高三自评试题
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U?{x|x?0}，M?{x|x?2x}，则eUM?
2{x|x?2} B. {x|x?2} C. {x|x?0或x?2} D. A. {x|0?x?2}
2．若a,b?R，i是虚数单位，a?(b?2i)i?1?i，则a?b为 A．0 B．1 C．2 D．3 3．“a?3”是“?x?[1,2],x?a?0”为真命题的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．执行如图所示的程序框图．若输出S?31， 则框图中①处可以填入
A. n?8 B. n?16 C. n?32 D. n?64 5．下列函数中，与函数y?结束 否 2开始 S ? 0, n ? 1 S?S?n n?2n① 是 输出 S 1定义域相同的函数为 3xA．y?cosx1lnx3x B. y? C. y? D. y?xe sinxxx
?x?y?3?6．设变量x、y满足线性约束条件?x?y??1，则目标函数z?log7(2x?3y)的最小值为
?2x?y?3?A. 7 B. log723 C. log78 D. 1
7．已知函数f(x)?22sinxcosx，为了得到函数g(x)?sin2x?cos2x的图象，只需要将
y?f(x)的图象
??个单位长度 B．向左平移个单位长度 44??C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
88A．向右平移
x2y2C：2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，P为双曲线右支8．已知F1、F2分别是双曲线
ab???????????????????PF1?2PF2，则双曲线的离心率为 上的一点， PF2?F1F2，且
A. 3 B. 1?2 C. 22 D. 1?5
9．已知l，m是两条不同的直线，?，?是两个不同的平面，有下列五个命题： ①若l??，且?//?，则l//?；②若l??，且?//?，则l??；
③若l??，且???，则l//?；④若????m，且l//m，则l//?；⑤若????m，
l//?，l//?，则l//m．则所有正确命题的序号是
A. ①③⑤ B. ②④⑤ C. ①②⑤ D. ①②④
10．已知数列{an}是以3为公差的等差数列，Sn是其前n项和，若S10是数列?Sn?中的唯一最小项，则数列{an}的首项a1的取值范围是 A. [?30,?27]
B. (30,33)
C. (?30,?27) D. [30,33]
11．某几何体的三视图如图所示，当这个几何体的体积最大时，以下结果正确的是
A. a?b?8 B. b?4 C. a?1 D. a?2
12．设函数y?f(x)在(??,??)内有定义,对于给定的实数k,定义函数
,x(?)k?f(x)f12，设函数f(x)=x?x?x?3,若对任意的x?(??,??)恒有g(x)??e? k, f(x)?kg(x)?f(x),则
A. k的最大值为?2 B. k的最小值为?2 C. k的最大值为2 D. k的最小值为2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．已知两条直线y?ax?2和3x?(a?2)y?1?0互相垂直，则a等于 ； 14．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本的中心点为(5,4)，则回归直线方程 是 ；
??15．无限循环小数可以化为分数，如0.11??13??5,0.13?,0.015?,?， 999333??? ； 请你归纳出0.199916．一同学为研究函数
DCPFf(x)?1?x2?1?(1?x)2(0?x?1)的性质，构造了
如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC,点P是边BC上的一动点，设CP?x,则AP?PF?f(x)．请你参考这些信息，推知函数g(x)?3f(x)?7的零点的个数
ABE是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤．
17．（本小题满分12分）已知函数f(x)?sin(2x?（Ⅰ）求函数f(x)在?0,??上的单调递减区间；
?6)?2cos2x．
??)?0，（Ⅱ）设?ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且f(A若向量m?(1,sinB)与?a向量n?(2,sinC)共线，求的值．
b18．（本小题满分12分）已知集合A?{x|x2?2x?3?0}，B?{x|y?lg(x?2)(3?x)}. （Ⅰ）从A?B中任取两个不同的整数，记事件E?{两个不同的整数中至少有一个是集合
A?B中的元素}，求P(E)；
（Ⅱ）从A中任取一个实数x，从B中任取一个实数y，记事件F?{x与y之差的绝对值不
超过1}，求P(F).
