存在y∈fA, 使f yx?fxy因为y∈fA且f是单1 ?1
射, 所以x∈A. 这就证明了f fA?A. 因此f fAA6. 求下列函数的自然定义域: 1 y 3x+2 ;
2 2 解 由 3x+2≥0 得 x 函数的定义域为[? , +∞ 3 3 1 2 y ; 2 1?x
2 解 由 1?x ≠0得x≠±1函数的定义域为?∞, ?1∪?1, 1∪1, +∞1 2 3 y 1?x ; x
2 解 由x≠0 且 1?x ≥0得函数的定义域D[?1, 0∪0, 1]1 4 y ; 2 4?x
2 解 由 4?x 0 得 |x|2函数的定义域为?2, 2 5 y sin x ;解 由 x≥0 得函数的定义 D[0, +∞ 6 ytanx+1;
π π
x≠kπ + ?1解 由 x+1≠ k0, ±1, ±2,得函数的定义域为 k0, ±1, ±2,
2 2 7 yarcsinx?3; 解 由|x?3|≤1 得函数的定义域 D[2, 4]
1 8 y 3? x +arctan ;x 解 由 3?x≥0 且 x≠0 得函数的定义域 D?∞, 0∪0, 3 9 ylnx+1; 解 由 x+10 得函数的定义域 D?1, +∞
1
x 10 ye解 由 x≠0 得函数的定义域 D?∞, 0∪0, +∞ 7. 下列各题中, 函数 fx和 gx是否相同?为什么? 2 1fxlg x , gx2lg x;
2 2 fxx, gx x ; 3 3
4 3 3 f x xx , gx x x?1
2 2 4fx1, gxsec x?tan x解 1不同因为定义域不同 2不同因为对应法则不同, x0时, gx?x 3相同因为定义域、对应法则均相相同 4不同因为定义域不同
π|sin x| |x|π π π
3 8. 设?x , 求? , ? , ?? , ??2, 并作出函数 y?x的图形π 6 4 4 ?0 |x|≥3
π π 1 π π 2 π π 2 解 ? |sin | , ? |sin | , ?? |sin? | , ??20 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:x 1 y , ?∞, 1;1? x 2yx+ln x, 0, +∞ 证明 1对于任意的x , x ∈?∞, 1, 有 1?x 0, 1?x 0. 因为当x x 时,
1 2 1 2 1 2 x x xx
1 2 1 2yy 0,1 2 1? x 1? x 1? x 1? x 1 2 1 2 x
所以函数 y 在区间?∞, 1内是单调增加的
1? x 2对于任意的x , x ∈0, +∞, 当x x 时, 有 1 2 1 2 x
1yy x +ln x ?x +ln x xx +ln 0,1 2 1 1 2 2 1 2 x 2
所以函数 yx+ln x 在区间0, +∞内是单调增加的 10. 设 fx为定义在?l, l内的奇函数, 若 fx在0, l内单调增加, 证明 fx在?l, 0内也单
调增加 证明 对于?x , x ∈?l, 0且x x , 有?x , ?x ∈0, l且?x ?x 1 2 1 2 1 2 1 2 因为 fx在0, l内单调增加且为奇函数, 所以 f?x f?x ,fx ?fx , fx fx ,2 1 2 1 2 1
这就证明了对于?x , x ∈?l, 0, 有fx fx , 所以fx在?l, 0内也单调增加1 2 1 2 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间?l, l上的, 证明: 1两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; 2两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是
奇函数 证明 1设 Fxfx+gx. 如果 fx和 gx都是偶函数, 则 F?xf?x+g?xfx+gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数 如果 fx和 gx都是奇函数, 则 F?xf?x+g?x?fx?gx?Fx,所以 Fx为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数 2设 Fxfx?gx. 如果 fx和 gx都是偶函数, 则 F?xf?x?g?xfx?gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数 如果 fx和 gx都是奇函数, 则 F?xf?x?g?x[?fx][?gx]fx?gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数 如果 fx是偶函数, 而 gx是奇函数, 则 F?xf?x?g?xfx[?gx]?fx?gx?Fx,所以 Fx为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数 12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数?
