高三第一学期第2次考试数学试题
一、选择题
1．设函数f?x??3xe，若存在唯一的整数x0，使得f?x0??kx0?k，则k的取值范围是
x（ ） A. ???3?,0? B. 2?e??3?0,? C. ??2e??36??23? D. ?,?,? ?2?2??ee??e2e???2．如图是函数f?x??Asin??x??? ?A?0,??0,?????图象的一部分，对不同2?x1,x2??a,b?，若f?x1??f?x2?，有f?x1?x2??3，则?的值为（ ）
A.
ππππ B. C. D. 126433．已知e为自然对数的底数，若对任意的x??,1?，总存在唯一的y???1,1?，使得
y成立，则实数a的取值范围是 lnx?x?1?a?y2e?1??e?A. ?1??2??2?1??2?
,??? B. ?,e?? C. ?,e? D. ?,e?
e??e??e?e??e?
2
4．若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈(-1,1］时f(x)=1-x,函数
lgx,x?0g?x??{ ,则函数h?x??f?x??g?x?在区间［-5，10］内零点的个数为
1,x?0A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 5．若函数f?x??{axx?1x?1?4?2a?x?1 是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A. (1，＋∞) B. (1,8) C. (4,8) D. [4,8) 6．设集合
则实数的取值范围是
，集合
.若
中恰含有一个整数，
A. B. C. D.
7．定义“函数y?f?x?是D上的a级类周期函数” 如下: 函数y?f?x?,x?D，对
于给定的非零常数 a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有
af?x??f?x?T?恒成立，此时T为f?x?的周期. 若y?f?x?是?1,???上的a级类周
期函数，且T?1，当x??1,2?时， f?x??2x?1,且y?f?x?是?1,???上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. ?,??? B. ?2,??? C. ?,??? D. ?10,??? ?6??3?8．已知关于x的方程
?5??5?1?ax有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是 （ ） x?2A. ???,0? B. ?0,1? C. ?1,??? D. ?0,???
ex,x?0 若关于x的方程f2?x??f?x??t?0有三个不同的实9．已知实数f?x??{lg??x?,x?0根，则t的取值范围为（ ）
A. ???,?2 B. 1,??? C. ?2,1 D. ???,?2?1,??? 10．已知方程lnx???????123mx??0有4个不同的实数根，则实数m的取值范围是( ) 22?e2?
A. ?0,? B. ?2??e2?220,e D. ???0,? C. ?0,e???2?
x2?y2?111．已知x,y满足{x?y??1 ，则z?x?y的取值范围是 （ ）
y?0A. ?-2,1? B. ?-1,1? C. ?-2,2? D. ?-1,2?
??????12．定义在R上的函数f?x?满足f?x?2??f?x?，当x?3,5时， f?x??2?x?4，则下列不等式一定成立的是（ ） A. f?cos??????????f??sin? B. f?sin1??f?cos1? 6?6??C. f?cos
??2?32????fsin??3???? D. f?sin2??f?cos2? ?二、填空题
13．已知点P在正方体ABCD?A1B1C1D1的对角线N上， AC，则DP与PC所成角的大小为___________.
