2019届江苏省南京市中华中学等四校高三第一次联
考数学试题（文）
数 学 Ⅰ
（满分160分，考试时间120分钟）
一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．请将答案写在答题卡相应位置. ) 1．已知全集U??1,2,3,4,5?，A??1,2?，B??1,2,4?，则CU(A?B)? ． 2.复数
i的虚部是 ． 2?i3．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为_________．
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001 月收入(元)
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 频率 组距 第4题
第3题
4．如图是某算法的流程图，其输出值a是_________．
5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 .
??x-y+2≥0，
6． 已知实数x，y满足?x+y≥0，则z＝2x＋y的最小值是_________．
??x≤1，
7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程为 x－2y＝0，则它的离心率为__________．
8．在等差数列?an?中，若a3?a9?a27?12，则a13? ．
第1页
9．函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|??2)的
部分图像如图所示，则将y?f(x)的图象向右平移
?个单位后，得到的图像解析式为____ ____． 610．已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为_________． 11．过点P（4，0）的直线l与半圆C：(x－1)2＋y2＝4（y>0）交于A，B两点，当△ACB
面积最大时，直线l的斜率为_________________．
??R，AB=2，12．已知△ABC为等边三角形，设点P，Q满足AP=?AB，AQ=(1??)AC，
若BQ?CP=?3，则?= 213?的最小值为 ． 1?a2?b13．已知正实数a,b满足4a?3b?5，则
314. 若不等式mx?lnx?1对?x??0,1?恒成立,则实数m的取值范围是_______.
二、解答题：(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15．（本小题满分14分）已知函数f(x)?23sinx?sin(（1）求f(x)的最小正周期；
（2）在?ABC中，a,b,c分别是?A、?B、?C的对边，若f(A)?4，b?1，?ABC的面积为
16．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE＝BC，
F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE． （1）求证：AE⊥BE； （2）求证：AE∥平面BFD．
F
E
（第16题）
第2页
?2?x)?2cos(??x)?cosx?2.
3，求a的值. 2D C
A B
17．（本小题满分14分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径
Q
C
M
D
F
OM?R ，?MOP?45，OB与OM之间的夹角为?.
（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成?的函数.
（2）求当?为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？(用含R的式子表示)
B
O
A
P x2
18. (本小题满分16分)已知椭圆E：＋y2＝1的左、右顶点分别为A、B，圆x2＋y2＝4上有一
4动点P，P在x轴上方，C(1，0)，直线PA交椭圆E于点D，连结DC、PB.
(1) 若∠ADC＝90°，求△ADC的面积S；
(2) 设直线PB、DC的斜率存在且分别为k1、k2，若k1＝λk2，求λ的取值范围．
19. (本小题满分16分)已知数列?an?中,a1?2,a2?3,其前n项和Sn满足
第3页
Sn?1?Sn?1?2Sn?1,其中n≥2,n?N*.
(1)求证;数列?an?为等差数列,并求其通项公式;
(2)设bn?an?2?n, Tn为数列?bn?的前n项和,求使Tn>2的n的取值范围.
20．(本小题满分16分)设函数f (x)＝ex－ax－2，其中e是自然对数的底数． （1）若a＝e，求f (x)的极小值； （2）求f (x)的单调区间；
（3）已知a＝1，若对所有的x∈(0，＋∞)，都有(x－k)f ′(x)＋x＋1＞0成立，求正整数k的取值集合．
2019届高三年级四校联考试题答案
第4页
一、填空题
1.{3,5} 2. 8. 4 9.
3. 700 4. 31 5. 6. —1 7.
10. 3 11. 12.
13. 14.
二、解答题 15.解：（1）
4分
6分
（2）由，，
又的内角，，
， 8分
，，， 11分
， 14分
16．（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB， ∴AD⊥平面ABE，AE平面ABE，∴ AD⊥AE．
∵AD∥BC，则BC⊥AE． ………………3分 又BF⊥平面ACE，AE平面ACE, ∴BF⊥AE．
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，又BE平面BCE∴AE⊥BE． …………………… 7分
（2）设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，
∵BF⊥平面ACE，CE平面ACE,则BF⊥CE．
第5页
而BC=BE，∴F是EC中点． …………………10分 在△ACE中，FG∥AE，
∵AE平面BFD，FG平面BFD，
∴ AE∥平面BFD． ………………………14分
17.解（Ⅰ）由题意可知，点M为
.
