说明： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分150分，考试时间120
分钟。
2、将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合A?{x|y?4?x2}，B?{y|y?2x}，则A?B?（ ）
A．{x|x?0} B．{y|y?2} C．{x|0?x?2} D．?
2. 若复数z满足：z(1?i)?1?i(i是虚数单位)，则z的共轭复数z?( ) A．?i B．?2i C．iD．2i 3. 某班有男生30人，女生20人．现按分层抽样的方法抽取 10人去参加座谈会，则女生应抽取人数为 ( ) A．6 B．4 C．5 D．3 4．已知双曲线kx?y?1(k?0)的一条渐近线与直线 2x?y?1?0垂直，则双曲线的离心率是 ( ) 2253 B． C．43D．5 225. 如果执行右边的程序框图，且输入n?6， m?4，则 输出的p? ( ) A．A．240 B．120 C．720D．360 ?ax?96. 若??的展开式中x3的系数为，则常数a?（ ） （第5题图） ??x42??? A．1 B．3 C．4 D．9 7. 已知{an}是等差数列，且a3?a4?a5?12，则 1主视图11左视图9a1?a2???a7?（ ） A．14 B.21 C. 28 D. 35 8. 如右图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的 体积为( ) A．1 B．1俯视图133 C． D． 242（第8题图） ??????n，向量p?(m,n)， q?(3,6)，则p与q共线的概率为（ ） 1211A． B． C． D． 991812?x?y?4?0?x?y10. 实数x,y满足条件：?x?2y?2?0 ，则2 的最小值是（ ） ?x?0,??y?0?9. 将一颗骰子掷两次，观察出现的点数并设第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为第 1 页 共 10 页
A．16 B. 4 C. 1 D. 1 2a的取值范围是（ ） bA．(0,1) B．(1,3) C．(2,3) D．(0,2) 12. 设f(x)的定义域为D，若f(x)满足下面两个条件则称f(x)为闭函数：①f(x)是D上
单调函数；②存在[a,b]?D，使f(x)在[a,b]上值域为[a,b]. 现已知11. 设锐角?ABC的内角A,B,C对边分别为a,b,c，若A?2B则f(x)?2x?1?k为闭函数，则k的取值范围是（ ） 11A．k?1 B．?1?k?? C．?k?1 D．k??1 22 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 14. 由曲线y?x与y?15. 已知f(x)?sin33??????13. 已知向量a?(3,1)，b?(1,3)，c?(k,7)，若(a?b)//c，则k? .
x所围成的封闭图形的面积为 ．
?3(x?1)?3cos?3(x?1)，则f(1)?f(2)???f(2014)? .
216. 给出下列命题： ①已知命题p：?x?R,tanx?2，命题q：?x?R,x?x?1?0，则命题p?q为真； ②函数f(x)?2?2x?3在定义域内有且只有一个零点； ③数列{an}满足：a1?2068，且an?1?an?n2?0(n?N*)，则a11?2013； xa2b22④设0?x?1，则的最小值为(a?b). ?x1?x其中正确命题的序号是 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分） 已知数列?an?满足a1?2a2?22a3???2n?1an?(Ⅰ)求数列?an?的通项公式；
(Ⅱ)设bn??2n?1?an，求数列?bn?的前n项和Sn.
18. （本小题满分12分） 如图，斜三棱柱ABC?A1B1C1的底面是直角三角形，?ACB?90?，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC?CA. (Ⅰ)求证：平面ACC1A1?平面B1C1CB； (Ⅱ)若二面角B?AB1?C1的余弦值为?设n，n?N*. 2B1A1C15， 7AA1??，求?的值. BC
19. （本小题满分12分） C有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表. 优秀 非优秀 总计 BA第 2 页 共 10 页
甲班 乙班 合计 10 30 105 已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为2. 7(Ⅰ)请完成上面的列联表； (Ⅱ)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” ;
(Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.
n(ad?bc)2参考公式: K? (a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2参考数据：
P(K2?k0)
k0
20. （本小题满分12分） 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 x2y2x2y2如图，已知椭圆C1:??1的焦点分别为F1,F2，双曲线C2:??1，设P
8444为双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. (Ⅰ)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，求：k1?k2的值； y(Ⅱ)是否存在常数?，使得AB?CD??AB?CD恒成立？ 若存在，求?的值；若不存在，请说明理由.
21. （本小题满分12分） 已知函数f(x)?lnx?ACF1PBoDF2x12ax?(a?1)x???(a?R,a?0). 2(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间； (Ⅱ)记函数y?F(x)的图象为曲线C.设点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C上的不同两点.如
x1?x2；②曲线C在点M处的切线平行2于直线AB，则称函数F(x)存在“中值相依切线”.试问：函数f(x)是否存在“中值相依果在曲线C上存在点M(x0,y0)，使得：①x0?切线”，请说明理由.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
?APC如右图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B,C，
的平分线分别交AB,AC于点D,E.
