QT?A??RTlnp11?2?8.31?300?ln??3.46?103J p22即气体放热为3.46?103J．
3 一定质量的理想气体的内能E随体积的变化关系为E- V图上的一条过原点的直线，如图所示．试证此直线表示等压过程． [证明] 设此直线斜率为k，则此直线方程为E?kV 又E随温度的关系变化式为E?所以kV?k?T
MCv?T?k?T MmolVk???C（C为恒量） TkpV又由理想气体的状态方程知，?C?（C?为恒量）
T因此
所以p为恒量，即此过程为等压过程．
4 2mol氧气由状态1变化到状态2所经历的过程如图所示：（1）沿l→m→2路径．（2）1→2直线．试分别求出两过程中氧气对外作的功、吸收的热量及内能的变化．
[解] （1）在1→m→2这一过程中，做功的大小为该曲线下的面积，氧气对外做负功．
A1??p2?V1?V2???20??50?10??1.013?105?10?3??8.10?104J
由气体的内能公式E??CVT和理想气体的状态方程pV??RT得
pVpVCV???RR对于氧气i?5，所以其内能的变化为
55?E1??p2V2?p1V1????20?10?5?50??1.013?105?10?3??1.27?104J
22E??CV此过程吸收的热量为Q1??E1?A1??1.27?104?8.10?104??9.37?104J （2）在从1→2过程中，由图知氧气对外作功为
pViR2?ipV R2A2??1?p2?p1??V1?V2???1??20?5???50?10??1.013?105?10?3??5.07?104J 22内能的变化?E2??E1??1.27?104J
吸收的热量Q2??E2?A2??1.27?104?5.07?104??6.34?104J
7-46
5 10mol单原子理想气体在压缩过程中外界对它作功209J，其温度上升1K，试求：（1）气体吸收的热量与内能的增量．（2）此过程中气体的摩尔热容量．
3?8.31?1?124.65J 2气体吸收的热量Q??E?A?124.65?209??84.35J
[解] （1）内能的增量为?E??CV?T?10?（2）由气体摩尔热容量知C?
6 将压强为1atm，体积为1?10?3m3的氧气（CV?5R2）从0℃加热到100℃．试分别求在等体（积）过程和等压过程中各需吸收多少热量．
1Q1????84.35???8.44J?mol?K? ??T10pVp0V[解] 由理想气体状态方程pV??RT?? ?RTRT0在等容过程中吸收的热量为
p0V0551.013?105?1?10?3QV??CV?T?R?T???100?92.77J
RT022273在等压过程中吸收的热量为
Qp??Cp?T??
777R?T?QV??92.77?129.88J 2557 已知氩气的定体（积）比热为cV?314J?kg?K?，若将氩气看作理想气体，求氩原子的质量．（定体（积）摩尔热容CV?MmolcV）． [解] 由定容摩尔热容量的定义知CV?i3R?R 22因此Mmol3RCV2 ??cVcVMmolNA3R38.312????6.59?10?26kg 23NAcV26.02?10?314氩原子的质量为m?
8 为测定气体的?（?CpCV）值有时用下列方法：一定量的气体的初始温度、体积和压强为T0、V0和p0，用一根电炉丝对它缓慢加热．两次加热的电流强度和时间相同，第一次保持体积V0不变，而温度和压强变为T1和p1．第二次保持压强p0不变，而温度和体积变为T2和V1．试证明???p1?p0?V0?V1?V0?p0
7-47
[证明] 两次加热气体吸收的热量相同，等容过程吸收的热量为Q1??CV?T1?T0? 等压过程吸收的热量为Q2??Cp?T2?T0? 由Q1?Q2可得?CV?T1?T0???Cp?T2?T0? 所以??CpCV?T1?T0
T2?T0由理想气体状态方程p0V0??RT0p1V0??RT1p0V1??RT2 因此T1?T0?所以得到??
