2016年高考数学文试题分类汇编
解析几何
一、选择题
1、（2016年北京高考）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为
（A）1 （B）2 （C）2 （D）22 【答案】C
2、（2016年山东高考）已知圆M：x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22，2（x-1）+(y-1)2=1的位置关系是 则圆M与圆N：
（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离 【答案】B
3、（2016年四川高考）抛物线y=4x的焦点坐标是 (A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 【答案】D
2
x2y24、（2016年天津高考）已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近
ab线与直线2x?y?0垂直，则双曲线的方程为
x2y222（A）（B）x??y?1?1
44 3x23y23x23y2（C）??1 （D）??1
520205【答案】A
5、（2016年全国I卷高考）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短1
轴长的，则该椭圆的离心率学科网为
41123（A）（B）（C）（D） 3234【答案】B
6、（2016年全国II卷高考）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=PF⊥x轴，则k=（ ）
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k（k>0）与C交于点P，x（A）【答案】D
13（B）1 （C）（D）2
2 2
x2y27、（2016年全国III卷高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点，
abA，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF?x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 （A）
13
（B）
12
（C）
23
（D）
3 4【答案】A
二、填空题
x2y21、（2016年北京高考）已知双曲线2?2?1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦
ab点为（5 ,0），则a=_______；b=_____________. 【答案】a?1,b?2
x2y22、（2016年江苏省高考）在平面直角坐标系xOy中，双曲线??1的焦距是________▲________.
73【答案】210
x2y23、（2016年山东高考）已知双曲线E：2–2=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，
baAB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______． 【答案】2
4、（2016年上海高考）已知平行直线l1:2x?y?1?0,l2:2x?y?1?0，则l1,l2的距离_______________ 【答案】25 55、（2016年天津高考）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,5)在圆C上，且圆心到直线
2x?y?0的距离为45，则圆C的方程为__________ 5
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【答案】(x?2)2?y2?9.
6、（2016年全国I卷高考）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若错误！未找到引用源。，则圆C的面积为 . 【答案】4π
7、（2016年全国III卷高考）已知直线l：x?3y?6?0与圆x2?y2?12交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点，则|CD|?_____________. 【答案】4
8、（2016年浙江高考）已知a?R，方程a2x2?(a?2)y2?4x?8y?5a?0表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______. 【答案】(?2,?4)；5．
三、解答题
x2y21、（2016年北京高考）已知椭圆C：2?2?1过点A（2,0），B（0,1）两点.
ab（I）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值. 解：（I）由题意得，a?2，b?1．
x2?y2?1学科网． 所以椭圆C的方程为4又c?a?b?3， 所以离心率e?22c3． ?a222（II）设??x0,y0?（x0?0，y0?0），则x0?4y0?4．
又??2,0?，??0,1?，所以， 直线??的方程为y?y0?x?2?． x0?2
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令x?0，得y???2y02y0，从而???1?y??1?． x0?2x0?2y0?1x?1． x0直线??的方程为y?令y?0，得x???x0x0，从而???2?x??2?． y0?1y0?1所以四边形????的面积
S?1????? 2x??2y0?1???2?0??1?? 2?y0?1??x0?2?22x0?4y0?4x0y0?4x0?8y0?4 ?2?x0y0?x0?2y0?2??2x0y0?2x0?4y0?4
x0y0?x0?2y0?2?2．
从而四边形????的面积为定值．
2、（2016年江苏省高考）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:x2?y2?12x?14y?60?0及其上一点A(2，4)
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；
??????????（3）设点T（t,o）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得TA?TP?TQ,,求实数t的取值范围。
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解：圆M的标准方程为?x?6???y?7??25，所以圆心M(6，7)，半径为5,. （1）由圆心N在直线x=6上，可设N?6,y0?.因为圆N与x轴相切，与圆M外切， 所以0?y0?7，于是圆N的半径为y0，从而7?y0?5?y0，解得y0?1. 因此，圆N的标准方程为?x?6???y?1??1. (2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为
22224?0?2. 2?0设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0， 则圆心M到直线l的距离
d?2?6?7?m5?m?55. 因为BC?OA?22?42?25,
2?BC?而MC2?d2???,
2???m?5?所以25?52?5，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设P?x1,y1?,Q?x2,y2?.
???????????x2?x1?2?t因为A?2,4?,T?t,0?,TA?TP?TQ,所以? ……①
y?y?4?21因为点Q在圆M上，所以?x2?6???y2?7??25. …….②
22
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将①代入②，得?x1?t?4???y1?3??25.
于是点P?x1,y1?既在圆M上，又在圆??x??t?4?????y?3??25上， 从而圆?x?6???y?7??25与圆??x??t?4?????y?3??25有公共点， 所以5?5?22222222???t?4??6????3?7??5?5, 解得2?221?t?2?221.
