历届“希望杯”全国数学邀请赛100题精选（高二）
题1、已知0?a?b,x?a?b?b,y?b?b?a,则x,y的大小关系是 .
（第十一届高二第一试第11题）
题2、设a?b?c,n?N，且
11n??恒成立，则n的最大值为 （ ） a?bb?ca?cA、2 B、3 C、4 D、5 （第十一届高二第一试第7题）
22题3、设实数m,n,x,y满足m?n?a，x2?y2?b，则mx?ny的最大值为 （ ）
11 A、?a?b? B、
22a2?b2 D、ab a?b C、
222（第十一届高二培训题第5题）
题4、对于m?1的一切实数m，使不等式2x?1?m(x2?1)都成立的实数x的取值范围是 . （第十三届高二培训题第63题） 题5、当0?x?a时,不等式
11??2恒成立,则a的最大值是________. x2(a?x)2 (第十一届高二培训题第45题)
题6、已知f?x??logsin?x,???0,????，设a??2??sin??cos??f??，b?f2???sin??cos??，
?sin2??c?f??，那么a、b、c的大小关系是 （ ）
?sin??cos??A、a?c?b B、b?c?a C、c?b?a D、a?b?c
（第八届高二第一试第10题） 题7、已知a?12，不等式???2??3?logax?1?9的解是 .（第三届高二第二试第13题） 4题8、不等式1?x2?x?t 的解集是? ,实数t的取值范围(用区间形式)是 .
(第一届高二第一试第18题)
2题9、不等式x?2?x?4x?3?0的解集是 （ ）
A、??3?55?5??3?55?5?,, B、???
2?2??2?2???5?53?5?3?5??5?5??,??? D、?,C、??,???? ?2222??????（第十三届高二第二试第8题）
2000的解集是 . （第十一届高二培训题第41题） 19991x题11、使不等式2?a?arccosx的解是??x?1的实数a的取值范围是（ ）
2题10、不等式4x?2?23?x?A、1??122?25? B、 C、 D、?? ??222326（第十一届高二第一试第6题）
1998题12、已知a,b是正数，并且a?b1998?a1996?b1996，求证a2?b2?2.
(第十届高一培训题第74题)
222题13、设x1，x2，x3，y1，y2，y3是实数，且满足x1?x2?x3?1， 22222证明不等式(x1y1?x2y2?x3y3?1)2?(x1?x2?x3?1)(y12?y2?y3?1).
（第十届高二第二试第22题）
x2y2z2题14、已知x、y、z?0，并且???2，
1?x21?y21?z2求证：
xyz???2. （第一届备选题） 1?x21?y21?z2cos2x题15、求所有的正实数a，使得对任意实数x都有a?a2sin2x?2
（第十一届高二第二试第23题）
x2?2x?2?x?1?的最小值为 ( ) 题16、函数f?x??2x?2A、-1 B、1 C、-2 D、2 （第七届高一培训题第2题） 题17、已知x,y,z?R，且
?yz123???1，则x??的最小值是 （ ）
23xyzA、5 B、6 C、8 D、9
（第十一届高二第二试第9题、高二培训题第14题）
题18、设x,y,a,b为正实数，a,b为常数，且
ab??1,则x?y的最小值为_______. xy（第十一届高二培训题第36题）
题19、如果a?b?c?1，那么3a?1?3b?1?3c?1的最大值是_______．
（第八届高二第一试第19题）
222题20、若0?a、b、c?1，并且a?b?c?2，则a?b?c的取值范围是 （ ）
A、?，??? B、?，2? C、?，2? D、??4?3???4??3??4?3???4?,2? ?3?（第九届高二第一试第10题）
题21、若x,y?0，且x?2y?1，则u??x???1??1??y????的最小值是 . x??4y??（第一届高二第一试第20题）
题22、已知a,b?R?，且a?b?1，则?1???1??1???1??的最小值是 . a??b? (第八届高二培训填空题第6题) 题23、设x,y?R，且x2?y2?1，则x?y?xy的最大值是 ，最小值是 ．
（第六届高二培训解答题第2题、第八届高二第一试第23题）
题24、若3x2?xy?3y2?20，则8x2?23y2的最大值是 ．
（第十三届高二培训题第68题）
题25、函数y?sinx?cosx的最大值是＿＿＿＿． （第九届高二培训题第43题）
1?sinx题26、函数y?sin12x?cos12x的值域是 . （第十一届高二培训题第46题） 题27、设n?N?，则|n?1949|?|n?1950|???|n?2001|的最小值是 ．
（第九届高二培训题第53题）
题28、s?1?11??23?1106，则s的整数部分是 （ ）
A、１９９７ Ｂ、１９９８ C、１９９９ D、２０００
（第八届高二第二试第１０题）
题 29、求函数y?x4?32x?80?x2?4的最小值和取最小值时x的值
（第十三届高二培训题第81题）
题30、函数y?x2?3x?2?2?3x?x2的最大值是 ,最小值是 .