9 已知1mol固体的状态方程为v?v0?aT?bp，内能E?cT?apT，式中v0、a、b、c均为常量，求该固体的Cp、CV．
[解] 由热力学第一定律可得dQ?dE?dA?dE?pdV（1） 由已知条件可得dV?adT?bdp（2） dE?cdT?aTdp?apdT（3）
将（2）、（3）代入（1）得dQ?cdT?aTdp?apdT?p?adT?bdp?（4） 在等压过程中，dp?0 所以dQ??c?2ap?dT因此Cp?在等容过程中dV?0
代入（2）式得adT?bdp?0因此dp??代入（4）式得
p1?p0V?V0V0T2?T0?1p0 ?R?R
?p1?p0?V0?V1?V0?p0dQ?c?2ap dTadT b?a2T??a??a????dQ?cdT?aT???dT?apdT?p?adT?b???dT???c?ap?dT ????b??b??b????dQa2T所以CV? ?c?ap?dTb
10 已知范德瓦尔斯气体的内能E?CVT?热过程方程为T?V?b?RCVa?E0．其中CV、a、E0为常数，试证明其绝V?常数
7-48
a?[证明] 范德瓦尔斯气体的状态方程为?p?2V?又由已知条件可得dE?CVdT????V?b??RT（1） ?adV（2） 2V绝热过程dQ?0，由热力学第一定律得dE??dA??pdV（3） adV??pdV（4） V2RTa由（1）式可得p??2（5）
V?bVaaRT将（5）代入（4）式有CVdT?2dV?2dV?dV
V?bVVC1整理得VdT??dV
RTV?bC积分得VlnT?ln?V?b??常数
R由（2）、（3）式可得CVdT?即?V?b?TCVR?常数
这就是范德瓦尔斯气体的绝热过程方程．
11 如图所示是氮气循环过程，求：（1）一次循环气体对外作的功；（2）循环效率．
[解] （1）一次循环过程气体对外作功的大小为闭合曲线所包围的面积，由图知，其包围的面积为
1S??p2?p1??V4?V1?
??10?5???5?1??105?10?3?2.0?103J
该循环对外作功为正，所以A?2.0?103J
（2）该循环过程中，从1→2，2→3为吸收热量过程 1→2为等容过程，吸收热量为
Q1??CV?T2?T1???5?p2V2?p1V1? 25??10?1?5?1??105?10?3?1.25?103J 27?p3V3?p2V2? 22→3为等压过程，吸收热量为
Q2??Cp?T3?T2???7??10?5?10?1??105?10?3?1.4?104J 2因此吸收的总热量为Q?Q1?Q2?1.525?104J
7-49
A2.0?103该循环的效率为????100%?13.1% 4Q1.525?10
12 一理想气体的循环过程如图所示，其中ca为绝热过程，点 a的状态参量为?T1,V1?，点b的状态参量为?T2,V2?，理想气体的热容比为?，求（1）气体在ab、bc过程中与外界是否有热交换? 数量是多少?（2）点c的状态参量；（3）循环的效率． [解] （1） ab过程是等温过程，系统吸收热量为
QT?A??RT1lnV2 V1因V2?V1，故该过程是吸热过程．
bc过程是等容过程，系统吸收热量为QV??CV?Tc?T2? 因Tc ?V1?又ac为绝热过程，故根据绝热方程Tc???V???c?又有pcVc?p1V1 ????1?V1T1???V?2??????1T1 ?V1得到pc?p1??V?2??V1??RT1?RT1?????V??V?V12??2????V1??V?2??????1 （3）??1?QVQT????1?C1??VV???1??CV?T2?TC?CVT2??V1V2?T112? ?1??1??1??V?VVV2?R??RT1ln2RT1ln2ln??V1V1V1???? 13 图中闭合曲线为一理想气体的循环过程曲线，其中ab、cd为绝热线，bc为等体（积） 线，da为等压线，试证明其效率为 ??1??Td?Ta Tc?Tb式中Ta、Tb、Tc、Td分别为a、b、c、d各状态的温度， ??CpCV． 7-50 第一章习题解答 1-3 一粒子按规律x?t3?3t2?9t?5沿x轴运动，试分别求出该粒子沿x轴正向运动；沿x轴负向运动；加速运动；减速运动的时间间隔． [解] 由运动方程x?t3?3t2?9t?5可得 质点的速度v?dx?3t2?6t?9?3?t?3??t?1?（1） dtdv粒子的加速度a??6?t?1?（2） dt由式（1）可看出当t?3s时，v?0，粒子沿x轴正向运动； 当t?3s时，v?0，粒子沿x轴负向运动． 由式（2）可看出当t?1s时，a?0，粒子的加速度沿x轴正方向； 当t?1s时，a?0，粒子的加速度沿x轴负方向． 因为粒子的加速度与速度同方向时，粒子加速运动，反向时，减速运动，所以，当t?3s或0?t?1s间隔内粒子加速运动，在1s?t?3s间隔内里粒子减速运动． 1-4一质点的运动学方程为x?t2，y??t?1?（S1）．试求：（1）质点的轨迹方程;（2）在t?22s时，质点的速度和加速度． [解] （1）由质点的运动方程x?t2（1） y??t?1?