22因此，实数t的取值范围是?2?221,2?221?.
??
3、（2016年山东高考）已知椭圆C:（I）求椭圆C的方程；
（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2
.
(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B. (i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值. (ii)求直线AB的斜率的最小值. 解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c， 由题意知2a?4,2c?22， 所以a?2,b?a2?c2?2，
x2y2??1. 所以椭圆C的方程为42(Ⅱ)(i)设P?x0,y0??x0?0,y0?0?， 由M(0,m)，可得P?x0,2m?,Q?x0,?2m?.
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所以 直线PM的斜率k?2m?mm? ， x0x0?2m?m3m. ??x0x0直线QM的斜率k'?k'??3， kk'所以为定值-3.
k此时
(ii)设A?x1,y1?,B?x2,y2?， 直线PA的方程为y=kx+m， 直线QB的方程为y=-3kx+m.
?y?kx?m?联立 ?x2y2 ，
?1???42整理得2k2?1x2?4mkx?2m2?4?0.
??2?m2?2?2m2?4由x0x1?可得x1? ， 222k?1?2k?1?x0所以y1?kx1?m?2?2k?1?x2?m?2??6k?m?2?,y??m. 同理x??18k?1?x?18k?1?x2?m?2?2?m?2??32k?m?2???所以x?x?，
?18k?1?x?2k?1?x?18k?1??2k?1?x?6k?m?2?2?m?2??8k?6k?1??m?2?y?y??m??m? ，
?18k?1?x?2k?1?x?18k?1??2k?1?x202k?m2?2??m，
222220022222122220002222212222000所以kABy2?y16k2?11?1?????6k??. x2?x14k4?k?由m?0,x0?0，可知k>0， 所以6k?16?26 ，等号当且仅当k?时取得. k6
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此时m4?8m2?146，即m?，符号题意.
766 . 2所以直线AB 的斜率的最小值为
y24、（2016年上海高考） 双曲线x?2?1(b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与
b2双曲线交于A、B两点. （1）若l的倾斜角为
? ，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； 2（2）设b?3，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率. 解析：（1）设??x?,y??．
22242由题意，F2?c,0?，c?1?b，y??bc?1?b，
??因为?F1??是等边三角形，所以2c?3y?，
242即41?b?3b，解得b?2．
??故双曲线的渐近线方程为y??2x． （2）由已知，F2?2,0?．
设??x1,y1?，??x2,y2?，直线l:y?k?x?2?．
?2y2?1?x?2222由?，得?k?3?x?4kx?4k?3?0． 3?y?k?x?2??22因为l与双曲线交于两点，所以k?3?0，且??361?k?0．
??36?k2?1?4k24k2?32由x1?x2?2，x1x2?2，得?x1?x2??， 22k?3k?3?k?3?故????x1?x2???y1?y2?22?1?k2x1?x2?6?k2?1?k2?3?4，
2解得k?315，故l的斜率为?． 55
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xу
5、（2016年四川高考）已知椭圆E：2 +2 =1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形
ab1
的三个顶点，点P(3 ， )在椭圆E上。
2(Ⅰ)求椭圆E的方程；
1
(Ⅱ)设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线
2OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳ 解：
（I）由已知，a=2b.
2
2
1xy132b?1. 又椭圆2?2?1(a?b?0)过点P(3,)，故2?4，解得?122ab4bb22x2?y2?1. 所以椭圆E的方程是4（II）设直线l的方程为y?1x?m(m?0)，A(x1,y1),B(x2,y2) ， 2?x2?y2?1,??422由方程组? 得x?2mx?2m?2?0，①
?y?1x?m,??22方程①的判别式为??4(2?m)，由???，即2?m?0，解得?2?m?2. 2由①得x1?x2??2m,x1x2?2m2?2. 所以M点坐标为(?m,m1)，直线OM方程为y??x， 22?x2?y2?1,?22?4由方程组?得C(?2,),D(2,?).
22?y??1x,??2所以MC?MD?又MA?MB?555(?m?2)?(2?m)?(2?m2). 2241152AB?[(x1?x2)2?(y1?y2)2]?[(x1?x2)2?4x1x2] 441655?[4m2?4(2m2?2)]?(2?m2). 164
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所以MA?MB=MC?MD.
