《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[知识能否忆起]
一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0，π)_． 2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式：
y2－y1y1－y2
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.
x2－x1x1－x2二、直线方程的形式及适用条件 名称 点斜式 斜截式 两点式 几何条件 过点(x0，y0)，斜率为k 斜率为k，纵截距为b 过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2) 在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0) 方 程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b y－y1x－x1＝ y2－y1x2－x1xy＋＝1 abAx＋By＋C＝0(A，B不全为0) 局限性 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于x轴的直线 不包括垂直于坐标轴的直线 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 截距式 一般式 [小题能否全取]
1．(教材习题改编)直线x＋3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为( ) A．30° B．60° C．150°
D．120°
3
，α∈[0，π)得α＝150°. 3
解析：选C 由k＝tan α＝－
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3
2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为( )
4A．3x＋4y－14＝0 C．4x＋3y－14＝0
B．3x－4y＋14＝0 D．4x－3y＋14＝0
3
解析：选A 由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.
4
3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ) A．1
B．4 D．1或4
C．1或3
4－m
解析：选A 由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.
m＋2
4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________． 5－3a－3解析：kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.
6－45－4
由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4. 答案：4
5．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________． 3
解析：由已知得直线l的斜率为k＝－. 23
所以l的方程为y－2＝－(x＋1)，
2即3x＋2y－1＝0. 答案：3x＋2y－1＝0
1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．
典题导入
3π
[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y
4
直线的倾斜角与斜率 《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法
＝( )
A．－1 C．0
B．－3 D．2
(2)(2012·苏州模拟)直线xcos θ＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是________． 3π2y＋1－?－3?2y＋4[自主解答] (1)tan＝＝＝y＋2，因此y＋2＝－1.y＝－3.
424－2(2)由题知k＝－
3333
cos θ，故k∈?－，?，结合正切函数的图象，当k∈?0，?时，33??33??
π5π3
0，?，当k∈?－，0?时，直线倾斜角α∈?，π?，故直线的倾斜角的范围直线倾斜角α∈??6??6??3?π5π
0，?∪?，π?. 是??6??6?
π5π
0，?∪?，π? [答案] (1)B (2)??6??6?
由题悟法
1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k＝tan α的取值范围；
(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
以题试法
π
1．(2012·哈尔滨模拟)函数y＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝，则直线l：ax－by
4＋c＝0的倾斜角为( )
A．45° C．120°
B．60° D．135°
π?π
解析：选D 由函数y＝f(x)＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝知，f(0)＝f??2?，即－b4＝a，则直线l的斜率为－1，故倾斜角为135°.
2．(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
1?A.??2，＋∞?
B．(－∞，－2] 1
－2，? D.?2??
1?C．(－∞，－2]∪??2，＋∞?
解析：选D 由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB.
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1
∵kPA＝－2，kPB＝，
21
∴－2≤k≤. 2
直 线 方 程
典题导入
[例2] (1)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________． (2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为______________．
[自主解答] (1)设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m＝0，m＝－1.
则所求直线方程为x－2y－1＝0.
1－0(2)由题意得，×kMN＝－1，所以kMN＝2，故弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x
1－3－1)，即2x－y－1＝0.
[答案] (1)x－2y－1＝0 (2)2x－y－1＝0
由题悟法
求直线方程的方法主要有以下两种：
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．
以题试法
3．(2012·龙岩调研)已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求： (1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线． 7??1?因为线段AB，AC中点坐标分别为??2，1?，?－2，－2?，
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1x＋y＋22
所以这条直线的方程为＝，
711＋2＋22
xy
整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为－＝1.
131368
y＋4x－1
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即
3＋42－1xy
一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.
11117
典题导入
[例3] (2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．
[自主解答] 法一：设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上． x＋x
??2＝3，
由题意知?
y＋y??2＝0，
BB
直线方程的综合应用
则点B(6－x，－y)，
??2x－y－2＝0，
解方程组?
??6－x?＋?－y?＋3＝0，?
?得?16
y＝?3，
11x＝，
3
16－03则k＝＝8.
11－33
故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 法二：设所求的直线方程为y＝k(x－3)， 点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，
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??y＝k?x－3?，由?解得?2x－y－2＝0，?
?
?4k?y＝k－2.
xA＝
A
3k－2
，k－2
??y＝k?x－3?，由?解得?x＋y＋3＝0，?
??
?－6k??y＝k＋1.xB＝
B
3k－3
，k＋1
∵P(3,0)是线段AB的中点， ∴yA＋yB＝0，即
－6k＋＝0， k－2k＋14k
∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8. 若k＝0，则xA＝1，xB＝－3， xA＋xB1－3此时＝≠3，∴k＝0舍去，
22故所求的直线方程为y＝8(x－3)， 即8x－y－24＝0.
由题悟法
解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．
以题试法
4．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程； (2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程． 解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)， 1
2－，0?，B(0，1－2k)， A??k?
11
2－? △AOB的面积S＝(1－2k)??k?2
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1?－1??≥1(4＋4)＝4. ＝?4＋?－4k?＋?k??22?
11
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．
k21
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
2(2)∵|MA|＝ ∴|MA|·|MB|＝
1
＋1，|MB|＝k24＋4k2，
1k2＋2＋2≥2×2＝4，
k
12
2＋1·4＋4k＝2 k
1
当且仅当k2＝2，即k＝－1时取等号，
k故直线方程为x＋y－3＝0.