设OM于BC的交点为F，则
.
，
的中点，所以
.
所以
，
（表达式6分，定义域2分）
. ………8分
（Ⅱ）因为，则.
所以当
.
，即 时，S有最大值.
故当时，矩形ABCD的面积S有最大值. …………14分
第6页
.18. 解：(1) 设D(x，y)，∵ ∠ADC＝90°，∴ AD2＋DC2＝AC2.
则(x＋2)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝9. 即x2＋y2＋x－2＝0.①(2分)
∵ 点D在椭圆E上，∴ 4＋y2＝1.② 联立①②，消去y，
得3x2＋4x－4＝0，(4分) ∵ －2 ∴ △ADC的面积S＝2×3×3＝. …………6分 x2 2 2 12 (2) 设P(x0，y0)，直线PA方程为y＝x0＋2(x＋2)，代入椭圆方程4＋y2＝1， 即x＋4y－4＝0，得x＋4×00(x＋2)2－4＝0. ∵ x0＋y0＝4，∴ x2＋4×x0＋2(x＋2)2－4＝0. 整理得(10－3x0)x2＋(32－16x0)x＋24－20x0＝0. …………8分 (注：消去x，可得方程(x0＋4x0＋4＋4y0)y2－4(x0＋2)y＝0，也得8分) 此方程有一根为－2，设D(x1，y1)，则x1＝10－3x0. 代入直线PA方程，得y1＝10－3x0.…………10分 则k1＝x0－2，k2＝x1－1＝ 2 2 2 y0x2 2 222－x0 22 10x0－12 4y0 y0y110x0－12 －1 ＝13x0－22.…………12分 4y0 ∵ k1＝λk2，∴ λ＝k2＝13x0－22＝4×x0－2＝4×x0－2.…………14分 ∵ －2 k14y0113x0－2214 22 19.解:(1)由已知,即∴数列∴ (是以 , ),且 (,), . …………………………2分 为首项,公差为1的等差数列. …………………………4分 …………………………6分 第7页 (2) ∵,∴ …………………………8分 ∴ …………………………10分 代入不等式得: 设∴ 在 上单调递减, …………………………12分 ∵ ∴当n=1,n=2时,所以n的取值范围.为 (－∞，1) - 减 , , …………………………16分 (1，+ ∞) + 增 20．解：⑴若a=e，f ’(x)=ex-e，令f ’(x)=0得x=1．…………………………………2分 x f ’(x) 1 0 极小值 f(x) ∴f(x)在x=1时取到极小值-2．…………………………………………………………4分 ⑵f ’(x)=ex-a． 若a≤0，则f ’(x)>0，所以f(x)的单调增区间为(-∞,+∞)；………………………6分 若a＞0，则当x＞lna时f ’(x)>0；当x＜lna时f ’(x)＜0． 所以f(x)的单调增区间为(lna, +∞)，单调减区间为(-∞,lna)．………………………8分 ⑶因为a=1，所以(x-k)f ’(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1． x+1 ∵x>0，(x-k)(e-1)+x+1>0等价于ex-1， x 第8页 x+1-xex-1ex-x-2 令g(x)= ex-1，则g’(x)= 2= 2，………………………10分 由⑴知函数h(x)=ex-x-2在(0, +∞)上单调递增,又h(1)=e -3<0, h(2)=e2 -4>0, 故h(x)在(0, +∞)上存在唯一零点，记为α，且α∈(1,2)，h(α)=eα-α-2=0． 当x∈(0, α)时，g’(x)<0；当x∈(α,+∞)时，g’(x)>0． 所以g(x)在(0, α)递减，在(α,+∞)递增， α+1 g(x)min=g(α)= eα-1=α+1．所以k<α+1．………………………………………14分 因为α∈(1,2)，k∈N*，则k=1或2． 所以，正整数k的取值集合为{1，2}．…………………………………………………16分 第9页