(第十四届高二第二试第16题)
题31、已知x、y、z?R?，求函数u?x,y,z??xy?yz的最大值.
x2?y2?z2（第九届高二培训题第61题）
题32、已知a,b?R，且a?b?1?0，则?a?2???b?3?的最小值是 .
（第十届高二培训题第44题）
题33、实数x，y满足方程x2?y2?6x?4y?9，则2x?3y的最大值与最小值的和等于_______. （第十届高二第二试第17题） 题34、线段AB的端点坐标是A（-1，2），B（2，-2），直线y=kx+3与线段AB相交的充要条件是 （ ）
A、?225555?k?1 B、1?k? C、??k?1且k≠0 D、k??或k?1 2222（第八届高二培训题第2题）
题35、过点P?1,1?且与两条坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是 . (第十届高二第一试第18题)
题36、某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每生产1吨甲产品需要原材料A、B、C、D的数量分别为1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A、B、D的数量分别为1吨、4吨、1吨.由于原材料的限制，每个生产周期只能供应A、B、C、D四种原材料分别为80吨、80吨、60吨、70吨.若甲、乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元.要想获得最大利润，应该在每个生产周期安排生产甲产品 吨，期望的最大利润是 百万元.
（第十三届高二第一试第25题） 题37、点M?x0,y0?是圆x?y?r?r?0?内圆心以外的一点，则直线x0x?y0y?r2与
222该圆的位置关系是 （ ）
（A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）相切或相交
（第七届高二第一试第5题） 题38、过圆x?y?2x?6y?1?0与圆x?y?6x?6y?17?0的交点的直线方程是 . （第二届高二第二试第15题）
2222题39、若实数x、y适合方程x2?y2?2x?4y?1?0，那么代数式
y的取值范围x?2是 . （第九届高二第一试第17题） 题40、圆x2??y?1??1上任意一点P?x,y?都使不等式x?y?c?0成立，则C的取值范
2围是 （ ）
A、???,0? B、[2,??) C、[2?1,??) D、[1?2,??) （第七届高二第一试第10题）
x2y2??1的左、右焦点，l是椭圆的准线，点P?l，则?EPF的最大题41、E、F是椭圆42值是 （ ）
A、15° B、30° C、45° D、60° （第十三届高二培训题第21题）
x2y2题42、椭圆2?2?1?a?b?0?的两焦点是F1、F2，M为椭圆上与F1、F2不共线的任意
ab一点，I为?MF1F2的内心，延长MI交线段F1F2于点N，则MI:IN的值等于 ( ) A、
aabc B、 C、 D、 bcca（第十三届高二培训题第19题）
B两点，若AF:BF?2:3，且直线与长轴的夹题43、过椭圆左焦点F作直线交椭圆于A、角为
?，则椭圆的离心率为 （ ） 41223 B、 C、 D、 （第十一届高二第一试第8题） 5555A、
题44、如果点A的坐标为(1,1)，F1是椭圆5x2?9y2?45的左焦点，点P是椭圆上的动点，则PA?PF1的最小值为_________________. （第十一届高二培训题第66题） 题45、设F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使?F1PF2?120o，则椭圆离心率e的范围是______. （第十二届高二第一试第20题）
x2?y2?1的两个焦点， P是椭圆上任意一点，则PF1?PF2的最小题46、F1、F2是椭圆4值是＿＿＿＿. （第七届高二第一试第19题）
x2y2题47、F1,F2是椭圆2?2?1?a?b?0?的焦点，P是椭圆上的一点，且?F1PF2?90?，
ab则?F1PF2的面积是 . （第四届高二第一试第30题）
x2y2题48、椭圆2?2?1的内接三角形的最大面积是＿＿＿. （第九届高二第二试第20题）
ab题49、Rt△ABC中，AB=AC，以C点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在
边AB上，且椭圆过A，B两点.求这个椭圆的离心率. （第二届高二第二试第21题）
x2y2题50、设点F1是椭圆??1的左焦点，弦AB过该圆的右焦点F2，试求?F1AB的面
32积的最大值. （第六届高二第二试`第21题）
x2y2??1 ,and point F be its right focus, then for 题51、Let point M move along the ellipse 98fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is .