2 21yx 1?x ;2 32y3x ?x ; 2
1?x3 y ;2
1+x4yxx?1x+1; 5ysin x?cos x+1; x ?x a +a6 y 2
2 2 2 2 解 1因为f?x?x [1??x ]x 1?x fx, 所以fx是偶函数 2 3 2 3 2由f?x3?x ??x 3x +x 可见fx既非奇函数又非偶函数 2 2 1??x
1? x 3因为 f ?x f x , 所以 fx是偶函数 2 2 1+ x
1+x 4因为 f?x?x?x?1?x+1?xx+1x?1?fx, 所以 fx是奇函数 5由 f?xsin?x?cos?x+1?sin x?cos x+1 可见 fx既非奇函数又非偶函数
?x ??x ?x x
a +a a +a 6因为 f ?x f x , 所以 fx是偶函数
2 2 13. 下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数, 指出其周期: 1ycosx?2; 2ycos 4x; 3y1+sin πx; 4yx cos x;
25ysin x 解 1是周期函数, 周期为 l2π π 2是周期函数, 周期为 l
2 3是周期函数, 周期为 l2 4不是周期函数 5是周期函数, 周期为 l
π 14. 求下列函数的反函数:3 1 y x+1 ;1?x 2 y ;
1+x
ax+b 3 y ad?bc≠0;cx+d 4 y2sin3x; 5 y1+lnx+2;x 2 6 y x 2 +1 3 3
3 3 解 1由 y x+1得xy ?1, 所以 y x+1的反函数为yx ?1 1? y
1?x 1?x 1?x 2由 y 得 x , 所以 y 的反函数为 y 1+x 1+ y 1+x 1+x ?dy+b
ax+b ax+b ?dx+b 3由 y 得 x , 所以 y 的反函数为 y cy?a
cx+d cx+d cx?a y
1 1 x 4由 y2sin 3x 得 x arcsin, 所以 y2sin 3x的反函数为 y arcsin 3 2 3 2
y?1 x?1 5由y1+lnx+2得xe ?2, 所以y1+lnx+2的反函数为ye ?2x x y
2 2 x 6由 y 得 xlog , 所以 y 的反函数为 ylog 2 2 x x
2 +1 1? y 2 +1 1? x 15. 设函数 fx在数集 X 上有定义, 试证: 函数 fx
在 X 上有界的充分必要条件是它在 X
上既有上界又有下界 证明 先证必要性. 设函数 fx在 X 上有界, 则存在正数 M, 使|fx|≤M, 即?M≤fx≤M. 这
这就证明了 fx在 X 上有下界?M 和上界 M 再证充分性. 设函数fx在X上有下界K 和上界K , 即K ≤fx≤ K取M|K |, |K |,
1 2 1 2 1 2
则M≤ K ≤fx≤ K ≤M ,1 2 即 |fx|≤M
这就证明了 fx在 X 上有界 16. 在下列各题中, 的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值
x 和x 的函数值:1 2
2 π π 1 yu , usin x, x , x ;1 2 6 3
π π 2 ysin u, u2x, x , x ; 1 2 8, 4
2 3 y u, u1+x , x 1, x 2; 1 2
u 2 4 ye , ux , x 0, x 1; 1 2
2 x 5 yu , ue , x 1, x ?11 2 2 π 1 1 π 3 3
2 2 2 2 解 1ysin x, y sin , y sin 1 2 6 2 4 3 2 4
求由所给函数复合而成π π 2 π π 2ysin2x, y sin2? sin , y sin2? sin 1 1 2 8 4 2 4 2
2 2 2 3 y, 1+ x y 1+1 2 , y 1+2 5 1 2 2 2 2
x 0 1 4 y e , y e 1 , y e e 1 2
2x 2?1 2 2??1 ?2 5ye , y e e , y e e
1 2 17. 设 fx的定义域 D[0, 1], 求下列各函数的定义域:2 1 fx ; 2 fsinx; 3 fx+aa0; 4fx+a+fx?aa0
2 2 解 1由 0≤x ≤1 得|x|≤1, 所以函数fx 的定义域为[?1, 1] 2由 0≤sin x≤1 得 2nπ≤x≤2n+1π n0, ±1, ±2 ?, 所以函数 fsin x的定义域为
[2nπ, 2n+1π] n0, ±1, ±2 ?3由 0≤x+a≤1 得?a≤x≤1?a, 所以函数 fx+a的定义域为[?a, 1?a]
1 1 1 4由 0≤x+a≤1 且 0≤x?a≤1 得: 当 0a≤ 时, a≤x≤1?a; 当 a 时, 无解. 因此当 0a≤ 时
2 2 2 1
函数的定义域为[a, 1?a], 当 a 时函数无意义 21 |x|1?
