第九章 平面解析几何第2课时 直线的方程
考情分析 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系． 考点新知 ① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. ② 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
1. 把直线方程Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)化成斜截式为________________，化成截距式为________________．
ACxy
答案：y＝－x－ ＋＝1
BBCC
－－AB
解析：因为ABC≠0，即A≠0，B≠0，C≠0，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．斜截ACxy
式为y＝－x－，截距式为＋＝1.
BBCC
－－AB
2. (必修2P88习题13改编)过点(3，6)作直线l，使l在x轴，y轴上截距相等，则满足条
件的直线方程为__．
答案：x＋y－9＝0，y＝2x
xy36
解析：设该直线方程为＋＝1(a≠0)，则＋＝1，所以a ＝9，则该直线方程为x＋y－9
aaab＝0；又若过原点，则该直线方程为y＝2x.
3. 下列四个命题：
① 过点P(1，－2)的直线可设为y＋2＝k(x－1)；
xy
② 若直线在两轴上的截距相等，则其方程可设为＋＝1(a≠0)；
aa1
③ 经过两点P(a，2)，Q(b，1)的直线的斜率k＝；
a－b④ 如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第二象限． 其中正确的是_____________．(填序号) 答案：④
3
4. (必修2P82第1题改编)已知直线l过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为
4________．
答案：3x＋4y－14＝0
3
解析：由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.
4
5. 经过两点(－1，8)和(4，－2)的直线的两点式方程是____________________，截距式方程是__________________，一般式方程是____________________． y－8x－（－1）xy
答案：＝ ＋＝1 2x＋y－6＝0
－2－84－（－1）36
1. 直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 方程 y－y0＝k(x－x0) y－y1x－x1＝ y2－y1x2－x1xy＋＝1 abAx＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用 2. 过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程
(1) 若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1． (2) 若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1． (3) 若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0． (4) 若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0． 3. 线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则
x1＋x2x＝，2
y1＋y2y＝，2?????
此公式为线段P1P2的中点坐标公
式.
题型1 直线方程
例1 求经过点A(2，m)和B(n，3)的直线方程．
解：(解法1)利用直线的两点式方程．直线过点A(2，m)和B(n，3)．
① 当m＝3时，点A的坐标是A(2，3)，与点B(n，3)的纵坐标相等，则直线AB的方程是y＝3.
② 当n＝2时，点B的坐标是B(2，3)，与点A(2，m)的横坐标相等，则直线AB的方程是x
＝2.
y－y1x－x1y－mx－2
③ 当m≠3，n≠2时，由直线的两点式方程＝得＝.
y2－y1x2－x13－mn－2
(解法2)利用直线的点斜式方程．
① 当n＝2时，点A、B的横坐标相同，直线AB垂直于x轴，则直线AB的方程为x＝2. 3－m
② 当n≠2时，过点A，B的直线的斜率是k＝.又∵ 过点A(2，m)，∴ 由直线的点斜
n－23－m
式方程y－y1＝k(x－x1)，得过点A，B的直线的方程是y－m＝(x－2)．
n－2
变式训练
过点P(1，4)引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线的方程．
解：(解法1)设所求的直线方程为y－4＝k(x－1)．显见，上述直线在x轴、y轴上的截距44
分别为1－、4－k.由于1－>0且4－k>0可得，k<0.直线在两坐标轴上的截距之和为S＝
kk
?1－4?＋(4－k)＝5＋(－k)＋?－4?≥5＋4＝9，当且仅当－k＝－4，即k＝－2时，S有最小
?k??k?k????
值9.故所求直线方程为y－4＝－2(x－1)，即2x＋y－6＝0. xy
(解法2)设所求的直线方程为＋＝1(a>0，b>0)．
ab14
据题设有＋＝1，① 令S＝a＋b.②
ab
b4ab4a14?14?①×②，有S＝(a＋b)?＋?＝5＋＋≥5＋4＝9.当且仅当＝时，即2a＝b，且＋＝ababab?ab?1，也即a＝3，b＝6时，取等号．
xy
故所求的直线方程为＋＝1，即2x＋y－6＝0.
36
例2 求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． xy
解：①截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1.
a－a52
∵ l过A(5，2)，∴ ＋＝1.
a－a
∴ a＝3.∴ l的方程为x－y－3＝0. ②截距为0时，l的方程为2x－5y＝0.
综上①②可得直线l的方程是x－y－3＝0或2x－5y＝0. 备选变式（教师专享）
直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 解：解法1：(借助点斜式求解)
由于直线l在两轴上有截距，因此直线不与x、y轴垂直，斜率存在，且k≠0.设直线方程为y－2＝k(x－3)，
2
令x＝0，则y＝－3k＋2；令y＝0，则x＝3－. k22
由题设可得－3k＋2＝3－，解得k＝－1或k＝. k3
2
故l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)．
3即直线l的方程为x＋y－5＝0或2x－3y＝0. 解法2：(利用截距式求解)
由题设，设直线l在x、y轴的截距均为a. 若a＝0，则l过点(0，0)．又过点(3，2)， 2
∴l的方程为y＝x，即l：2x－3y＝0.