（2） 2消去参数t，可得质点的轨迹方程y??x?1 ?2（2）由（1）、（2）对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 vx?dxdy?2tvy??2?t?1? dtdt所以v?vxi?vyj?2ti?2?t?1?j（3） d2xd2yax?2?2ay?2?2 dtdt所以a?2i?2j（4） 把t?2s代入式（3）、（4），可得该时刻质点的速度和加速度． v?4i?2ja?2i?2j 1-5质点的运动学方程为x?Asin?t，y?Bcos?t，其中A、B、?为正常数，质点的轨道为一椭圆．试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心． [证明] 由质点的运动方程x?Asin?t（1） y?Bcos?t（2） 对时间t求二阶导数，得质点的加速度 d2yd2x2ax?2??A?sin?tay?2??B?2cos?t dtdt7-1 所以加速度矢量为a???2?Asin?ti?Bcos?tj????2r 可得加速度矢量恒指向原点——椭圆中心． 1-6质点的运动学方程为r?2ti?2?t2j（SI），试求：（1）质点的轨道方程；（2）t?2s时质点的速度和加速度． [解] （1）由质点的运动方程，可得 ??x?2ty?2?t2 消去参数t，可得轨道方程y?2?（2）由速度、加速度定义式，有 12x 4v?dr/dt?2i?2tj a?d2r/dt2??2j 将t?2s代入上两式，得 v?2i?4ja??2j 1-7已知质点的运动学方程为x?rcos?t，y?rsin?t，z?ct，其中r、?、c均为常量．试求：（1）质点作什么运动?（2）其速度和加速度? （3）运动学方程的矢量式． [解] （1）质点的运动方程x?rcos?t（1） y?rsin?t（2） z?ct（3） 由（1）、（2）消去参数t得x2?y2?r2 此方程表示以原点为圆心以r为半径的圆，即质点的轨迹在xoy平面上的投影为圆． 由式（2）可以看出，质点以速率c沿z轴匀速运动． 综上可知，质点绕z轴作螺旋线运动． （2）由式（1）、（2）、（3）两边对时间t求导数可得质点的速度 vx?dx??r?sin?t dtvy?dy?r?cos?t dtdzvz??c dt所以v?vxi?vyj?vzk??r?sin?ti?r?cos?tj?ck 由式（1）、（2）、（3）两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度 d2yd2x2ax?2??r?cos?tay?2??r?2sin?t dtdtaz?0 7-2 所以a?axi?ayj?azk??r?2cos?ti?r?2sin?tj （3）由式（1）、（2）、（3）得运动方程的矢量式 r?xi?yj?zk?rcos?ti?rsin?tj?ctk 1-8质点沿x轴运动，已知v?8?2t2，当t?8s时，质点在原点左边52m处（向右为x轴正向）．试求：（1）质点的加速度和运动学方程；（2）初速度和初位置；（3）分析质点的运动性质． [解] （1）质点的加速度a?dv/dt?4t 又v?dx/dt所以dx?vdt 对上式两边积分，并考虑到初始条件得 ?所以x?8t?x?52dx??t8vdt???8?2t?dt t2823t?457.3 323t 3因而质点的运动学方程为x??457.3?8t?（2）将t?0代入速度表达式和运动学方程，得 v0?8?2?02?8m/s 2x0??457.3?8?0??03??457.3m 3（3）质点沿x轴正方向作变加速直线运动，初速度为8m/s，初位置为?457.3m. 1-9一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为a?2?6x．物体在x?0处的速度为10ms，求物体的速度与位置的关系． [解] 根据链式法则a?dvdvdxdv ??vdtdxdtdxvdv?adx??2?6x?dx 对上式两边积分并考虑到初始条件，得故物体的速度与位置的关系为 ?v10vdv???2?6x?dx 0xv?6x2?4x?100ms 1-10 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为a?g?Bv，g为重力加速度，B为与物体的质量、形状及介质有关的常数．设t?0时物体的初速度为零．（1）试求物体的速度随时间变化的关系式；（2）当加速度为零时的速度（称为收尾速度）值为多大? [解] （1）由a?dvdv?dt 得 g?Bvdt两边分别积分，得 ?dv?0g?Bvv?t0dt 7-3 所以，物体的速率随时间变化的关系为： g?1?e?Bt? B（2）当a?0时有a?g?Bv?0（或以t??代入） v?由此得收尾速率v?g B 1-11一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速a??ky，k为常数，y是离开平衡位置的坐标值．设y0处物体的速度为v0，试求速度v与y的函数关系． [解] 根据链式法则a?dvdvdydv ??vdtdydtdyvdv?ady 对上式两边积分 ?即 vv0vdv??yy0ady??yy0?kydy 12?v?v02???1k?y2?y02? 2222v2?v0?k?y0?y2? 