19．（本小题满分12分）如图，在长方形ABCD中，AB?2，BC?1，E为CD的中点，
F为AE的中点.现在沿AE将三角
形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列两问：
（Ⅰ）在线段AB上是否存在一点K，
D F A E C D F E C B B A 使BC∥面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由； （Ⅱ）若面ADE?面ABCE，求证：面BDE?面ADE. 20．（本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1?1，a1?a2???an?1?an??1（n?2且n?N）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an； （Ⅱ）设bn?*an?1(n?N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
(an?1)(an?1?1)x2y221．（本小题满分13分）已知点F(1,0)为椭圆C:2?2?1?a?b?0?的右焦点，过点
abA(a,0)、B(0,b)的直线与圆x2?y2?（Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 过点F的直线交椭圆C于M、N两点，求证：22．（本小题满分13分） 已知函数f(x)?12相切. 711为定值. ?MFNF13x?ax2?(a2?1)x?ln(a?1)（其中a为常数） 3（Ⅰ）若f(x)在区间(?1,1)上不单调，求a的取值范围；
（Ⅱ）若存在一条与y轴垂直的直线和函数?(x)?f(x)?(a?1)x?lnx的图象相切，且切点的横坐标x0满足x0?2，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记函数y?f(x)的极大值点为m，极小值点为n，若2m?5n?恒成立，试求a的取值范围．
23nsix对于x?[0,?]cosx?2
高三自评试题
数学 (文科) 参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． AABBC DDBCC DA
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. ?11999 14. ? 16．2 y?1.23x?2.15 15. 29999三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤． 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）f(x)?sin(2x??6)?2cos2x ?(cos2x?1)
?sin2xcos?6?cos2xsin?6??31sin2x?cos2x?1?sin(2x?)?1 ……………………………………………3分
6223??5?(k?Z)得：k???x?k??(k?Z)
26236?5?]………………………………………6分 所以，f(x)在?0,??上的单调递减区间为[,36由2k????2x???2k??)?1?0，则sin(2A?)?1 66??11?????0?A??，???2A??，?2A??，A?………………………8分
666623????向量m?(1,sinB)与向量n?(2,sinC)共线，?sinC?2sinB，
由正弦定理得，c?2b …………………………………………………………………10分 由余弦定理得，a?b?c?2bccos222（Ⅱ）f(A)?sin(2A????3，即a?b?4b?2b
2222a??3 ………………………………………………………………………12分 b
18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知可得：A?{x|?3?x?1}，B?{x|?2?x?3}，
?A?B?{x|?3?x?3}，A?B?{x|?2?x?1}
?A?B中的整数为?2, ?1, 0, 1, 2，?从中任取两个的所有可能情况为
{?2,?1},{?2,0},{?2,1},{?2,2},{?1,0},{?1,1},{?1,2},{0,1},{0,2},{1,2}共10种，…3分
?A?B中的整数为?1, 0，?事件E包含的基本事件为
{?2,?1},{1,?1},{2,?1},{?2,0},{1,0},{2,0},{0,?1}共7个， …………………………5分 ?P(E)?7 ………………………………………………………………………………6分 10y（Ⅱ）(x,y)可看成平面上的点，全部结果构成的区域为
321??{(x,y)|?3?x?1, ?2?y?3}，其面积为
y?x?1S??4?5?20， …………………………………………8分
事件F构成的区域为
?1y?x?1O?1?2?31xF?{(x,y)|?3?x?1, ?2?y?3, |x-y|?1}，其为图中
阴影部分，它的面积为SF?11?4?4??2?2?6……………………………………11分 22?P(F)?SF3?…………………………………………………………………………12分 S?101AB时，BC∥面DFK ………1分 419．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）线段AB上存在一点K，且当AK?证明如下：
设H为AB的中点，连结EH，则BC∥EH 又因为AK?1AB，F为AE的中点 4所以KF∥EH，所以KF∥BC，………………………………………………………4分
?KF?面DFK，BC?面DFK，?BC∥面DFK…………………………………5分
（Ⅱ）因为F为AE的中点，DA?DE?1， 所以DF?AE.………………………………………6分 因为面ADE?面ABCE，所以DF?面ABCE 因为BE?面ABCE，所以DF?BE …………8分