x2y2x2y214．已知椭圆C1： 2?2?1(a1?b1?0)，双曲线C2： 2?2?1(a2?0,b2?0)，以
a1b1a1b1C1的短轴为正六边形最长对角线，若正六边形与x轴正半轴交于点M， F?c1,0?为椭圆右a12焦点， A为椭圆右顶点， B为直线x?与x轴的交点，且满足OM是OA与OF的等
c1差数列，现将坐标平面沿y轴折起，当所成二面角为60时，点A,B在另一半平面内的射影恰为C2的左顶点与左焦点，则C2的离心率为__________．
?x2y2x2y215．已知椭圆C1： 2?2?1(a1?b1?0)，双曲线C2： 2?2?1(a2?0,b2?0)，以
a1b1a1b1C1的短轴为一条最长对角线的正六边形与x轴正半轴交于点M， F为椭圆右焦点， A为a12椭圆右顶点， B为直线x?与x轴的交点，且满足OM是OA与OF的等差中项，现
c1将坐标平面沿y轴折起，当所成二面角为60时，点A,B在另一半平面内的射影恰为C2的左顶点与左焦点，则C2的离心率为__________． 16．设x?0,y?0,3x?y?5,则
三、解答题
?13?的最小值为___________ x?1yx2y217．已知F1,F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，点P??1,e?在椭圆上， e为椭
ab圆的离心率，且点M为椭圆短半轴的上顶点， ?MF1F2为等腰直角三角形. （1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F2作不与坐标轴垂直的直线l，设l与圆x2?y2?a2?b2相交于A,B两点，与椭
?????????2?圆相交于C,D两点，当F且的面积S的取值范围. ??,1?时，求?FCDA·FB??111??3?18．设函数??x??e?1?ax，
x（I）当a?1时，求函数??x?的最小值；
（Ⅱ）若函数??x?在?0，+??上有零点，求实数a的范围；
（III）证明不等式ex?1+x?213x?x?R?. 619．设函数f?x??3x?2?a?b?x?ab，函数g?x???x?a??x?b? a,b?R （1）当b?1时，解关于x的不等式： f?x???a?3?x??3a?4?x?a?2；
2（2）若b?a?0且a?b?23，已知函数有两个零点s和t，若点As,s?g?s?，
??????????B?t,t?g?t??，其中O是坐标原点，证明： OA与OB不可能垂直。
20．设函数f?x??lnx?m， m?R. x(1)当m?e (e为自然对数的底数)时，求曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线方程； (2)讨论函数g?x??f'?x????x的零点的个数； 3 (3)若对任意b?a?0，
f?b??f?a?b?a?1恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
DDDBD BCCAD 11．D 12．C 13．45? 14．2 15．2 16．
3 2?4346?x2?y2?1（2）?17．（1），? 27??5（Ⅰ）由?MF，a?2b， 1F2是等腰直角三角形，得b?c22?2?2从而得到e?，故而椭圆经过??1，?，
?2?2??代入椭圆方程得
11??1，解得b2?1，a2?2， 222b2bx2?y2?1． 所求的椭圆方程为2（Ⅱ）由（Ⅰ）知F，0?，F2?1，0?，由题意，设直线l的方程为x?ty?1， 1??1A?x1，y1?，B?x2，y2?，
由{x?ty?1，22得?t?1?y?2ty?2?0， 22x?y?3，2t2，yy??， 12t2?1t2?1则y1?y2??????????FFB，y1???x2?1，y2???x1?1??x2?1??y1y2 1A·1??x1?14t22?2t2??ty1?2??ty2?2??y1y2?t?1y1y2?2t?y1?y2??4??2?2?4?2．
t?1t?1?2??????????2?22?2t2?11??1，解得t2??，?． ∵F1A·F1B??，1?，∴?23t?1?3??32?
x?ty?1，由{x22?y2?1，消x得t2?2y2?2ty?1?0．
??设C?x3，y3?，D?x4，y4?，
y3?y4?则S?F1CD?2t1yy??， ， 34t2?2t2?212?F1F2·y3?y4??y3?y4??4y3y4 228t2?12t?4?． ???2???222t?2t?2??t?2????设t2?1?m，则S?8m?m?1?2?8?43?，其中m??，?， 1?32?m??2m∵S关于m在?，?上为减函数，
32∴S???43????4346??4346?，即的面积的取值范围为，，?FCD???． 17?7??5?518．（I）??x?min?0；（II）?1,???；（III）见解析.
（I）??x??ex?1?x,?'?x??ex?1
x0时，?'?x?0.??x?递减；x0时，?'?x?0,??x?递增
??x?min???0??0
（II）?'?x??ex?a
若a?0,?'?x??ex?a?0,??x?在R上递增，且??0??0，所以??x?在?0，+??
上没有零点
若a?0,?'?x?0,xlna,?'?x?0,xlna
??x?在???,lna??,?lna,????,所以??x?min???lna??a?1?alna
当0?a?1时，极值点x0?lna?0，又??0??0， ??x?在?0，+??无零点
当a?1时，极值点x0?lna?0,设g?a??a?1?alna
g'?a???lna?0， g?a?在?1，+??上递减， ???x?min?g?a??g?1??0
??2a??e2a?1?2a2??'?2a??2e2a?4a?2?e2a?2a??0， ??2a?在?1,???上递增 所以??2a????2??e2?5?0，所以??x?在?0，+??上有零点
所以， a的取值范围是?1,??? .