A(Ⅰ)证明：?ADE??AED；
EC第 3 页 共 10 页
DOBP
(Ⅱ)若AC?AP，求PC的值. PA 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线C的参数方程为?线l的极坐标方程为?cos?????x?3cos?（?为参数），直
??y?sin???22. 4?(Ⅰ)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的最大距离. 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若不等式a?1?3x?1?3y?1?3z?1对满足x?y?z?1的一切正实数
????x,y,z恒成立，求实数a的取值范围.
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长葛市第三实验高中2013—2014学年上学期期中考试试卷
高三数学（理科）参考答案及评分建议
11也适合③式，∴an?n?n?N*?. 2211111（2）由（1）知bn??2n?1??n，∴Sn?1??3?2?5?3????2n?1??n，④
2222211111Sn?1?2?3?3?5?4????2n?1??n?1，⑤ 22222又∵a1?④－⑤得，
1?1?1???111?1114?2n?1??111Sn??2?2?3?4???n???2n?1??n?1??2???2n?1??n?11222?222?2221?2?11132n?32n?3. ?1?n?1??2n?1??n?1??n?1， ∴Sn?3?n222222
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19. 解：(Ⅰ)
(Ⅱ)根据列联表中的数据，得到
合计 30 75 105 105?(10?30?20?45)2 k??6.109?3.841 55?50?30?75因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.
(Ⅲ)设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）. 所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、……、（6，6），共36个. 事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个?P(A)?
82?. 369
(2k12?1)x2?8k12x?8k12?8?0
8k128k12?8,x1x2?2由违达定理得x1?x2??2 2k1?12k1?1所以|AB|?1?k12(x1?x2)2?4x1x2 21?1?kk12?18k1228k12?8(?2)?4?2?422 2k1?12k1?12k1?122k2?1?11112k12?12k2.??(?) 同理可得|CD|?42 则22|AB||CD|42k12?12k2?1k2?1第 6 页 共 10 页
又k1k2?1
2?1221112k1?1k122k12?1k12?232??(2?)?(2?2)?所以 1|AB||CD|42k1?18k1?1k1?18?1k12故|AB|?|CD|?32|AB|?|CD| 8因此，存在??
32，使|AB|?|CD|??|AB|?|CD|恒成立。 821. 解：（Ⅰ）显然函数f(x)的定义域是(0,??)．
1a(x?1)(x?)1a． 由已知得，f'(x)??ax?a?1??xx⑴当a?0时, 令f'(x)?0,解得0?x?1; 令f'(x)?0,解得x?1． 所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,??)上单调递减． ⑵当a?0时，
11?1时，即a??1时, 令f'(x)?0,解得0?x??或x?1;令f'(x)?0,解得aa111??x?1．所以，函数f(x)在(0,?)和(1,??)上单调递增,在(?,1)上单调递减; aaa1②当??1时，即a??1时, 显然，函数f(x)在(0,??)上单调递增；
a11③当??1时，即?1?a?0时, 令f'(x)?0,解得0?x?1或x??;令f'(x)?0,解得
aa1111?x??．所以，函数f(x)在(0,1)和(?,??)上单调递增,在(1,?)上单调递减．
aaa\\①当?综上所述，地方有限, 略．??6分 （Ⅱ）假设函数f(x)存在“中值相依切线”．
设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线y?f(x)上的不同两点，且0?x1?x2， 则y1?lnx1?121ax1?(a?1)x1， y2?lnx2?ax22?(a?1)x2． 22kAB?y2?y1x2?x11(lnx2?lnx1)?a(x22?x12)?(a?1)(x2?x1)2?x2?x1第 7 页 共 10 页
?lnx2?lnx11?a(x1?x2)?(a?1)
x2?x12线
在
点
曲
M(x0,y0)处的切线斜率
k?f?(x0)?f?(x1?x2x?x2)??a?12?(a?1)， 2x1?x22依题意得：lnx2?lnx11x?x2?a(x1?x2)?(a?1)??a?12?(a?1)．
x2?x12x1?x22化简可得： lnx2?lnx1x2(x2?x1)2，即ln2=??x2?x1x1?x2x1x2?x12(x2?1)x1．
x2?1x1设x22(t?1)44，上式化为：lnt?, 即lnt??2??2． ?t （t?1）
t?1t?1t?1x1(t?1)2144令g(t)?lnt?,g'(t)??．因为t?1,显然g'(t)?0，所以g(t)在?t?1t(t?1)2t(t?1)2(1,??)上递增, 显然有g(t)?2恒成立．
所以在(1,??)内不存在t,使得lnt?4?2成立． t?1综上所述，假设不成立．所以，函数f(x)不存在“中值相依切线”.12分
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?x2?x?3cos?23. 解：（1）由?，得C:?y2?1. 3??y?sin?由?cos?????????22，得??sin??cos???4， 4?所以，直线l的直角坐标方程为x?y?4?0.
x2（2）在C:?y2?1上任取一点P3?3cos?,sin?，
?则点P到直线l的距离为d????2sin?????43cos??sin??43????32，
22所以当sin??????????1时，曲线C上的点到直线l的最大距离为32. 3?
24.解：根据柯西不等式有
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