1．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点( ) A．(1，－2) C．(－1,2)
B．(1,2) D．(－1，－2)
解析：选A 因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．
2．直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是( ) A．2x＋11y＋38＝0 C．2x－11y－38＝0
B．2x＋11y－38＝0 D．2x－11y＋16＝0
解析：选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋C|
，解得C＝16(舍去)或C＝－38.
22＋1123．(2012·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( )
A．(3,0)
B．(－3,0) D．(0,3)
|0＋11＋16|22＋112＝
C．(0，－3)
解析：选D ∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2.
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又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)， 整理即得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0,3)．
4．(2013·佛山模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab＞0，bc＜0 C．ab＜0，bc＞0
B．ab＞0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0
解析：选A 由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将acac
方程变形为y＝－x－，易知－＜0且－＞0，故ab＞0，bc＜0.
bbbb
5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) 11
A．y＝－x＋
33C．y＝3x－3
1
B．y＝－x＋1
31
D．y＝x＋1
3
1
解析：选A 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个
3111
单位，所得直线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.
333
6．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2 C．3
B．－7 D．1
1＋m?
?2，0?代入直线x＋2y－2＝0中，得m＝3.
解析：选C 线段AB的中点?
7．(2013·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．
2
解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－，令－3
k21＜1－＜3，解得k＜－1或k＞. k2
1?答案：(－∞，－1)∪??2，＋∞?
8．(2012·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．
33
解析：直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；l不过原点时，设方程为
22xy
＋＝1，将点(－2,3)代入，得a＝1，直线方程为x＋y＝1. aa
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综上，l的方程为x＋y－1＝0或2y＋3x＝0. 答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝0
9．(2012·天津四校联考)不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点________． 解析：把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0整理得 (x＋2)m－(x＋y－1)＝0，
???x＋2＝0，?x＝－2，则?得? ???x＋y－1＝0，?y＝3.
答案：(－2,3)
10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程． xy
解：设所求直线方程为＋＝1，
ab
?－a＋b＝1，
由已知可得?1
?2|a||b|＝1，
22
???a＝－1，?a＝2，解得?或?
???b＝－2?b＝1.
故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 11．(2012·莆田月考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)． (1)求直线AB的方程； (2)已知实数m∈?－
?
3?－1，3－1，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
3?
解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1； 1
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．
m＋1π
(2)①当m＝－1时，α＝；
2②当m≠－1时，m＋1∈?－
?
3?
，0∪(0，3 ]， 3?
13
∴k＝∈(－∞，－3 ]∪?，＋∞?，
?3?m＋1ππ??π2π?∴α∈??6，2?∪?2，3?.
π2π?综合①②知，直线AB的倾斜角α∈??6，3?.
12.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点
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1
P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，
2求直线AB的方程．
解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1， kOB＝tan(180°－30°)＝－
3
， 3
3x. 3
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－设A(m，m)，B(－3n，n)， 所以AB的中点C?
?m－3nm＋n?
?， ，22??
1
由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得
2
?
?m－0n－0
?m－1＝－3n－1，m＋n1m－3n
＝·，222
解得m＝3，所以A(3， 3)．
3＋3又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
23－1
3
3＋3
所以lAB：y＝(x－1)，
2
即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.
1．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
ππ?A.??6，3? ππ?C.??3，2?
ππ?
B.??6，2? ππ?D.??6，2?
?y＝kx－3，
解析：选B 由?
?2x＋3y－6＝0，
3?2＋3??x＝
?2＋3k，解得?
6k－23y＝??2＋3k.
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??x＞0，3∵两直线交点在第一象限，∴?解得k＞.
3?y＞0，?
ππ?∴直线l的倾斜角的范围是??6，2?.
2．(2012·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，直线l的方程为________________．
解析：易知圆心C的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直2－1线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线PC的斜率为＝－1－21，设直线l的斜率为k，则k×(－1)＝－1，得k＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1， 故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，
∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，
解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
??k≥0，
要使直线l不经过第四象限，则?
??1＋2k≥0，
解得k的取值范围是[0，＋∞)．
1＋2k?1＋2k?
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A?－，0?，kk??
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B(0,1＋2k)．
1＋2k又－<0且1＋2k>0，∴k>0.
k111＋2k故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k)
22k111
4k＋＋4?≥(4＋4)＝4， ＝?k?22?
11
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
k2
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
1．(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为( )
A．x＋3y－5＝0 C．x－3y＋5＝0
B．x＋3y－15＝0 D．x－3y＋15＝0
解析：选B ∵kl1＝3，kl2＝－k，l1⊥l2，
11
∴k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.
33
2．(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．
2a－?1＋a?a－1解析：k＝tan α＝＝. 3－?1－a?a＋2a－1
∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，
a＋2故－2＜a＜1. 答案：(－2,1)
3.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点如图，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
xy
解：设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为＋＝1，
ab
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32
∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.
ab32∴1＝＋≥2
ab
6，即ab≥24. ab
132
∴S△ABO＝ab≥12.当且仅当＝，即a＝6，b＝4时，
2ab△ABO的面积最小，最小值为12. xy
此时直线l的方程为＋＝1.
64即2x＋3y－12＝0.