2013-2014学年浙江省嘉兴市嘉善一中等五校八年
级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2006?崇左）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A．2cm、2cm、4cm B． 2cm、6cm、3cm C． 8cm、6cm、3cm D． 11cm、4cm、6cm 2．（3分）（1999?南昌）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等腰三角形 3．（3分）下面的说法正确的是（ ） A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 直角三角形的高只有一条 B． 三角形的高至少有一条在三角形内 C． D．钝角三角形的三条高都在三角形外面 4．（3分）如图所示的不等式的解集是（ ）
B． a＜2 a≥2 a≤2 A．a＞2 C． D． 5．（3分）（2002?泸州）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（ ） 12 16 20 A．B． C． D． 16或20 6．（3分）如图，点D、E分别在AC、AB上，已知AB=AC，添加下列条件，不能说明△ABD≌△ACE的是（ ）
∠B=∠C ∠BDC=∠CEB AD=AE BD=CE A．B． C． D． 7．（3分）直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为（ ） 5 6 6.5 12 A．B． C． D． 8．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足
，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B． 直角三角形 C． 等腰直角三角形 D． 等边三角形 9．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为（ ）
16 14 20 18 A．B． C． D． 10．（3分）如图，直线m，n交于点B，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点c，使△ABC是等腰三角形，这样的C点有多少个？（ ）
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11．（3分）已知：△ABC中，∠A=100°，∠B﹣∠C=60°，则∠C= _________ ． 12．（3分）已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为 _________ cm时，这三条线段能组成一个直角三角形． 13．（3分）若x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，则a的取值范围是 _________ ． 14．（3分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，则∠DAE= _________ ．
15．（3分）如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB=5cm，则P到AC边的距离是 _________ m．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=75°，将纸片的一角对折，使点A落在△ABC内，若∠2=20°，则∠1= _________ °．
17．（3分）请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 _________ ． 18．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是AB边上的高，若AC=4，BC=3，则AB上的中线长为 _________ ，CD= _________ ．
19．（3分）（2009?朝阳）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC=2，则DE+DF= _________ ．
20．（3分）（2008?临沂）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn= _________ ．
三．解答题（本大题有6小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（6分）图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是2的直角三角形；在图2中画出一条长度等于的线段．
22．（6分）如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，试写出△ABC是等腰三角形的理由．
23．（6分）如图，已知AB⊥BD，ED⊥CD，C是BD上的一点，且AB=CD，∠1=∠2．
（1）△ABC和△CDE全等吗？请说明理由； （2）判断△ACE的形状？并说明理由．
24．（6分）如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．
25．（8分）（2006?常德）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度 （1）当t=2时，CD= _________ ，AD= _________ ；（请直接写出答案） （2）当△CBD是直角三角形时，t= _________ ；（请直接写出答案） （3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．
2013-2014学年浙江省嘉兴市嘉善一中等五校八年
级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2006?崇左）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A．2cm、2cm、4cm B． 2cm、6cm、3cm C． 8cm、6cm、3cm D． 11cm、4cm、6cm 考点： 三角形三边关系． 分析： 利用三角形三边关系判断即可，两边之和＞第三边＞两边之差． 解答： 解：A、2+2=4，故不选； B、2+3=5＜6，故不选； C、3+6=9＞8＞6﹣3=3，符合条件． D、4+6=10＜11，故不选． 综上，故选C． 点评： 利用三边关系判断时，常用两个较小边的和与较大的边比较大小． 两个较小边的和＞较大的边，则能组成三角形，否则，不可以． 2．（3分）（1999?南昌）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等腰三角形 考点： 三角形内角和定理． 专题： 压轴题． 分析： 根据比例，设三个内角为2k、3k、4k，再根据三角形的内角和定理求出最大角的度数． 解答： 解：根据题意，设∠A、∠B、∠C分别为2k、3k、4k， 则∠A+∠B+∠C=2k+3k+4k=180°， 解得k=20°， ∴4k=4×20°=80°＜90°， 所以这个三角形是锐角三角形． 故选A． 点评： 本题主要考查设“k”法的运用和三角形的内角和定理． 3．（3分）下面的说法正确的是（ ） A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 直角三角形的高只有一条 B． 三角形的高至少有一条在三角形内 C． D．钝角三角形的三条高都在三角形外面 考点： 三角形的角平分线、中线和高． 分析： 根据三角形的角平分线、中线、高的概念可知． 解答： 解：A、三角形的三条高不一定都在三角形的内部，错误； B、直角三角形有两条高就是两条直角边，错误； C、锐角三角形的三条高都在内部；直角三角形有两条是直角边，另一条高在内部；钝角三角形有两条在外部，一条在内部，正确； D、钝角三角形有两条高在外部，一条在内部，错误．
故选C． 点评： 理解三角形的中线、角平分线、高的概念．特别注意不同形状的三角形的位置不同． 4．（3分）如图所示的不等式的解集是（ ）
