例1．（2012义乌市）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
例2、如图，Rt△ABC绕O点旋转90°得Rt△BDE，其中∠ACB=∠E=90°，AC=3，DE=5，则OC的长为（ ） A、5?2， B、42 C、3?22 D、4?3 2
（1）取OA中点M，P为AC上一动点，若将Rt△ABC绕O旋转下去，则旋转后的P点到M点的距离最大值与最小值是多少呢？
（2）我们能否求出边AC绕点O旋转360°后扫过的面积？
（3）怎样求边AB绕点O旋转360°扫过的面积？
练习．1、（2011安徽）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时
针旋转，旋转角为?(0°＜?＜180°)，得到△A1B1C．
A A1 A A1 A E B
C
A1
? C D B
C ? ? P B
B1 图1
图2
B1
B1 图3
(1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形； (2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2
＝1∶3；
(3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当?＝ °时，EP的长度最大，最大值为 ．
2、（12分）（2013?自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°． （1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；
（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？
（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．
例3、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
练习：1、.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO,且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）： 以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B （得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：
A∠ABC=________,∠A′BC=_______,OA+OB+OC=_________. O
C
2、已知：如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA、PB、PC． （1）如图1．若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长． （2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，试说明点P必在对角线AC上．
B
例4、（2011?永州）探究问题： （1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空： 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得： AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°， ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G，B，F在同一条直线上． ∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°． ∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠ FAE ． 又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌ △EAF ．
∴ GF =EF，故DE+BF=EF．
（2）方法迁移： 如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=错误！未找到引用源。∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=错误！未找到引用源。∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
练习1．（2012?益阳）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1． （1）求证：△ABE≌△BCF； （2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积； （3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．
2．（6分）(2014年浙江绍兴)（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．
（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．
例5．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在
y轴的正半轴上，且AB?1，OB?3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60?后
得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y?ax2?bx?c过点A，E，D． （1）判断点E是否在y轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；
（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；
y 若不存在，请说明理由．
E
F A
C D
x
B O M
10．（2014年江苏南京）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）
A．（，3）、（﹣，4）
C． （，）、（﹣，4）
D． （，）、（﹣，4） B． （，3）、（﹣，4）
例5．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在
y轴的正半轴上，且AB?1，OB?3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60?后
得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y?ax2?bx?c过点A，E，D． （1）判断点E是否在y轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；
（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；
y 若不存在，请说明理由．
E
F A
C D
x
B O M
10．（2014年江苏南京）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）
A．（，3）、（﹣，4）
C． （，）、（﹣，4）
D． （，）、（﹣，4） B． （，3）、（﹣，4）