x2y26、（2016年天津高考）设椭圆2??1（a?3）的右焦点为F，右顶点为A，已知
a3113e，其中O为原点，e为椭圆的离心率. ??|OF||OA||FA|（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF?HF，且?MOA??MAO，求直线的l斜率. 解析：（1）解：设F(c,0)，由
113c113c222??，即??，可得a?c?3c，|OF||OA||FA|caa(a?c)2x2y2??1. 又a?c?b?3，所以c?1，因此a?4，所以椭圆的方程为432222（2）设直线的斜率为k(k?0)，则直线l的方程为y?k(x?2)，
?x2y2?1,??设B(xB,yB)，由方程组?4 消去y， 3?y?k(x?2),?8k2?6整理得(4k?3)x?16kx?16k?12?0，解得x?2或x?， 24k?32222?12k8k2?6y?由题意得xB?，从而， B4k2?34k2?3????9?4k212k????,2)， 由（1）知F(1,0)，设H(0,yH)，有FH?(?1,yH)，BF?(24k?34k?3????????4k2?912kyH??0， 由BF?HF，得BF?HF?0，所以24k?34k2?39?4k219?4k2解得yH?，因此直线MH的方程为y??x?，
12kk12k?19?4k2,20k2?9?y??x?设M(xM,yM)，由方程组?， k12k 消去y，得xM?212(k?1)?y?k(x?2),?在?MAO中，?MOA??MAO?|MA|?|MO|，
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20k2?9即(xM?2)?y?x?y，化简得xM?1，即?1，
12(k2?1)22M2M2M解得k??66或k?， 4466或k?. 44所以直线l的斜率为k??
7、（2016年全国I卷高考）在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：
y2?2px(p?0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.
（I）求
OHON；
（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
t2【解析】（Ⅰ）由已知可得M(0,t)，P(,t)
2pt2又∵N与M关于点P对称，故N(,t)
p∴ 直线ON的方程为y?22px，代入y2?2px，得： t2t2 px?2tx?0解得：x1?0，x2?p2t2∴H(,2t)．
p∴N是OH的中点，即
OHON?2．
（Ⅱ）直线MH与曲线C除H外没有其它公共点．理由如下： 直线MH的方程为y?t?2tpx，即x?(y?t)，代入y2?2px，得 2tpy2?4ty?4t2?0，解得y1?y2?2t，
即直线MH与C只有一个公共点，所以除H外没有其它公共点．
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x2y2??1的左顶点，斜率为k?k＞0?的直8、（2016年全国II卷高考）已知A是椭圆E：43线交E与A，M两点，点N在E上，
MA?NA.
（Ⅰ）当AM?AN时，求?AMN的面积； （Ⅱ）当AM?AN时，证明：3?k?2. 解析：（Ⅰ）设M(x1,y1)，则由题意知y1?0. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为又A(?2,0)，因此直线AM的方程为y?x?2.
?， 4x2y2??1得7y2?12y?0， 将x?y?2代入431212，所以y1?. 7711212144?因此?AMN的面积S?AMN?2???.
27749解得y?0或y?x2y2??1得 （2）将直线AM的方程y?k(x?2)(k?0)代入43(3?4k2)x2?16k2x?16k2?12?0.
121?k216k2?122(3?4k2)2由x1?(?2)?得x1?，故|AM|?1?k|x1?2|?. 2223?4k3?4k3?4k12k1?k21由题设，直线AN的方程为y??(x?2)，故同理可得|AN|?.
k4?3k2由2|AM|?|AN|得
322k32?，即4k?6k?3k?8?0. 223?4k4?3k22设f(t)?4t?6t?3t?8，则k是f(t)的零点，f'(t)?12t?12t?3?3(2t?1)?0， 所以f(t)在(0,??)单调递增，又f(3)?153?26?0,f(2)?6?0， 因此f(t)在(0,??)有唯一的零点，且零点k在(3,2)内，所以3?k?2.
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9、（2016年全国III卷高考）已知抛物线C：y2?2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR?FQ；
（II）若?PQF的面积是?ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
（Ⅱ）设l与x轴的交点为D(x1,0)， 则S?ABF?a?b111. b?aFD?b?ax1?,S?PQF?222211a?b，所以x1?0（舍去），x1?1. b?ax1??222由题设可得
设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时，由kAB?kDE可得而
2y?(x?1). a?bx?1a?b?y，所以y2?x?1(x?1). 22当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y?x?1. ....12分
10、（2016年浙江高考）如图，设抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1. （I）求p的值；
（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，
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2AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.
解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离. 由抛物线的第一得
p?1，即p=2. 22(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为y?4x,F?1,0?，可设At2,2t,t?0,t??1.
???y2?4x因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:x=sy+1,?s?0?,由?消去x得
?x?sy?1?12?y2?4sy?4?0，故y1y2??4，所以B?2,??.
t??tt2?12t又直线AB的斜率为2?1，故直线FN的斜率为?，
2ttt2?12从而的直线FN:y???x?1?，直线BN:y??，
2tt?t2?32?,??， 所以N?2?t?1t?22tt， 设M(m,0),由A,M,N三点共线得：2?2t?3t?mt2?2t?12t?2t2于是m?2，经检验，m<0或m>2满足题意.
t?1综上，点M的横坐标的取值范围是???,0???2,???.
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