x18. 设 f x 0 |x|1, gxe , 求f[gx]和g[fx], 并作出这两个函数的图形1 |x|1x
1 |e |1 1 x0x
解 f [gx] 0 |e |1 , 即 f [gx] 0 x0x1 |e |1 ?1 x0? 1
e |x| 1 e |x| 1f x 0 g[ f x ]e e |x|1, 即 g[ f x ] 1 |x|11 ?1? e |x|1 e |x|119. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角?40°图 1?37. 当过水断面ABCD的面积为定
值S 时, 求湿周LLAC+CD+DB与水深h之间的函数关系式, 0 图 1?37
h 解 AbDC , 又从 sin40 1
h[BC +BC +2cot40 ?h]S 得 0 2 S 0
BC ?cot40 ?h , 所以 h S 2?cos40 0 L + h
h sin 40 自变量 h 的取值范围应由不等式组 S 0
并说明定义域 h0, ?cot40 ?h0 h
确定, 定义域为 0h S cot40
0 20. 收敛音机每台售价为 90 元, 成本为 60 元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订
购量超过 100 台以上的, 每多订购 1台, 售价就降低 1 分, 但最低价为每台 75 元 1将每台的实际售价 p 表示为订购量 x 的函数; 2将厂方所获的利润 P表示成订购量 x 的函数; 3某一商行订购了 1000 台, 厂方可获利润多少?解 1当 0≤x≤100时, p90令 0. 01x ?10090?75, 得x 1600. 因此当x≥1600 时, p75
0 0 当 100x1600 时, p90?x?100×0. 0191?0. 01x 综合上述结果得到 90 0≤ x≤100 p 91?0.01x 100 x1600?
75x≥1600 30x 0≤ x≤1002
P p?60x 31x?0.01x 100 x1600 215xx≥16002 3 P31×1000?0. 01×1000 21000元习题 1 ?21. 观察 一般项x 如下的数列x 的变化趋势, 写 出它们的极限:n n
1 1 x ;n n 2 1
n 2 x ?1 ; n n 1
x 2 + 3 ;
n 2 n
n ?1 4 x ;n n +1 n 5 x n ?1 n 1 1
x lim 0 解 1 当 n →∞ 时, →0, n n n n → ∞ 2 2 1 1
n n 2 当 n →∞ 时, x ?1 →0, lim ?1 0 n n → ∞ n n
1 1 3 当 n →∞ 时, x 2 + →2,lim2 + 2 n 2 2 n → ∞ n n n ?1 2 n ?1
x 1lim 1 4 当 n →∞ 时, →0,n
n → ∞ n +1 n +1 n +1
n 5 当n→∞ 时, x n ?1 没有极限 n n π cos
2 2. 设数 列x 的一般项 x 问 lim x ? 求出N, 使当nN 时, x 与其极限之差的
n n n n n → ∞ n
绝对值小于正数 ε , 当 ε 0.001 时, 求出数N 解 lim x 0 n n → ∞ n π |cos | 1 1 1 1
2 |x ?0| ≤? ε 0, 要使|x ?0| ε , 只要 ε , 也就 是 n 取 N [ ], n
n n n n ε ε
则?nN, 有|x ?0| ε n
1
N [ ] 当 ε 0.001 时, 1000ε 3. 根据 数列极限的定义证明: 1 1 lim 0 ; 2 n → ∞ n 3n +1 3 lim 2 ; n → ∞ 2n +1 22 2 n +a 3 lim 1 n → ∞
n 4 lim 0.999 9 1 n → ∞ n 个 1 1 1 1 2
| ?0| ε n 1 分析 要使 , 只须 , 即 n 2 2 ε n n ε 1 1
1 证明 因为ε0,N [ ], 当 nN 时, 有| ?0| 2 2 n → ∞