故速度v与y的函数关系为 1-12一艘正以速率v0匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶．其加速度的大小与速度的平方成正比，即a??kv2，k为正常数．试求舰艇在关闭发动机后行驶了x距离时速 度的大小． [解] 根据链式法则a?dvdvdxdv ??vdtdxdtdxdx?vdv a对上式两边积分 ?0化简得x??xdx??vv0vdvv dv??v0?kva1vln kv0所以v?v0e?kx l-13 一粒子沿抛物线轨道y?x2运动，且知vx?3ms．试求粒子在x?速度． [解] 由粒子的轨道方程y?x2 2m处的速度和加37-4 对时间t求导数vy?再对时间t求导数，并考虑到vx是恒量 dydx?2x?2xvx（1） dtdta?dvydt2（2） ?2vx22m代入式（1）得vy?2??3?4ms 332所以，粒子在x?m处的速度为 3把x?22v?vx?vx?32?42?5ms 与x轴正方向之间的夹角 ??arctan由式（2）得粒子在x?vyvx?arctan4?5308? 32m处的加速度为 3a?2?32?18ms2 加速度方向沿y轴的正方向． 1-14一物体作斜抛运动，抛射角为?，初速度为v0，轨迹为一抛物线（如图所示）．试分别求抛物线顶点A及下落点B处的曲率半径． [解] 物体在A点的速度设为vA，法向加速度为anA，曲率半径为?A，由题图显然有 vA?v0cos?（1） anA=g （2） 2vA?A2v0cos2?联立上述三式得?A? g?anA（3） 物体在B点的速度设为vB，法向加速度为anB，曲率半径为?B，由题图显然有 vB?v0（4） anB?gcos?（5） 7-5 分子数占总分子数的百分比； （4）（5） ?v2v1v2Nf(v)dv表示分子速率在v1~v2间隔内的分子数； vf(v)dv无直接明显的物理意义，只能表示在v1~v2间隔内分子对速率算术平均值 ?v1的贡献． 13 由N个粒子组成的系统，其速率分布曲线如图所示，当v>2v0时，f(v)?0，求： （1）常数a； （2）速率大于v0和小于v0的粒子数； （3）分子的平均速率． [解] （1）由归一化条件知曲线下的面积 S?所以 1v0a?v0a?1 223 v0a?1得到a?3v02111v0a?，所以粒子数为N1?N 32322v>v0时，曲线下的面积S2?，所以粒子数为N2?N 33（2）v 由图知f1?v??avf2?v??a v0所以v?? v0022v0av0a3a211211vdv??avdv??v0?av0?v0 v0v03269214 容积为30?10?3m3的容器中，储有20?10?3kg的气体，其压强为50.7?103Pa．求气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率． [解] 设容器内气体分子总数为N，则有N?该气体分子质量为m?最概然速率为 pV kTMkT?M NpV2kT2kTpV2pV2?50.7?103?30?10?3vp?????3.90?102ms ?3mMkTM20?10平均速率为 7-41 8kT8kTpV8pV8?50.7?103?30?10?3v?????4.40?102ms ?3?m?MkT?M3.14?20?10方均根速率 3kT3kTpV3pV3?50.7?103?30?10?3v?????4.78?102ms ?3mMkTM20?10215 质量为6.2?10?14g的粒子悬浮于27℃的液体中，观测到它的方均根速率为1.40cm/s． （1）计算阿佛加德罗常数． （2）设粒子遵守麦克斯韦分布律，求粒子的平均速率． [解] （1）由方均根速率公式v2?3RT3RT得到Mmol? 2Mmolv阿佛加德罗常数为N0?Mmol3RT3?8.31?300???6.15?1023/mol 2mv2m?1.4?10?2??6.2?10?17（2）v?8RTRT?1.60 ?MmolMmol3RTRT?1.73 MmolMmol而v2?所以v? 1.6021.60v??1.40?10?2?1.29?10?2ms 1.731.731)． 2b?1?16 由麦克斯韦分布律求速率倒数的平均值??．(?v?mv?m??2kT2[解] 由麦克斯韦分布律f?v??4???ev ?2?kT?322??0xe?bxdx?2?1?所以????v? ??01f?v?dv?v??01?m??mv?m?24???e2kTvdv?4???v?2?kT?2?kT??322322kT?2m???? 2m??kT?1217 大气压强随高度的变化规律为p?p0exp(?Mmolgh)．拉萨海拔约3600m，设大气温度RT为27℃，而且处处相同，求拉萨的大气压是多少?空气的摩尔质量是29?10?3kg/mol．海平面处大气压为1atm． [解] 拉萨大气压强为p?1?e 7-42 ?29?10?3?9.8?36008.31?300atm?0.664atm 18 实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10m，大气压约降低1mmHg，试用恒温度气压公式证明此结果（海平面处大气压按760 mmHg计，温度取273K）． ?Mgh?