高中数学
高考压轴题分类精选
2018版
专题诠释 圆锥曲线 数学复习考点解密
专题3 图形面积求最值，函数值域正当时
【题型综述】
1、面积问题的解决策略：
（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形 2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化
[来源:Z,xx,k.Com]
3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析
【典例指引】
x2y26例1已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的一个顶点为??0,?1?，离心率为，ab3直线l:y?kx?m（k?0）与椭圆C交于?，?两点，若存在关于过点?的直线，使得点?与点?关于该直线对称． （I）求椭圆C的方程； （II）求实数m的取值范围；
（III）用m表示????的面积S，并判断S是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
?x2?x1??x2?x1???y2?y1?2??y2?y1??0??x2?x1??k?y2?y1?2??0，可得：
?6km?2m?22m?3k?1?1（k?0），故，则有：??2k?0?2?23k?1?3k?1?1?m?2 2??12m?2?m??0?
（III）法一（面积转化为弦长）：
????x2212m?2?m?1?x2???y1?y2??1?k23k2?1，?到
l:y?kx?m的距离d?m?1?11m?112m?2?k2?1，S????2??d?2?m?2m，所以 S2?3?4??3?2m?m2???，设f?m??3?212m?m2，2?m?2，则f??m???2m?m2?0，
所以f?m?在??1,2???2?上是减函数，所以面积S无最大值．学&科网
法二（面积坐标化公式）：易得向量?????????x,y?????11?1?，????x2,y2?1?，则有
S12x1?m?1?x1?x2?????1y2?x1?x2y1?x2?2x1?kx2?m??x2?kx1?m??x1?x2?2
??m?1?12m?2?m??S2?3??3?2?m2?14m4?m??，2?m?2
因
23?2??1??1?，?m2在?,2?上均为减函数，则?S2??3??m2?在?,2?上均为减函m4?m??2??2?数，所以面积S无最大值．
可得????的面积S的取值范围为?0,?81??． ?16?点评：（1）第二小问分为两个操作程序：①据对称性得到直线??斜率k与截距m之间的关系；②据位置关系构建直线??斜率k与截距m之间的不等关系．点关于直线对称的转化为对称轴为垂直平分线，法一进一步转化为等腰三角形，从而线段相等，利用两点距离公式进行坐标化，化简后得到交点坐标纵横坐标之和及弦??的斜率，故可以使用韦达定理整体代入．实际上所有使用韦达定理整体代入这个处理方式的标准是题意韦达定理化：①条件与目标均能化为交点坐标和与积的形式；②横坐标
交点在????纵坐标；法二则点差法处理弦中点问题．均可得到直线??的斜率k与截距直线上m之间的关系．构建不等式的方式：法一根据直线与椭圆的位置关系，利用判别式构
建参数m的不等式；法二根据点与椭圆的位置关系，利用中点在椭圆内构建参数m的的不等式；故直线与椭圆相交可与点在椭圆内等价转化；
（2）第三小问分成两个操作程序：①构建面积的函数关系；②求函数的值域．法一利用底与高表示三角形面积，三角形的底则为弦长，三角形高则为点线距离．法二利用三角形面积的坐标公式S?1x1y2?x2y1，不管哪种面积公式，均会出现交点坐标2之差，故从整道题全局来说，第二问使用韦达定理显得更流畅，时分比更高，所以要注意方法的选择与整合．关于分式型函数求最值，常见思路为：以分母为整体，分子常数化，往往化简为反比例函数、对勾函数及二次函数的复合函数，本题这个函数形式并不常见．特别要注意基本函数的和与差这种结构的函数，特殊情况可以直接判断单调性，这样可以避免导数过程．学&科网
变式与引申：若过点?的直线交椭圆于D，求四边形??D?的面积的取值范围．
x2y2例2、已知椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右两个焦点分别为F1,F2，离心率
ab2，短轴长为2. e?2（1）求椭圆的方程；
（2）点A为椭圆上的一动点（非长轴端点），AF2的延长线与椭圆交于B点， AO的延长线与椭圆交于C点，求?ABC面积的最大值. 【思路引导】
（1） 由题意得b?1，再由e?c22?,a?b2?c2a?2， c?1 ?标准方程为a2x2?y2?1；（2）①当AB的斜率不存在时，不妨取2?2??2??2?A??1,2??,B??1,?2??,C???1,?2?? ??????1?2?2?2； ②当AB的斜率存在时，设AB的方程为y?k?x?1?，联2y?k?x?1?立方程组{x2 ?