(ellipse 椭圆；focus 焦点；coordinate 坐标)
（第十四届高二第二试第18题） 题52、已知双曲线x2?y2?k关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k的值等于 （ ）
A、
2454 B、 C、 D （第十五届高二培训题第19题） 3345题53、F1,F2是双曲线x2?3y2?3的左、右焦点，A,B两点在右支上，且与F2在同一条直线上，则F 1A?F1B的最小值是____________. （第四届高二第二试第15题）题54、方程
?x?2?2??y?2?2???|x?y?3|表示的曲线是 ( )
A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线（第十二届高二培训题第23题） 题 55、已知x?1，则动点A?x?11?,x??与点B（1，0）的距离的最小值是_________. xx?（第七届高二第一试第23题）
2题56、抛物线y?x上到直线x?y?2?0的距离最小的点的坐标是________．
（第九届高二培训题第27题）
题57、在抛物线y2?4x上恒有两点关于直线y?kx?3对称,则k的取值范围是 . (第十五届高二培训题第71题)
题58、抛物线y2?4x的一条弦的倾斜角是?,弦长是4csc?,那么这种弦都经过一定点,该定点是 ． （第十三届高二培训题第73题） 题59、长为l(l?1)的线段AB的两端在抛物线y?x2上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于 . （第13届高二第二试第20题） 题60、动圆M过定点A且与定圆O相切，那么动圆M的中心的轨迹是 （ ）
A、圆 B、圆，或椭圆
C、圆，或椭圆，或双曲线 D、圆，或椭圆，或双曲线，或直线
（第三届高二第二试第10题）
2x2y2题61、设直线m,n都是平面直角坐标系中椭圆+=1的切线，且m?n，m、n交于点
73P，则点P的轨迹方程是 ． （第十二届高二培训题第47题）
题62、已知曲线C上任意一点到定点A（1，0）与定直线x?4的距离之和等于5.对于给定的点B?b,0?，在曲线上恰有三对不同的点关于点B对称，求b的取值范围.
（第十二届高二第二试第23题）
题63、已知k∈R，关于x,y的方程y4+4y3+(2x+2kx-kx2)y2+8xy+(4kx2-2kx3)=0表示一组曲线，其中有一条是固定的抛物线，试讨论k值与曲线形状的关系. （第三届高二第二试第21题） 题64、已知点A(1,0)和直线l:x?3，动点M到A的距离与到l的距离之和为4. (1)求M点的轨迹T;
(2)过A作倾斜角为?的直线与T交于P，Q两点,设d?|PQ|，求d?f(?)的解析式. （第十二届高二培训题第78题） 题65、已知定点M（-3,0），P和Q分别是y轴及x轴上的动点，且使MP⊥PQ，点N在直线PQ上，分有向线段的比为?3. 2（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）过点T（-1,0）作直线l与轨迹C交于两点A，B，问在x轴上是否存在一点D，使△ABD为等边三角形；若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
（第十五届高二培训题第80题）
题66、已知异面直线a与b所成角为?，P为空间一点，过点P作直线l使l和a，b所成角相等，此等角记为???0,90??，则直线l的条数构成的集合为 .
（第十五届高二培训题第38题）
???