[证明] 因为大气压强随高度变化规律为p1?p0exp??mol? RT???Mg?h??h??升高?h后大气压为p2?p0exp??mol? RT??所以 ?Mgh???Mg?h???p?p2?p1?p0exp??mol??exp??mol??1?RTRT????????29?10?3?9.8?10????760?1??exp?????1???0.95mmHg8.31?273???? 19 重力场中粒子按高度的分布为n?n0e?mgh/kT．设大气中温度随高度的变化忽略不计，在27℃时，升高多大高度，大气压强减为原来的一半． [解] 由p?nkT知，当大气压强减为原来的一半时，n?n02 由n?n0e?mgh/kT得，e?mgh/kT?即h?1 2ln2?kTln2?RTln2?8.31?300???6080m mgMmolg29?10?3?9.8 20 试计算空气分子在标准状况下的平均自由程和平均碰撞频率．取分子的有效直径为 3.5?10?10m，空气平均摩尔质量为29?10?3kg/mol．(作业 [解] 平均自由程 7-9) ??1?2?d2nkT?2?d2p2?3.14??3.5?101.38?10?23?273?102??1.013?105?6.84?10?8m 平均碰撞频率 z?2?d2vn?2?d2p8RT??MmolkT?2?3.14?3.5?10?10 ??2?1.60?8.31?27329?10?3?1.013?105 1.38?10?23?273?6.54?109s?121 一定量的理想气体贮于固定体积的容器中，初态温度为T0，平均速率为v0，平均碰撞频率为z0，平均自由程为?0．若温度升高为4T0时，求v、z和?各是多少? 7-43 [解] 平均速率v?8RT ?Mmol8RT0?2v0 ?Mmol故当T?4T0时，v?2平均碰撞频率z??d2vn 因为容器体积不变，分子数密度不变，所以z??d2vn?2?d2v0n?2z0 平均自由程??12?d2n 由于n不变，所以???0 22 设气体放电管中气体分子数密度为n．电子不断与气体分子碰撞，因电子速率远大于气体分子的平均速率，所以气体分子可以认为是不动的，设电子的“有效直径”比起气体分子的有效直径d来可忽略不计．求电子与气体分子碰撞的平均自由程． [解] 因为电子的有效直径可以忽略不计，所以电子与气体分子碰撞的有效半径为d2，所以一秒钟时间内电子和其他分子碰撞的平均次数为 1?d?Z????vn??d2vn 4?2?所以平均自由程为?? 23 在质子回旋加速器中，要使质子在1?105km的路径上不和空气分子相撞，真空室内的压强应为多大?设温度为300K，空气分子的有效直径为3.5?10?10m，质子的有效直径可忽略不计，空气分子可认为静止不动． [解] 空气分子的有效直径为3?10?10m，因为质子的有效直径可以忽略不计，所以质子与空气分子碰撞的有效半径为d2，碰撞的有效面积为??d2? 22v4?2 Z?dn按题意，要求在体积V???d2?ll?1?105km最多有一个分子才能满足条件，所以单位 2??体积内空气分子数为n?14?2 V?dl44?1.38?10?23?300?10所以空气压强为p?nkT?2kT??4.31?10Pa 2?108?dl3.14??3.5?10??107-44 24 真空管的线度为10?2m，其中真空度为1.33?10?3Pa，设空气分子的有效直径为 3?10?10m，求27℃时单位体积内的分子数，平均自由程和平均碰撞频率． [解] 由p?nkT知 p1.33?10?3n???3.21?1017/m3 ?23kT1.38?10?300平均自由程??11?m?7.79m 22?d2n2?3.14??3?10?10??3.21?1017而真空管的线度为10?2m，所以分子间很难碰撞，空气分子只能与器壁碰撞，所以其自由程为10?2m． 平均碰撞频率由??v知 ZZ?v??8RT18?8.31?300??102?4.68?104s?1 ?3?Mmol?3.14?29?10第八章相关习题 本章无习题解答,以下题目仅供练习.个别题目与作业题相同. 1 一系统由图示的状态a经acb到达状态b，系统吸收了320J热量，系统对外作功126J（．1） 若adb过程系统对外作功 42J，问有多少热量传入系统? （2）当系统由b沿曲线ba返回状态a，外界对系统作功84 J，试问系统是吸热还是放热? 热量是多少? [解] 由热力学第一定律Q??E?A 得?E?Q?A 在acb过程中， Eb?Ea??E?Q1?A1?320?126?194J 在adb过程中，内能变化量与acb过程相同 因此Q2??E?A2?194?42?236J 在ba过程中 Q3?Ea?Eb?A3???E?A3??194?84??278J 由于热量为负值，所以本过程中系统放热． 2 2mol氮气由温度为 300K，压强为1.013?105Pa （1atm）的初态等温地压缩到2.026?105Pa（2atm）．求气体放出的热量． [解] 在等温过程中气体吸收的热量等于气体对外做的功，所以 7-45 u33?,u?c5 由此得c5即 (2) 应用Lorentz变换式，得： x??x?ut1?