2?y?124k22k2?222222k?1x?4kx?2k?2?0x1?x2?2,x1?x2?2
2k?12k?1S?ABC????kkk2?1AB?22 ，又直线的距离 ?点C到kx?y?k?0d???2222k?1k?1k?12k直线AB的距离为2d??2k?111?k2?1?2k11S?ABC?AB?2d???22?2???22??2?ABC22?2k?1?k2?1442k2?12??
面积的最大值为2.
解析：（1） 由题意得2b?2，解得b?1，学&科网
化简得2k2?1x2?4k2x?2k2?2?0，
??4k22k2?2,x1?x2?2设A?x1,y1?,B?x2,y2?,x1?x2?2
2k?12k?1AB?x?x??1?k?????2122?4x1?x2? ???1?k?2??4k2?22k2?2?? ???2??4?22k?12k?1??????k2?1?222 2k?1点O到直线kx?y?k?0的距离
d??kk?12?kk?12学&科网
[来源:学科网]
因为O是线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为2d?2kk?12，
∴S?ABC11?k2?1?2k ?AB?2d???22?2??22?2k?1?k2?1k2k2?1?22??2k2?1?2? ?2 ?2211?442k2?1??2综上， ?ABC面积的最大值为2.学&科网
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离、弦长公式和三角形面积公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思
x2?y2?1；（2）利用分类与整合思想分当AB的斜率想建立方程组求得标准方程为2不存在与存在两种情况求解，在斜率存在时，由舍而不求法求得
4k2k2?1x1?x2?2,x1?x2?? AB?222，再求得点C到直线AB的距离为
2k?12k?12k ? 2d?2k?111?k2?1?2k11SΔABC?AB?2d???22?2???22??2ΔABC22?2k?1?k2?1442k2?12??面积的最大值为2.
例3、已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C 的轨迹方程；
（2）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值． 【思路引导】
（Ⅰ）设M?x,y?，由题意得
y?4y?4???2，化简可得曲线C的方程为x2?4y x?4x?4?x??4?； （Ⅱ）设Q?m.?1?，切线方程为y?1?k?x?m?，与抛物线方程联立互为x2?4kx?4?km?1??0，由于直线与抛物线相切可得??0，解得x?2k，可切点
?2k,k?，由
2，利用韦达定理，得到QD?QE，得到?QDE为直角三
角形，得出三角形面积的表达式，即可求解三角形的最小值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程的求解．
【点评】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，试题有一定的难度，
属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，表示出三角形的面积是解答问题的关键．
x2y21例4、已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的焦距为2,离心率e为.
2ab(Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)过点P?,1?作圆x2?y2??1??2?1的切线,切点分别为M、N,直线MN与x轴交于点2E,过点E作直线l交椭圆C于A、B两点,点E关于y轴的对称点为G,求ΔGAB面积的最大值. 【思路引导】
(Ⅰ)由椭圆的焦点为2，离心率e为
1，求出a,b，由此能求出椭圆的标准方程；(Ⅱ) 2221??1?5?由题意，得O、M 、P、n 四点共圆，该圆的方程为?x????y???，得
4216????1O的方程为x2?y2?，直线MN的方程为x?2y?1?0，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，
21则S?GAB?GEy1?y2?y1?y2，从而S?GAB最大， y1?y2就最大，可设直线l的
2x?my?1 ，得?3m2?4?y2?6my?9?0，由此利用根的判方程为x?my?1，由{x2y2??143别式、韦达定理、弦长公式，能求出?GAB的面积的最大值.
试题解析：(Ⅰ)由题意, 2c?2,解得c?1,由e?c1?,解得a?2; a2x2y2??1. 所以椭圆的标准方程为43
2又直线l与椭圆C交于不同的两点,则??0,即?6m??363m?4?0,m?R,
2??S?GAB1?GF?y1?y2?y1?y2?22?y1?y2?212m2?1, ?4y1y2?23m?441t?3t,
令t?m?1,则t?1,S?GAB12m2?112t???223m?43t?11?3?3,??令f?t??t?,则函数f?t?在???上单调递增, 3t??即当t?1时, f?t?在?1,???上单调递增,因此有f?t??f?1??所以S?GAB?3,当m?0时取等号. 学&科网 故?GAB面积的最大值为3.
