河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试
数学（文科）
考生注意：
1．本试卷分必考部分和选考部分，共150分。考试时间120分钟。 2．请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。 3．本试卷主要考试内容：高中全部内容。
必考部分
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的. 1．已知集合A??k?N|10?k?N?，B??x|x?2n或x?3n,n?N?，则A?B?（ ） A．?6,9? B．?3,6,9? C．?1,6,9,10? D．?6,9,10? 2．若复数z满足z??1?2i??1?3i(i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知命题p:一组数据的平均数一定比中位数小；命题q:?a?1,b?1,logab?2logba?22，则下列命题中为真命题的是 （ ）
A． p?q B．??p??q C. p???q? D．p???q? 4. 设函数f?x???A．?2?4x?a,x?1x?2,x?1，若f?f????4，则实数a?（ ）
??2????3??24422 B．? C. ?或 ? D．?2或 ? 33333?2x?y?1?04?5．若实数x,y满足条件?2x?y?2?0，则z??的最大值为（ ）
3x?2y?x?3?0?1 B．?4 444C.? D．?
19236．运行如图所示的程序框图，输出的结果S等于（ ）
A．?
A．9 B．13 C. 15 D．25
1
7．若以2为公比的等比数列?bn?满足log2bn?log2bn?1?2?n2?3n，则数列?bn?的首项为（ ）
1 B．1 C.2 D．4 218．已知函数g?x?的图象向左平移个单位所得的奇函数
3A．
f?x??Acos??x????A?0,??0,0?????的部分图
象如图所示，且?MNE是边长为1的正三角形，则g?x? 在下列区间递减的是 （ ） A．???53??9?
,?? B．?4,? C. ?22??2??11??11??,?? ?, D．????26??33?x2y29．已知F1,F2分别是双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点，M,N分别是双曲线C的
abC的两条渐近线的斜率左、右支上关于y轴对称的两点，且F1F2?2ON?2MN，则双曲线
之积为（ ）
A．?4 B．?4?23 C.?3?23 D．?4?22 10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积
为（ ）
A．28?43?122 B．36?43?122
C．36?42?123 D．44?122 y211．椭圆x?2?1?0?b?1?的左焦点为F，上顶点为A，右
b顶点为B，若?FAB的外接圆圆心P?m,n?在直线y??x的
2左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）
?2??2??1??1?A．?,1? B．?,1? C.?0,? D．?0,?
?2??2??2??2?x12．设函数g?x??e?3x?a(a?R,e为自然对数的底数），定义在R上的连续函数f?x?满足：
f??x??f?x??x2，且当x?0时，f'?x??x，若存在x0??x|f?x??2?f?2?x??2x?，
使得gg?x0??x0，则实数a的取值范围为（ ）
A．???,e?? B．???,e?2? C. ???,e?? D．??,e?2?
?22????1????1???二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
2
13．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n人
中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为 ． 14．Rt?ABC中，A??????2?????????????????,AB?4,AC??5,AM??AB??AC(?,??R)），若AM?BC，
则
?? ． ?15．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，
至齐，齐去长安一千一百二十五里.良马初日行一百零三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意:“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里.良马第一天走103里，之后每天比前一天多走13里.驽马笫一天走97里，之后每天比前一天少走0.5里.良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中驽马从出发到相遇行走的路程为 里.
O球面上的动点，点N为B1C1上一16．点M是棱长为32的正方体ABCD?A1BC11D1的内切球
点，2NB1?NC1,DM?BN，则动点M的轨迹的长度为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
在?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知4cos（1）求A；
（2）若?bc?43?cosA?acosB?a2?b2，求?ABC面积.
18. （本小题满分12分）
如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数?AQI?小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.
2B?C?4sinBsinC?3. 2
（1）若该人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市，到达后停留3天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气重度污染的天数为1天的概率；
（2）若该人随机选择3月7日至3月12日中的2天到达该市，求这2天中空气质量恰有1天是重度污染的概率.
3
19. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P?ABCD中，平面PAD?平面ABCD，底面ABCD为 梯形，AB//CD,AB?2DC?23,AC?BD?F，且?PAD与?ABD 均为正三角形，G为?PAD的重心. （1）求证：GF//平面PDC； （2）求点G到平面PCD的距离.
20. （本小题满分12分）
已知抛物线C:y2?2px?p?0?的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D.