(u/c)2 3?4c?x?u?tu?t?x??????5??3c2241?(u/c)1?(u/c)5所以 因而S?系中这两个事件发生地点间相距3c。 6-2-3 设有一宇宙飞船，相对于地球作匀速直线运动，若在地球上测得飞船的长度为其静 止长度的一半，问飞船相对地球的速度是多少? [解] 飞船静止长度 l0为其固有长度，地球上测得其长度为运动长度，由长度收缩公式，有： lvl?l01?()2?0c2 v3?2 解得：cv?3c?0.866c2 4 即： 6-2-6 一颗核弹含有20kg的钚，爆炸后的生成物的静止质量比原来的静止质量小10分之一，求爆炸中释放的能量。 [解] 由质能关系，得： ?482?E??mc2?20?10?(3?10)?1.80?1014J 6-2-7 远方一颗星体以0.80c的速率离开我们，我们接收到它辐射来的闪光按5昼夜的周期变化，求固定在这星体上的参考系中测得的闪光周期。 [解] 所求的为固有周期 T0： 昼夜 T0?T1?(v/c)2?51?0.802?36-3 宇宙射线与大气相互作用时能产生?介子衰变，此衰变在大气上层放出?粒子，已知??6粒子的速率为v＝0.998c，在实验室测得静止?粒子的平均寿命为2.2?10s，试问在8000m 高空产生的?粒子能否飞到地面? [解] 地面上观测到的?子平均寿命与固有寿命之间的关系 7-31 t?t0?v?1????c? 2?子运行距离 l?vt?vt0?v?1????0.998c?2.2?10?6?c?21?0.9982?1042m ?子能飞到地面。 6-4 在S系中观测到两个事件同时发生在x轴上，其间距离为1m，在S?系中观测这两个事件之间的距离是2m。求在S?中测得的这两个事件发生的时间间隔。 [解] 在S系中两事件时间间隔?t?0,由Lorentz变换 x??x?ut1?(u/c)2ux2ct??1?(u/c)2t? ?x?u?t?x???x???1?(u/c)21?(u/c)2??uu??t?2?x?x2?cc????t??1?(u/c)21?(u/c)2??得： 将?x??2m,?x?1m代入上两式，得 3c,?t???5.77?10?9s2 6-5 1966～1972年间，欧洲原子核研究中心(CERN)多次测量到储存环中沿“圆形轨道”运 u??6行的?粒子的平均寿命，在?粒子的速率为0.9965c时，测得的平均寿命是26.15?10s。 ?粒子固有寿命的实验值是2.197?10?6s。问实验结果与相对论理论值符合的程度如何? [解] ?粒子固有寿命理论值 ?v?t0?t1????2.615?10?6?1?0.99652?2.186?10?6s?c? 与实验值比较，相对误差0.5%，两者符合得极好。 6-6 略 6-7 (1)火箭A以0.8c的速率相对于地球向东飞行，火箭 B以0.6c的速率相对地球向西飞行，求火箭B测得火箭A的速率的大小和方向。 (2)如果火箭A向正北飞行，火箭B仍然向西飞行，则由火箭B测得火箭A的速率大小中方向又如何? [解] (1)选地球为S系，火箭B为S?系，并设正东为x轴正向，则对A有： 7-32 2 u??0.6c,vx?0.8c,vy?vx?0 由速度变换公式，得： vx?u0.8c?0.6cv????0.946cxu0.8c?0.6c1?2vx1?cc2 方向为正东。 (2) 坐标系仍如(1)问， u??0.6c,vx?vz?0,vy?0.8c 由速度变换公式，有 v?u?vx?x?0.6cu1?2vxc vy??vy1?(u/c)2u1?2vxc?0.64c ??0vz 22?2?0.877cv??v?x?v?y?vz 有正东方向夹角为 6-8 设一火箭的静止质量为100t，当它以第二宇宙速度飞行时，它的质量增加了多少? 4[解] v?11.2kms?1.12?10ms ??cos?1v?0.6cx?cos?1?46.83?v?0.877c m?m0?v?1????c?2?1?1.12?1???5?3?10?2?1.0000000009m ?m?m?m0?9?10?10m0?9?10?2g 881.2?10ms2.4?10ms必须做多少功? 6-9 要使电子的速率从增加到 [解] 由动能定理，外力所作的功为 A??mc2?m0c2( 11?(v2/c)2?11?(v1/c)2) ?14?14A?8.199?10(1.667?1.091)?4.72?10J 代入数据，得 6-10 某粒子的静止质量为m0，当其动能等于其静能时，其质量和动量各等于多少? 7-33 22E?mc?mck0[解] 动能为由已知条件 2Ek?m0c2，故 1/1?(v/c)?2 v?解出 3c2 m01?(v/c)2m?所以有 ?2m0 因此p?mv?3m0c 6-11 太阳的辐射能来自其内部的核聚变反应。太阳每秒钟向周围空间辐射出的能量约为 5?1028J?s，由于这个原因，太阳每秒钟减少多少质量? 2288?m??Ec?5?103?10[解] ??2?5.56?1012kg 22mcm006-12 假设一个静止质量为、动能为的粒子同一个静止质量为2m0，处于静止状 态的粒子相碰撞并结合在一起，试求碰撞后结合在一起的粒子的静止质量。 [解]依题意，得： Ek?m0c2( 11?