【点评】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用函数单调法
4； 3?GAB面积的最大值的.
【扩展链接】
椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式：
x2y2（1）椭圆：设P为椭圆2?2?1?a?b?0?上一点，且?F1PF2??，则
abS?PF1F2?b2tan?2
x2y2（2）双曲线：设P为双曲线2?2?1?a,b?0?上一点，且?F1PF2??，则
abS?PF1F2?b2?1tan?2
【同步训练】
x2y221．已知椭圆C： 2?2?1（a?b?0）的短轴长为2，离心率为，直线l：
ab21??y?kx?m与椭圆C交于A， B两点，且线段AB的垂直平分线通过点?0,??.
2??（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当?AOB（O为坐标原点）面积取最大值时，求直线l的方程.
x2222?y2?1（2）y?【答案】（1） x?1或y??x?1或y??2222【思路引导】
e?（1）由已知可得{c2?,a22b?2,解出即可（2）设A?x1,y1?， B?x2,y2?，联立方程
1AB?d， AB?1?k2x1?x2 2a2?b2?c2y?kx?m,{x22?y2?1,写出韦达定理，由S?AOB??21?kS?AOB?2m4k2?2m2?2， ．求出表达式然后根据函数d?221?2k1?k14m?2m2， 0?m?2.求得面积最大值从而确定直线方程 2
12?1?1，当m2?时，取到等号. S?AOB?2??1??? ?22?2?2 则l: y??
2 2??1?2?当k?0时，因为线段AB的垂直平分线过点?0,??，
y1?y2?1?????2?2? ??1，化简整理得2k2?1?2m． 所以
x1?x2k?022k2?1?2m,由{2得0?m?2．学&科网 22k?1?m,又原点O到直线AB的距离为d?m1?k2．
【点评】先根据定义列出相关等式，求解方程即可，对于直线与椭圆的综合，要熟悉
2弦长公式， AB?1?kx1?x2，然后联立方程写出表达式，根据函数特征求出最
值从而确定参数的值得出结果.在做此类题型时计算一定要认真仔细.
2．已知抛物线E:y2?8x，圆M:?x?2??y2?4，点N为抛物线E上的动点， O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C. （1）求抛物线C的方程；
（2）点Q?x0,y0??x0?5?是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A,B两点.
求?QAB面积的最小值. 【答案】（Ⅰ）y2?4x;（Ⅱ）
225. 2【思路引导】
（Ⅰ）由题意可得，设中点坐标P?x，y?，表示出点N?2x，2y?，将其代入到抛物线方程中，即可得到抛物线C的方程；（Ⅱ）由题意可设切线方程为：
22?4x0k2??4y0?2x0y0?k?y0?4?0，由韦达定理，可得到的距离为半径，得到x0y??y?y0?k?x?x0?，进而得到切线与x轴的交点为?x0?0，0?，由圆心到切线方程
k????S?PAB的函数关系式，利用函数的单调性可求出面积最小值.
试题解析：（Ⅰ）设P?x，y?，则点N?2x，2y?在抛物线y2?8x上，学&科网
22x0y0?4y0y0?4则k1?k2?， ，k·k?1222x0?4x0x0?4x0∴S?QAB1?222?y0??y0?x012k1?k2y0?y0?2 ?x0????x0??·k1??k2?2k1k2x0?1??x?1??20?2?x0?1??1x0?1??1?2??x0?1???2?.
x0?1??1t记t?x0?1??4，???，则f?t??t??2，
1t2?1∵f??t??1?2?2?0，
tt∴f?t?在?4，???上单增，∴f?t??4?∴?QAB面积的最小值为
1252525?2??，∴S?2?， 444225． 学&科网 2
【点评】本题主要考查以抛物线与圆的方程为载体，考查了抛物线的标准方程，考查了直线与圆相切问题，切线的性质，同时考查了利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强，正确利用已知条件转化成一元二次方程，再利用韦达定理即可求出面积的函数表达式，再利用函数的单调性即可求出最值.