3xy
若a≠0，则设l为＋＝1.
aa
32
由l过点(3，2)，知＋＝1，故a＝5.
aa
∴l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0. 题型2 直线方程的形式
例3 求经过点A(－2，2)且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程．
xy
解：(解法1)设所求直线方程为＋＝1(a<0，b>0)，
ab
－222b1b2bb4∵ ＋＝1，∴ a＝.又a<0，∴ b>2.S△＝－ab＝－·＝ ＝(b＋2)＋
ab2－b222－bb－2b－24??＝?（b－2）＋＋4≥2b－2???
44
（b－2）·＋4＝8. 当且仅当b－2＝，即b＝4时S
b－2b－2
2
最小．此时a＝－4，b＝4，故x－y＋4＝0为所求直线方程．
1?2?(解法2)设所求直线方程为y－2＝k(x＋2)，显然k>0，由题意，S△＝|2k＋2|·?－－2? ＝
2?k?1
4＋2(k＋)≥8.当且仅当k＝1时取等号，
k
故x－y＋4＝0为所求直线方程． 备选变式（教师专享）
直线l过点M(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.点O是坐标原点． (1) 当△ABO的面积最小时，求直线l的方程； (2) 当|MA||MB|最小时，求直线l的方程．
1
解：(1) 如图，设|OA|＝a，|OB|＝b，△ABO的面积为S，则S＝ab，并且直线l的截距
2xy
式方程是＋＝1，
ab
21
由直线通过点(2，1)，得＋＝1，
aba1b所以＝＝. 21b－11－b
因为A点和B点在x轴、y轴的正半轴上，所以上式右端的分母b－1>0.由此得
abb－1＋11S＝×b＝×b＝＝b＋1＋ 2b－1b－1b－11＝b－1＋＋2≥2＋2＝4.
b－1
1xy
当且仅当b－1＝，即b＝2时，面积S取最小值4，这时a＝4，直线的方程为＋＝1.
b－142即直线l的方程为x＋2y－4＝0.
2
(2) 如上图，设∠BAO＝θ，则|MA|＝所以|MA||MB|＝
12
，|MB|＝， sinθcosθ
124
·＝， sinθcosθsin2θ
当θ＝45°时，|MA||MB|有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l的方程为x＋y－3＝0.
题型3 待定系数法求直线方程
例4 过点M(0，1)作一条直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M点平分．求此直线方程．
解：(解法1)由于过点M(0，1)且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为
??y＝kx＋1，7
y＝kx＋1，与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组??xA＝，
3k－1?x－3y＋10＝0???y＝kx＋1，7
??xB＝.
k＋2?2x＋y－8＝0?
∵ 点M平分线段AB，∴ xA＋xB＝2xM， 771
即有＋＝0，解得k＝－. 3k－1k＋24
故所求的直线方程为x＋4y－4＝0.
(解法2)设所求的直线与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，∵ 点B在直线l2：2x＋y－8＝0上，∴ 设B(t，8－2t)，由于M(0，1)是线段AB的中点，∴ 根据中点坐标公式得A(－t，2t－6)，
而A点在直线l1：x－3y＋10＝0上，∴ (－t)－3(2t－6)＋10＝0，解之得t＝4，∴ B(4，0)．
故所求直线方程为x＋4y－4＝0. 备选变式（教师专享）
已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
(1) 求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
(2) 过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程． (1) 证明：∵m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0，
??x－2y－3＝0，
∴由题意得?
?2x＋y＋4＝0，?
∴直线l恒过定点M(－1，－2).
(2) 解：设所求直线l1的方程为y＋2＝k(x＋1)，直线l1与x轴、y轴交于A、B两点，则
?2?A?－1，0?，B(0，k－2)． ?k?
2??－2＝－1，
k∵AB的中点为M，∴?解得k＝－2.
??－4＝k－2，∴所求直线l1的方程为2x＋y＋4＝0.
3
1. 已知直线的点斜式方程为y－1＝－(x－2)，则该直线另外三种特殊形式的方程为
4______________，______________，______________． 35y－1x－2 x y
答案：y＝－x＋ ＝ ＋＝1
423－2105
232
335
解析：将y－1＝－(x－2)移项、展开括号后合并，即得斜截式方程y＝－x＋.
4423?5?因为点(2，1)、?0，?均满足方程y－1＝－(x－2)，故它们为直线上的两点．由两点式方
4?2?y－1x－2y－1x－2
程得＝，即＝. 50－23－2－122
35510
由y＝－x＋知，直线在y轴上的截距b＝，又令y＝0，得x＝.故直线的截距式方程为
4223 x y ＋＝1. 10532
2. 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________________________________________________________________________． 11
答案：y＝－x＋
33
1
解析：将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得
3111
到的直线方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.