(v/c)?32?1)?2m0c2 v?22c31故有 1?(v/c)2 由动量守恒、能量守恒定律，得 m0v 1?(v/c)22??v?m01?(v?/c)211?(v/c)2 2m0c?m0c 2??c2m01?(v?/c)2 ?可解得m0?17m0 9 6-13 在北京的正负电子对撞机中，电子可以被加速到动能为Ek?2.8?10eV。这种电6E?0.511?10eV)。 0子的速率与光速相差多大?一个电子的动量是多大?(电子的静止能量 7-34 Ek?m0c[解] 因为 2??1?21???Ek??1??? 1所以 1??22.8?109?1??1??5480m0c20.511?1062 ?1???1????0.9999999835480?? c?v??1???c?1.6?10?8c?4.9m?s?1 p?m0v?v?1????c?2?5480?9.11?10?31?0.000000083c?1.5?1018kg?m?s?1 6-14 静止质量为M0的粒子在静止时衰变为静止质量为m10和m20的两个粒子。试求静止质量为m10的粒子的能量E1和速度v1。 [解] 根据动量、能量守恒定律列出方程 ?m10c2m20c22??M0c?22??v1??v2?1???1??????c??c??m20v2?0?m10v1?22?vv?????1??1?1??2???c??c??令?1?v1c、?2?v2c，上两式化为 ?1??2? m10m20?M???0221??11??2??m10?1m20?2?0??22?1??1??12??3??4? 22222?2?从(4)式得 2m201??1?m10?12?m10?1??5? (5)式代入(3)式消去?2，经代数运算解出 ??2m10M0?1??1??222??M0?m10?m20??????2????12 7-35 ??2m10M0v1?c?1??222??M0?m10?m20??E1?m10c21??22????2???? ?2?c?? 12?M02?m102?m202???2M0?第七章相关习题 本章无习题解答,以下题目仅供练习.个别题目与作业题相同. 1 目前可获得的极限真空为1.33?10?11Pa，求此真空度下1cm3体积内有多少个分子?（设温度为27℃） [解] 由理想气体状态方程p?nkT 得p?NkT， VpV1.33?10?11?1?10?6??3.21?103cm3 故N??23kT1.38?10?300 2 使一定质量的理想气体的状态按p?V图中的曲线沿箭头所示的方向发生变化，图线的 BC段是以横轴和纵轴为渐近线的双曲线． （1）已知气体在状态A时的温度是TA?300K，求气体在B、C、D时的温度． （2）将上述状态变化过程在V?T图（T为横轴）中画出来，并标出状态变化的方向． [解] （1）由理想气体状态方程一等压过程中 pV?恒量，可得A→B这TVAVB? TATB则TB?VB20?TA??300?600K VA10因BC段为等轴双曲线，所以B→C为等温过程，则 TC?TB?600 K C→D为等压过程，则 VDVC? TDTCTD?VD20?TC??600?300K VC407-36 （2） VL40C3020DB100A300600TK 3 有容积为V的容器，中间用隔板分成体积相等的两部分，两部分分别装有质量为m的分子N1和N2个, 它们的方均根速率都是v0，求： （1）两部分的分子数密度和压强各是多少? （2）取出隔板平衡后最终的分子数密度和压强是多少? [解] （1）分子数密度n1?N1N?21V1Vn2?N2N?22 V2V由压强公式：p?1nmv2 3可得两部分气体的压强为 222mN1v02mN2v01122 p1?n1mv0?p2?n2mv0?33V33VNN?N2（2）取出隔板达到平衡后，气体分子数密度为n??1 VV混合后的气体，由于温度和摩尔质量不变，所以方均根速率不变，于是压强为： ?N1?N2?mv0212 p?nmv?33V 4 在容积为2.5?10?3m3的容器中，储有1?1015个氧分子，4?1015个氮分子，3.3?10?7g氢分子混合气体，试求混合气体在433K时的压强． [解] 由p?nkT N1?N2?N3 V3.3?10?7N3??6.02?1023?9.933?1016 2N1?N2?N31?1015?4?1015?99.33?1015则p?kT??1.38?10?23?433?0.25Pa ?3V2.5?10n? 5 有2?10?3m3刚性双原子理想气体，其内能为6.75?102J．(作业（1）试求气体的压强． （2）设有5.4?1022个分子，求分子的平均平动动能及气体的温度． 7-3) 7-37 [解] （1）理想气体的内能E?N?ikT（1） 2N理想气体的压强p?nkT?kT（2） V2E2?6.75?1025由（1）、（2）两式可得p?Pa ??1.35?10?35V5?2?10i2E2?6.75?102（2）由E?N?kT则T???362K 25kN5?1.38?10?23?5.4?102233又w?kT??1.38?10?23?362?7.5?10?21J 22 6 一容积为10cm3的电子管，当温度为300K时，用真空泵把管内空气抽成压强为 5?10?6mmHg的真空，问此时管内有多少个空气分子? 