ε , 所以 lim 0 ε n n 1 1
3n +1 3 1 1 2 分析 要使|| ε , 只须 ε , 即 n 2n +1 2 22n +1 4n 4n 4 ε 3n +1 3
1 3n +1 3 证明 因为ε0,N [ ] , 当 nN 时, 有|| ε , 所以 lim n → ∞
4 ε 2n +1 2 2n +1 2 2 2 2 2 2 2 2
n +a n +a ?n a a a 3 分析 要使|, ?1| ε 只须 n 2 2 n n n ε n n +a +n 2 2 2 2 2 a
n +a n +a
证明 因为? ε0,N [ ] , 当?nN 时, 有| ?1| ε , 所以 lim 1 n → ∞ ε n n 1
1 1 4 分析 要使|0.99 9 ?1| , 只须 ε , 即 n 1 +lg ε n ?1 n ?1 ε
10 10 1
证明 因为? ε0,N [1 +lg ] , 当?nN 时, 有|0.99 9 ?1| ε , 所以 lim 0.999 9 1
n → ∞ ε
n 个 4. lim u a , 证明 lim |u | |a|并举例说 明: 如果数列|x | 有极限, 但数列x 未必有
n n n n
n → ∞ n → ∞
极限 证明 因为 lim u a , 所以? ε0, ?N ∈N, 当 nN 时, 有|u ?a| ε , 从而
n n n → ∞
||u | ?|a|| ≤|u ?a| ε n n
这就证明了 lim|u | |a| n n → ∞
n n 数列|x | 有极限, 但数列x 未必有极限. 例如 lim| ?1 | 1, 但 lim ?1 不存在
n n
n → ∞ n → ∞ 5. 设数 列x 有界, 又 lim y 0 , 证明: lim x y 0 n
n n n
n → ∞ n → ∞ 证明 因 为数列x 有界, 所以存在M, 使?n ∈Z, 有|x | ≤M
n n
ε 又 lim y 0 , 所以ε0, ?N ∈N, 当 nN 时, 有| y | 从而当 nN 时, 有 n n n → ∞
Mε |x y ?0| |x y | ≤M | y | M ε ,n n n n n M
所以 lim x y 0 n n
n → ∞ 6. 对于 数列x 若x →a k →∞, x →a k →∞, 证明: x →a n →∞n 2k 2k +1 n 证明 因为x →a k →∞, x →a k →∞, 所以ε0,2k 2k +1?K , 当 2k2K 时, 有| x ?a | ε ;1 1 2kK , ?当 2k+12K +1 时, 有| x ?a | ε
2 2 2k+1
取N 2K , 2K +1, 只要nN, 就有|x ?a | ε因此x →a n →∞1 2 n n 习题 1 ?31. 根据 函数极限的定义证明: 1 lim3x ?1 8;x →3 2 lim5x +2 12;
x →2 2
x ?4 3 lim ?4; x → ?2 x +2 3
1 ?4x 4 lim 2
1
x →2x +1 2
1 证明 1 分析 |3x ?1 ?8| |3x ?9| 3|x ?3|, 要使|3x ?1 ?8| ε , 只须|x ?3| ε
3
1 证明 因为ε 0,δ ε , 当 0 |x ?3| δ 时, 有|3x ?1 ?8| ε , 所以 lim3x ?1 8
x →3 3
1 2 分析 |5x +2 ?12| |5x ?10| 5|x ?2|, 要使|5x +2 ?12| ε , 只须|x ?2| ε
5 1
δ ε 证明 因为ε 0,, 当 0 |x ?2| δ 时, 有|5x +2 ?12| ε , 所以 lim5x +2 12
x →2 5 2 2 2
x ?4 x +4x +4 x ?4 3 分析 ? ?4 |x +2| |x ? ?2| , 要使 ? ?4 ε , 只须
x +2 x +2 x +2 |x ? ?2| ε 2 2
x ?4 x ?4 证明 因为ε 0,δ ε , 当 0 |x ? ?2| δ 时, 有 ? ?4 ε ,
所以 lim ?4