333
3. 直线l经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l的方程为
________．
答案：8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0
xy
解析：设所求直线l的方程为＋＝1，
ab－5－4
∵ 直线l过点P(－5，－4)，∴ ＋＝1，
ab1
即4a＋5b＝－ab.又由已知有|a||b|＝5，
2
??4a＋5b＝－ab，
即|ab|＝10，解方程组?
?|ab|＝10，?
5??a＝－，??a＝5，2得?或?
?b＝－2.???b＝4
xyxy
故所求直线l的方程为＋＝1或＋＝1.即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.
545－2－24. 若点P(1，1)为圆(x－3)＋y＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为________． 答案：2x－y－1＝0
1－0
解析：由题意得，×kMN＝－1，所以kMN＝2，故弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，
1－3即2x－y－1＝0.
5. 已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：
(1) △ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2) BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．
解：(1) 平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线．因为线段AB、AC中点坐标分别为1x＋
?7，1?，?－1，－2?，所以这条直线的方程为y＋2＝2，整理得一般式方程为6x－8y－13?2??2?1＋271????
＋22xy
＝0，截距式方程为－＝1.
131368
y＋4x－1
(2) 因为BC边上的中点为(2，3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即一
3＋42－1xy
般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.
11117
6. 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1) 若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程； (2) 若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1) 当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为零，
∴ a＝2，即方程为3x＋y＝0符合题意．当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， a－2∴ ＝a－2，即a＋1＝1， a＋1∴ a＝0，即方程为x＋y＋2＝0.
2
2
(2) (解法1)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
??－（a＋1）>0，??－（a＋1）＝0，?∴ 或? ?a－2≤0?a－2≤0.??
∴ a≤－1.综上可知a的取值范围是a≤－1.
(解法2)将l的方程化为(x＋y＋2)＋a(x－1)＝0(a∈R)．它表示过l1：x＋y＋2＝0与l2：x－1＝0交点(1，－3)的直线系(不包括x＝1)．由图象可知l的斜率－(a＋1)≥0，即a≤－1时，直线l不经过第二象限．
2
1. 直线x＋ay－a＝0(a>0，a是常数)，当此直线在x、y轴上的截距和最小时，a＝________． 答案：1
xy11
解析：方程可化为＋＝1，因为a>0，所以截距之和t＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1
a1aaa时取等号．
2. 已知直线l1的方向向量为a＝(1，3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)，若直线l2经过点(0，5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为________． 答案：x＋3y－15＝0
解析：∵ kl1＝3，kl2＝－k，l1⊥l2，
11
∴ k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.
33
3. 当过点P(1，2)的直线l被圆C：(x－2)＋(y－1)＝5截得的弦最短时，直线l的方程为________． 答案：x－y＋1＝0
解析：易知圆心C的坐标为(2，1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直线l2－1
垂直时，直线l被圆C截得的弦最短．由C(2，1)，P(1，2)可知直线PC的斜率为＝－1－21，设直线l的斜率为k，则k×(－1)＝－1，得k＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.
4. 不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点________． 答案：(－2，3)
解析：把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0，整理得 (x＋2)m－(x＋y－1)＝0，
???x＋2＝0，?x＝－2，?则得? ?x＋y－1＝0，??y＝3.?
2
2
5. 已知两点A(－1，2)、B(m，3)． (1) 求直线AB的方程；
3?
－1，3－1?，求直线AB的倾斜角α的取值范围． 3?
解：(1) 当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1， (2) 已知实数m∈?－
??
1
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．
m＋1π
(2) ①当m＝－1时，α＝；
2②当m≠－1时，m＋1∈?－??3?
，0?∪(0，3]， 3?
1?3?
∴k＝∈(－∞，－3]∪?，＋∞?，
m＋1?3?∴α∈?
?π，π?∪?π，2π?.
??3??62??2?
?π ，2π?.
3??6?
综合①②，直线AB的倾斜角α∈?
6. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0.
(1) 求证：直线l过定点；
(2) 若直线l交x轴负半轴于点A，交y正半轴于点B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．
(1) 证明：由已知得k(x＋2)＋(1－y)＝0， ∴无论k取何值，直线过定点(－2，1)． 1??(2) 解：令y＝0得A点坐标为?－2－，0?， k??令x＝0得B点坐标为(0，2k＋1)(k>0)，
1?1?∴S△AOB＝?－2－?|2k＋1|
k?2?1?1?1?1?＝?2＋?(2k＋1)＝?4k＋＋4?
k?k?2?2?1
≥(4＋4)＝4. 2
11
当且仅当4k＝，即k＝时取等号．
k2
1
即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0，即x－2y＋4＝0.
2
1. 求直线方程的方法主要有以下两种：
(1) 直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； (2) 待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程． 2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．
请使用课时训练（A）第2课时（见活页）.
[备课札记]