这些分子的总平动动能是多少? 总 转动动能是多少? 总动能是多少? [解] 由理想气体状态方程p?NkT得 VpV5?10?6?1.013?105?10?10?612个 N???1.61?10kT760?1.38?10?23?300所以总的平均动能为： pV33335?10?6?1.013?105Et?NkT??kT?pV???10?10?6?1?10?8J 2kT222760将空气中的分子看成是由双原子刚性分子组成，总的转动动能为： pV25?10?6?1.013?105Er?NkT?kT?pV??10?10?6?0.666?10?8J 2kT760总动能Ek?Et?Er?1.666?10?8J 7 某些恒星的温度可达108K的数量级，在这温度下原子已不存在，只有质子存在．试求： （1）质子的平均动能是多少电子伏? （2）质子的方均根速率是多少? [解] 质子只有3个平动自由度，所以其平均动能也就是它的平均平动动能 E?33kT??1.38?10?23?108/1.602?10?19?1.29?104eV 223kT3?1.38?10?23?108v???1.57?106ms ?27mp1.673?102p质子的方均根速率为： 8 容器内某理想气体的温度T?273K，压强p?1.00?10?3atm,密度为1.25g/m3,求： （1）气体分子的方均根速率； （2）气体的摩尔质量，是何种气体? （3）气体分子的平均平动动能和转动动能； 7-38 （4）单位体积内气体分子的总平动动能； （5）气体的内能．设该气体有0.3mol．(作业[解] （1）由pV??RT 7-5) 3p3kT3?1.00?10?3?1.013?105???493ms 所以v??3m?1.25?102（2）气体的摩尔质量 Mmol?N0m?N0?kTp 1.25?10?3?1.38?10?23?273?6.02?10??0.028kgmol ?351.00?10?1.013?1023所以该气体是N2或CO （3）气体分子的平均平动动能 ??kT??1.38?10?23?273?5.65?10?21J 气体分子的转动动能 3232?2?kT?1.38?10?23?273?3.77?10?21J （4）单位体积内气体分子的总平动动能 22E?n?1?p333?kT?p??1.00?10?3?1.013?105?1.52?102Jm3 kT222i5RT?0.3??8.31?273?1.70?103J 22（5）该气体的内能 E?0.3Emol?0.3? 9 容积为10?10?3m3的容器以速率200ms匀速运动，容器中充有质量为50g，温度为18℃的氢气．设容器突然静止，全部定向运动的动能都转变为气体热运动的动能，若容器与外界 没有热交换，达到平衡时氢气的温度增加了多少?压强增加了多少?氢分子视为刚性分子． [解] 由能量守恒定律知又因?Ek?1Mv2??Ek 2MiM5R?T?R?T Mmol2Mmol2Mmol2mv23.35?10?27?4?104所以?T?v???1.94K 5R5k5?1.38?10?23N由p?kT VNMk?T50?10?3?1.38?10?23?1.94?p?k??T???4.0?104Pa ?27?3VmV3.35?10?10?107-39 10 一摩尔水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几（不计振动自由度）? [解] 由水的分解方程知，1mol水蒸气分解为1mol氢气和1mol水蒸气的内能E1?1mol氢气的内能E2?1mol氧气．设温度为T， 26RT?3RT 25RT 21155mol氧气的内能E3??RT?RT 22243所以?E?E2?E3?E1?RT 4所以内能增加的百分比为 ?E?100%?25% E1 11 求速度与最概然速率之差不超过最概然速率1%的分子数占分子总数的百分比． [解] 根据题意，由麦克斯韦分布定律 ??N?m?2?4???e2kTv?v N?2?kT?32mv2又vp?2kT m?v???vp?3?????2所以 ?N4?vpeN?v2?v??4??v?e????vp?2?v???vp?????2?v vpvp??vp?????v??v?在vp附近，v?vp?v???p100??p100??0.02vp ?????N4??e?1?0.02?1.66% N? 12 速率分布函数的物理意义是什么?试说明下列各量的意义： （1）f(v)dv；（2）Nf(v)dv；（3） ?v2v1（4）f(v)dv； ?v2v1（5）Nf(v)dv； ?v2v1vf(v)dv． [答] f(v)表示在热力学温度T时，处于平衡状态的给定气体中，单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比． （1）f(v)dv表示某分子的速率在v~v+dv间隔内的概率；或者说速率在v~v+dv间隔内的分子数占总分子数的百分比； （2）Nf(v)dv表示分子速率在v~v+dv间隔内的分子数； （3） ?v2v1f(v)dv表示分子速率在v1~v2间隔内的概率，或者说该分子速率在v1~v2间隔内的 7-40