（1）若当点A的横坐标为3，且?ADF为等腰三角形，求C的方程； （2）对于（1）中求出的抛物线C，若点D?x0,0??x0?1??，记点B关于x轴的对称点为E,AE交2?x轴于点P，且AP?BP，求证：点P的坐标为??x0,0?，并求点P到直线AB的距离d的取值
??范围.
21. （本小题满分12分） 函数f?x??lnx?123x?ax(a?R)，g?x??ex?x2. 22（1）讨论f?x?的极值点的个数； （2）若?x?0,f?x??g?x?.
①求实数a的取值范围；
②求证：?x?0，不等式e?x??e?1?x?x2e?2成立. x选考部分
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
?x?acost在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为?(t为参数，a?0）. 以坐标原点为极点，
y?2sint????x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为?cos??????22. ?4?（1）设P是曲线C上的一个动点，当a?23时，求点P到直线l的距离的最大值； （2）若曲线C上所有的点均在直线l的右下方，求a的取值范围.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
?已知定义在R上的函数f?x??x?2m?x,m?N，且f?x??4恒成立.
（1）求实数m的值；
（2）若???0,1?,???0,1?,f????f????3，求证：
4
4??1??18.
数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5: DCBAD 6-10: CDBCB 11-12：AB
二、填空题
13. 24 14.
25330 15. 855 16.? 165三、解答题
17. 解：
1?cos?B?C??4sinBsinC?2?2cosBcosC?2sinBsinC?2?2cos?B?C?(1)4?212??2?2cosA?3,cosA??,?0?A??,?A?.
23b2?c2?a2a2?c2?b2?ac??a2?b2,(2)??bc?43??2bc2acb2?c2?a2b2?c2?a2a2?c2?b2??43???a2?b2,
22bc2b2?c2?a22??b?c?a?43??0,?A?,?b2?c2?a2?0,
2bc3222?1?431133?0,bc?23,S?ABC?bcsinA??23??. 2bc22221，且1418. 解：(1)设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”?i?1,2,...,14?.依题意知，P?Ai??Ai?Aj???i?j?.
设B为事件“此人停留期间空气重度污染的天数为1天” ，则B?A3?A5?A6?A7?A10，所以
P?B??P?A3??P?A5??P?A6??P?A7??P?A10??为1天的概率为
5，即此人停留期间空气重度污染的天数145. 14 (2) 记3月7日至3月12日中重度污染的2天为E,F，另外4天记为a,b,c,d，则6天中选2天到达的基本事件如下：
?a,b?,?a,c?,?a,d?,?a,E?,?a,F?,?b,c?,?b,d?,?b,E?,?b,F?,?c,d?,?c,E?,?c,F?， ?d,E?,?d,F?,?E,F?共15种，其中2天恰有1天是空气质量重度污染包含
5
?a,E?,?a,F?,?b,E?,?b,F?,?c,E?,?c,F?,?d,E?,?d,F?这8个基本事件，故所求事件的概率为
8. 1519. 解：(1)连接AG并延长交PD于H，连接CH.由梯形ABCD,AB//CD且AB?2DC，知
AF2AG2AGAF2?，又G为?PAD的重心，??，在?AHC中，??，故GF//HC.FC1GH1GHFC1又HC?平面PCD,GF?平面PCD,?GF//平面PDC.