D F A K H
E
C
B
又因为在折起前的图形中E为CD的中点，AB?2，BC?1， 所以在折起后的图形中：AE?BE?2， 从而AE?BE?4?AB
222
所以AE?BE………………………………………………………………………………10分 因为AE?DF?F，所以BE?面ADE，
因为BE?平面BDE，所以面BDE?面ADE. ………………………………………12分 20．（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）由题a1?a2???an?1?an??1……①
?a1?a2???an?an?1??1……②
由①?②得：an?1?2an?0，即
an?1?2(n?2)…………………………………………3分 ana2
?2 a1
当n?2时，a1?a2??1，?a1?1，?a2?2,
所以，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列
故an?2n?1（n?N）………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）an?2n?1（n?N）
**an?12n11所以bn??n?1?2(?) …………………9分 nn?1n(an?1)(an?1?1)(2?1)(2?1)2?12?1所以Tn?b1?b2???bn?2[(?)?(?)???(112311351)]
2n?1?12n?1?1112n?1?2(?n)?n …………………………………………………………………12分
22?12?121.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为F(1,0)为椭圆的右焦点，所以a?b?1……① ……………………1分
22AB的直线方程为
2xy??1，即bx?ay?ab?0 ab(ab)212?，化简得12(a2?b2)?7a2b2……② …………………………3分 所以d?22a?b7由①②得：a?4，b?3
22x2y2??1 …………………………………………………………4分 所以椭圆C的方程为43
(Ⅱ) 设M(x1,y1)、N(x2,y2)
91y12?1，解得y12? 当直线l的斜率不存在时，x1?x2?1，则?443所以MF?NF?3114，则??………………………………………………6分 2MFNF3?y?k(x?1)?当直线l的斜率存在时，设l:y?k(x?1)，联立?x2y2
?1???43化简得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0
8k24k2?12x1?x2?,x1x2?…………………………………………………………8分
3?4k23?4k2MF?(x1?1)2?y12?(x1?1)2?k2(x1?1)2?1?k2x1?1
同理NF?1?k2x2?1
不妨设x2?1,x1?1，则
11111??(?)
2MFNFx?1x?11?k21(x1?x2)2?4x1x2111?(?)?? 21?x2x1?1x1?x2?x1x2?11?k1?k218k224k2?12()?4?2211121?k243?4k3?4k????? 22228k4k?12931?k1?k??13?4k23?4k2所以
411为定值 ………………………………………………………………13分 ?3MFNF22．（本小题满分13分）
13x?ax2?(a2?1)x?ln(a?1)，?f?(x)?x2?2ax?a2?1 3因为函数f(x)在区间(?1,1)不单调，所以函数f?(x)在(?1,1)上存在零点． 而f?(x)?0的两根为a?1，a?1，区间长为2， ∴f?(x)在区间(?1,1)上不可能有2个零点．
所以f?(?1)f?(1)?0， …………………………………………………………………2分
解：（Ⅰ）?f(x)?即a(a?2)(a?2)?0，又由题意可知：a??1
2
∴a?(?1,0)?(0,2)．………………………………………………………………………3分
131x?ax2?lnx?ln(a?1)，??(x)?x2?2ax?， 3x?存在一条与y轴垂直的直线和函数?(x)?f(x)?(a2?1)x?lnx的图象相切，且切点的横坐标x0，
111???(x0)?x02?2ax0??0?a?(x0?2),(x0?2) ………………………5分
x02x01112令h(x)?(x?2)(x?2)，则h?(x)?(1?3)
2x2x12当x?2时，h?(x)?(1?3)?0，
2x11?h(x)?(x?2)在(2,??)上为增函数，
2x119从而h(x0)?(x0?2)?h(2)?，又由题意可知：a??1
2x089?a? ……………………………………………………………………………………8分
8（Ⅲ）f?(x)?x2?2ax?a2?1，
由f?(x)?0得：x?a?1，或x?a?1， 当x变化时，f(x), f?(x)变化如下表
(??,a?1) (a?1,a?1) (a?1,??) a?1 a?1 x f?(x) 0 0 ? ? ? f(x) 极大值 极小值 （Ⅱ）?(x)?f(x)?(a?1)x?lnx?2
由表可知：
f(x)的极大值点m?a?1，极小值点n?a?1
?2m?5n?7a?3 ……………………………………………………………………10分
3sinx3(2cosx?1)，x?[0,?]，则h?(x)?， 2cosx?2(cosx?2)2?由h?(x)?0?x?，
32?2?)时，h?(x)?0，当x?(,?]时，h?(x)?0， 当x?[0,332?2?)?1，…………………………………………12分 时，h(x)取最大值为h(?当x?33为满足题意，必须2m?5n?h(x)max，所以7a?3?1，
2又由题意可知：a??1， ?a?? ……………………………………………………13分
7令h(x)?