x → ?2 x +2 x +2 3 3
1 ?4x 1 1 ?4x 1 1 4 分析 , 要使 ?2 ε2|x ?|
2x +1 2 2x +1 2 2 3 3
1 1 1 ?4x 1 ?4x 证明 因为ε 0,δ εε , 所以 lim 2
1
2 2 2x +1 2x +1
x →2 2. 根据 函数极限的定义证明:3 1 + x 1 1 ; lim 3 x → ∞ 2 2x
sin x 2 lim 0 x → +∞ x 3 3 3 3
只须|x ?| ε2 |1 ?2x ?2| 当 0 |x ?| δ 时, 有 ?2 , , 1 + x 1 1 + xx 1 1 + x 1 1 证明 1 分析 , 要使 ε , 只须 ε , 即 3 3 3 3 3 2 2
2x 2x 2|x| 2x 2|x| 1 |x| 3 2 ε3 3
1 1 + x 1
1 + x 1 证明 因为ε 0,X , 当|x| X 时, 有 ε , 所以 lim 3 3 3 x → ∞ 2 2 2x 2x 2 ε
sin x |sin x| 1 sin x 1 1 2 分析 ?0 ≤ , 要使 ?0 ε , 只须 ε , 即 x 2
ε x x x x x 1
sin x sin x 证明 因为ε 0,X , 当 x X 时, 有 ?0 ε , 所以 lim 0 2 x → +∞ ε
x x
2 3. 当x →2 时, y x →4. 问δ 等于多少, 使当|x ?2| δ 时, |y ?4|0. 001 ?
2 解 由于x →2, |x ?2| →0, 不妨设|x ?2| 1, 即 1 x 3. 要使|x ?4| |x +2||x ?2| 5|x ?2| 0. 001, 只要
0.001 2
|x ?2| 0.0002
, 取 δ 0. 0002, 则当 0 |x ?2| δ 时, 就有|x ?4| 0. 001 5 2
x ?1 4. 当 x →∞ 时, y →1, 问 X 等于多少, 使当|x|X 时, |y ?1|0.012
x +3 2 x ?1 4
4 解 要使 ?1 0.01, 只 , |x| ?3 397 X 397 2 2 0.01
x +3 x +3 5. 证明 函数 fx |x| 当 x →0 时极 限为零
x |x| 6. 求 f x , ?x 当 x →0 时的 左?右极限, 并说明它们在 x →0 时的 极限是否存在
x x 证明 因为xlim f x lim lim 1 1,x →0 x →0 x x →0 xlim f x lim lim 1 1,+ + +
2
所以当x→1 时, 1?x 和 1?x 是同阶的无穷小, 而且是等 价无穷小 2 3. 证明: 当x→0 时, 有: 1 arctanx~x;2 x 2 secx?1~ 2
arctanx y 证明 1 因为 lim lim 1 提示: 令yarctan x, 则当x→0 时, y →0,x→0 y→0
x tany
所以当x→0 时, arctanx~x x x 2
2sin 2sin 2
secx?1 1?cosx
2 2 2 因为 lim 2lim lim lim 1,2 2 x→0 x→0 x→0 x→0 1 x 2 x cosx x x 2 2 2 2 x
所以当x→0 时, secx?1~
2 4. 利用 等价无穷小的性质, 求下 列极限:tan3x 1 lim ;
x→0 2x n
sinx 2 lim n, m 为正整数; m x→0 sinx
tanx?sinx 3 lim ;3 x→0 sin x
sinx?tanx 4 lim x→0 3 2
1+x ?1 1+sinx ?1tan3x 3x 3 解 1 lim lim x→0 x→0 2x 2x 2 1 nmn
nsinx x 2 lim lim 0 nmm m x→0 x→0 sinx x∞nm1 1 2
sinx ?1 x
tanx?sinx 1?cosx 1 cosx
2 3 lim lim lim lim 3 3 2 2
x→0 sin x x→0 sin x x→0 cosxsin x x→0x cosx 2 4 因为