x2y23．已知椭圆G:2?2?1(a?b?0)的长轴长为22，左焦点F??1,0?，若过点
abB??2b,0?的直线与椭圆交于M,N两点．
（1）求椭圆G的标准方程； （2）求证： ?MFB??NFB??； （3）求?FMN面积S的最大值．
x22?y2?1（2）见解析（3）【答案】（1） 24【思路引导】
（1）由椭圆几何意义得2a?22,2c?2，解得2b?2（2）即证： kMF?kNF?0，设M?x1,y1?,N?x2,y2?， MN直线方程为y?k?x?2?，即证2?x1?x2?2?0，
x?1x?1?1???联立直线方程与椭圆方程，代入化简即证（3）利用三角形面积公式得
11S?·FB·y1?y2，再利用MN直线方程得S?kx1?x2，利用弦长公式可得一元
22222181?2kk?13?1函数S ?，利用换元可化为一元二次函数： S??2????， 222?t4?81?2k????t?1?2k2，根据二次函数对称轴与定义区间位置关系可得最值
kMF?kNF??k?x1?2?k?x2?2?x?x2?2?y1y ?k?2?1?2 ????0
x1?1x2?1x1?1x2?1??x1?1??x?1????2218?1?2k?k11（3）S?· FB·y1?y2?kx1?x2 ?22222?1?2k??t2?3t?2?13?12??2令t?1?2k 则S?2???? 2t2?t4?8当k2?2112（满足k2?），所以S的最大值为 624【点评】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
x2y234．已知点A?0,?2?，椭圆E:2?2?1?a?b?0?的离心率为,F是椭圆的焦点，
ab223直线AF的斜率为,0为坐标原点.
3（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆E相交于P,Q两点，当?OPQ的面积最大时，求直线l的方程.
x277?y2?1；（2）l:y?【答案】（1）E:x?2,y??x?2. 422【思路引导】
（1）设出F，由直线AF的斜率为求得b，则椭圆方程可求；
（2）当l⊥x轴时，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx-2，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求得k的范围，再由弦长公式求得|PQ|，由点到直线的距离公式求得O到l的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k值，则直线方程可求．
23，求得c，结合离心率求得a，再由隐含条件3
5．在平面直角坐标系中， A??2,0?,B?2,0?,P?x,y?满足PA?PB?16，设点P的轨迹为C1，从C1上一点Q向圆C2:x2?y2?r2?r?0?作两条切线，切点分别为
????2????2M,N，且?MQN?60?.
（1）求点P的轨迹方程和r；
（2）当点Q在第一象限时，连接切点M,N，分别交x,y轴于点C,D，求?OCD面积最小时点Q的坐标.
【答案】（1）x2?y2?4， r?1；（2）【思路引导】
?2,2.
?????2????2（1）根据PA?PB?16，由两点坐标运算即可解得；
（2）写出切线QM,QN的方程，解得与x轴的交点C，与y轴的交点D的坐标，写出面积公式进而求解即可.
试题解析：（1）由题知 ?x?2??y2??x?2??y2?16，整理得x2?y2?4， ?点
22P的轨迹方程是x2?y2?4， ?在Rt?OMQ中，
?MQO?30?,OQ?2,?OM?2sin30??1，即圆C的半径r?1.
（2）设点Q?x0,y0?,M?x1,y1?,N?x2,y2??x0?0,y0?0?.
?QM,QN为圆C2:x2?y2?1的切线，
x2y226．如图，已知椭圆E： 2?2?1(a?b?0)的离心率为， A、B为椭圆的
ab2左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2， P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，且直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．
（Ⅰ）求证：直线BP与直线BQ的斜率乘积为定值； （Ⅱ）求三角形APQ的面积S的最大值．
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）【思路引导】
（Ⅰ）由椭圆的方程可得点P,A,B的坐标，利用两点式求直线斜率的方法可求出BP,BQ的斜率乘积为定值-1；（Ⅱ）当直线PQ的斜率存在时，
32. 932167?1?4??t?t2?， 0?t?t2?1， S?APQ?，当直线lPQ的斜率k不存
992?2?1883232在时， S?APQ????，故综合SΔAPQ的最大值为.
23399S?APQ?试题解析：