13x2x（III）证明：设函数f?x??e?1?x?x,f'?x??e?1?
62x(1)当x?0时，f'?x??0， f?x?在???,0?上递减 (2)
当
x?0时，设
1g?x??f'?x??ex??1x2g?x??,ex?x '2设h?x??ex?x，h'?x??ex?1?0?x?0?h?x??ex?x在?0,???上递增?h?x??h?0??1?0
x2g?x??e?1?在?0,???上递增?g?x??g?0??0
2x
1即当x?0时， f'?x??ex?1?x2?0， f?x?在?0，+??上递增，
2由（1）（2）知， f?x?min?f?0??0?f?x??0 即ex?1+x?13x?x?R?. 619．（1）见解析；（2）见解析. （1）当b?1时，由f?x???a?3?2x??3a?4?x?a?2有ax2??a?2?x?2?0，即
?ax?2??x?1??0，当a?0时，有?2x?2?0，解得： x?1 当a?0时，
2?0?1，a解得： x?1或x?22?a22，当a?0时， ?1?，所以 当a?2时， ?1，解得：
aaaa2222?x?1当a?2时， ?1，此时无解 当0?a?2时， ?1，解得： 1?x?，综上： aaaa当a?2时，原不等式的解集为： ??2?当a?2时，原不等式的解集为： ?，当0?a?2,1?，
?a?时，原不等式的解集为： ?1,?，当a?0时，原不等式的解集为： ?1,???，当a?0时，
?2??a?原不等式的解集为： ???,??2????1,???. a?ab2?a?b?， st??0
33tg?t??（2）b?a?0时， 由s,t为f?x??0的两根可得， s?t??????????????????O?B假设OA?O，B即OA?,s??s??g??,s????t?s??t?s?t0s，g故?gtg?s???g?t?1?，即
?s???a???s???b?1t，?a所?t以?b92222????aba?b?9a?b?st?s?ta?a?st?s?tb?b??1从而有 ，即 ????????????ab922?4ab?236?12即a?b?23，这与a?b?23矛盾.故?a?b???a?b??4ab?ab????????故OA与OB不可能垂直.
20．(I) ?1?e?x?y?2e?1?0；(II)见解析；（III）?,???。 (1)当m?e时， f?x??lnx??1?4??e1ex?e，所以f??x???2?2， k?f??1??1?e ，切xxxx点坐标为?1,e?所以曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线方程为?1?e?x?y?2e?1?0. (2)因为函数g?x??f??x??设h?x?????x1mx1??2??x?0?令g?x??0，得m??x3?x?x?0?，3xx3313x?x?x?0?所以h??x??2x1??3???x1???x?1，?当x??0,?1时，
h??x??0，此时h?x?在?0,1?上为增函数；当x??1,???时， h??x??0，此时h?x?在
?1,???上为减函数，所以当x?1时， h?x?取极大值h?1???1?3?3，
令h?x??0，即??当m?1213x?x?0，解得x?0或x?3，由函数h?x?的图像知： 32时，函数y?m和函数y?h?x?无交点； 32?当m?时，函数y?m和函数y?h?x?有且仅有一个交点；
32?当0?m?时，函数y?m和函数y?h?x?有两个交点；
3④当m?0时，函数y?m和函数y?h?x?有且仅有一个交点。
综上所述，当m?当m?2时，函数g?x?无零点； 32或m?0时，函数g?x?有且仅有一个零点 32当0?m?时，函数g?x?有两个零点
3（3）对任意b?a?0,f?b??f?a?b?a?1恒成立，等价于f?b??b?f?a??a恒成立，设
??x??f?x??x?lnx?m?x?x?0?则??x?在x?0,???上单调递减，所以
21m1?1???x???2?1?0在?0,???上恒成立，所以m??x2?x???x??在?0,???上??xx2?4?2恒成立，因为x?0,?x?x?1111，所以m?，当且仅当x?时， m?， 4244所以实数
的取值范围?,???.
?1?4??
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