(2)连接PG并延长交AD于E，连接BE，因为平面PAD?平面ABCD,?PAD与?ABD均为正三角形，?E为AD的中点，?PE?AD,BE?AD,?PE?平面ABCD，且PE?3.由（1）知
1GF//平面PDC,?VG?PCD?VF?PCD?VP?CDF??PE?S?CDF.又由梯形ABCD,AB//CD，且
3123.又?ABD为正三角形，得AB?2DC?23，知DF?BD?3313，得?CDF??ABD?60?,?S?CDF??CD?DF?sin?BDC?2213， VP?CDF??PE?S?CDF?32所以三棱锥G?PCD的体积为3.又2?CD?DE?3,?CDE?2?,?CE?3,PC?PE2?EC2?32.在?PCD中， 3cos?PDC?3?12?18115115315??,sin?PDC?,S?PDC??3?23??，故点G2?2?344244333425??到平面PCD的距离为2?. 25315154
6
20. 解：(1) 由题知F?p?p??33p?,0?,FA?3?，则D?3?p,0?,FD的中点坐标为??,0?，则?2?2?24?33p??3，解得p?2，故C的方程为y2?4x. 24(2) 依题可设直线AB的方程为x?my?x0?m?0?,A?x1,y1?,B?x2,y2?，则E?x2,?y2?，由
?y2?4x12y?4my?4x?0,?x?.???16m2?16x0?0，消去，得x?002?x?my?x0????????由y1?y2?4m,y1y2??4x0，设P的坐标为?xP,0?，则PE??x2?xP,?y2?,PA??x,y1?xP1?，
????????题知PE//PA，所以?x2?xP?y1?y2?x1?xP??0，即
2y2y1?y12y2y1y2?y1?y2?x2y1?y2x1??y1?y2?xP??，显然y1?y2?4m?0，所以
44xP?也即
y1y2y?y2??x0，即证xP??x0,0?，由题知?EPB为等腰直角三角形，所以kAP?1，即1?1，4x1?x2y1?y212?y1?y22?4?1，所以y1?y2?4,??y1?y2??4y1y2?16，即
1，所以2216m2?16x0?16,m2?1?x0,x0?1，又因为x0??x?x2x02x01，令?x0?1,d?00??2222?x01?m1?m??46?2?2?t2?46?2??2?x0?t????2t，易知ft??2t在??1,2?,x0?2?t,d??1,2?上是减函ttt????
数，所以d???6?,2?. ??3?1?a,?x?0,?f'?x???a?2,???. x21. 解：(1)f'?x??x?① 当a?2?0，即a???2,???时，f'?x??0对?x?0恒成立，f?x?在?0,??? 上单调递增，
f?x?没有极值点. ②当a?2?0，即a????,?2?时，方程x2?ax?1?0有两个不等正数解
1x2?ax?1?x?x1??x?x2??x?0?，不妨设0?x1?x2，则当?x1,x2，f'?x??x??a?xxx当x??x1,x2?时，f'?x??0,f?x?递减，当x??x2,???时，x??0,x1?时，f'?x??0,f?x?递增，
7
f'?x??0,f?x?递增，所以x1,x2分别为f?x?的极大值点和极小值点. f?x?有两个极值点.综上
所述，当a???2,???时，f?x?没有极值点，当a????,?2?时，f?x?有两个极值点.
ex?x2?lnx(2) （i）f?x??g?x??e?lnx?x?ax,由x?0，即a?对于?x?0恒成立，
xx2设
1??xe?2x??x??ex?x2?lnx??e?x?lnxx???x??(x?0),?'?x???xx2x2ex?x?1??lnx??x?1??x?1???x?0,?当x??0,1?时，，当x??1,????'?x??0,??x?递减，2x时，?'?x??0,??x?递增，???x????1??e?1,?a?e?1. （ii）由（i）知，当a?e?1时，有f?x??g?x?，即
ex?321x?lnx?x2??e?1?x?ex?x2??e?1?x?lnx， ① 当且仅当x?1时取等22号.
以下证明lnx?ee1ex?e?2，设??x??lnx?,?'?x???2?2，所以当x??0,e?时，xxxxxe???x????e??2,?lnx??2，当x??e,???时， ?'?x??0,??x?递减，?'?x??0,??x?递增，
xx2②
当且仅当x?e时取等号. 由于①②等号不同时成立，故有e?x??e?1?x?e?2. x22. 解：(1)由?cos???????2??22，得??cos???sin????22，化成直角坐标方程，得?4?22?x?y???22，即直线l的方程为x?y?4?0，依题意，设P?23cost,2sint?，则P到2???4cos?t???423cost?2sint?4????6?直线l的距离d???22?22cos?t??，当
?6?22t??6?2k?，即t?2k???6,k?Z时，d?max?42，故点P到直线l的距离的最大值为42. 2）恒成立，?a2?4?4，又a?0，解得0?a?23，a(2)因为曲线C上的所有点均在直线l的右下方，??t?R，acost?2sint?4?0恒成立，即
a2?4cos?t????4（其中tan?? 8
故a取值范围为0,23.
23. 解：（1）?x?2m?x?x?2m?x?2m,要使x?2m?x?4恒成立，则m?2，解得
???2?m?2.又?m?N?，?m?1.
（2）????0,1?,???0,1?,?f????f????2?2??2?2??3，即
?1414???4????41??????,???2?????????2?5????2?5?2???18，当且仅当
2??????????????4??
?11?41，即??,??时取等号，故??18.
36??? 9