B． a＜2 A．a＞2 a≥2 C． a≤2 D． 考点： 在数轴上表示不等式的解集． 分析： 根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可． 解答： 解：∵数轴上2处是实心原点，且折线向左， ∴不等式的解集是a≤2． 故选D． 点评： 本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 5．（3分）（2002?泸州）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（ ） 12 16 20 A．B． C． D． 16或20 考点： 等腰三角形的性质． 专题： 分类讨论． 分析： 因为三角形的底边与腰没有明确，所以分两种情况讨论． 解答： 解：等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则第三边可能是4，也可能是8， （1）当4是底边时，4+4=8，不能构成三角形； （2）当8是底边时，不难验证，可以构成三角形，周长=8+4+4=20． 故选C． 点评： 本题主要考查分情况讨论的思想，利用三角形三边关系判断是否能构成三角形也是解好本题的关键． 6．（3分）如图，点D、E分别在AC、AB上，已知AB=AC，添加下列条件，不能说明△ABD≌△ACE的是（ ）
∠B=∠C ∠BDC=∠CEB AD=AE BD=CE A．B． C． D． 考点： 全等三角形的判定． 分析： 要使△ABD≌△ACE，则需对应边相等，夹角相等，可用两边夹一角，也可用两角夹一边判定全等． 解答： 解：已知条件中AB=AC，∠A为公共角， A中∠B=∠C，满足两角夹一边，可判定其全等，A正确； B中AD=AE两边夹一角，也能判定全等，B也正确； C中∠BDC=∠CEB，即∠ADB=∠AEC，又∠A为公共角，∴∠B=∠C，所以可得三角形全等，C对； D中两边及一角，但角并不是夹角，不能判定其全等，D错． 故选D． 点评： 本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，是正确解题的前提；做题时要按判定全
等的方法逐个验证． 7．（3分）直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为（ ） 5 6 6.5 12 A．B． C． D． 考点： 直角三角形斜边上的中线；勾股定理． 分析： 根据勾股定理列式求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 解答： 解：∵直角三角形两条直角边长分别是5和12， ∴斜边==13， ∴第三边上的中线长为×13=6.5． 故选C． 点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键． 8．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足 A．等腰三角形 B． 直角三角形 C． 等腰直角三角形 ，则△ABC的形状为（ ）
D． 等边三角形 考点： 勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；等腰直角三角形． 分析： 222首先根据题意可得满足，进而得到a+b=c，a=b，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形． 解答： 解：∵222， ∴c﹣a﹣b=0，a﹣b=0， 222解得：a+b=c，a=b， ∴△ABC的形状为等腰直角三角形； 故选C． 点评： 此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形就是直角三角形． 9．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为（ ）
222
16 A． 14 B． 20 C． 18 D． 考点： 线段垂直平分线的性质；勾股定理． 专题： 探究型． 分析： 先根据勾股定理求出BC的长，再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD，即AD+CD=BC，再由AC=6即可求出答案． 解答： 解：∵△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6， ∴BC=
==8，
∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴AD+CD=BD+CD，即AD+CD=BC， ∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=6+8=14． 故选B． 点评： 本题考查的是勾股定理及线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线的性质求出AD+CD=BC是解答此题的关键． 10．（3分）如图，直线m，n交于点B，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点c，使△ABC是等腰三角形，这样的C点有多少个？（ ）
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 等腰三角形的判定． 分析： 线段AB可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分情况进行讨论． 解答： 解：分两种情况： ①当AB为腰长时，存在3个等腰三角形，如图， 其中AB=AC时，有1个；AB=BC时，有2个； ②当AB为底边时，有1个，如图． 所以△ABC是等腰三角形时，这样的C点有4个． 故选D． 点评： 本题考查了等腰三角形的判定，难度适中，运用数形结合及分类讨论是正确解答本题的关键． 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11．（3分）已知：△ABC中，∠A=100°，∠B﹣∠C=60°，则∠C= 10° ． 考点： 三角形内角和定理． 专题： 证明题． 分析： 根据三角形的内角和等于180°求角C的度数． 解答： 解：在△ABC中，∠A=100°，∠B﹣∠C=60°， 又∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=故答案是：10°． =10°．
点评： 本题主要考查三角形内角和定理；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件． 12．（3分）已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为 5或 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形． 考点： 勾股定理的逆定理． 分析： 本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即：由于“两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形． 解答： 解：当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长==5，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形； 当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长==，三角形的边长分别为3，，亦能构成三角形； 综合以上两种情况，第三边的长应为5或， 故答案为5或． 点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，解题时注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去． 13．（3分）若x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，则a的取值范围是 a＜3 ． 考点： 不等式的性质． 分析： 根据题意，知在不等式x＜y的两边同时乘以（a﹣3）后不等号改变方向，根据不等式的性质3，得出a﹣3＜0，解此不等式即可求解． 解答： 解：∵若x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y， ∴a﹣3＜0＜0， 解得a＜3． 故答案为a＜3． 点评： 本题考查了不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 14．（3分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，则∠DAE= 9° ．
考点： 三角形内角和定理． 分析： 由∠BAC=82°，∠C=40°，先求得∠B的度数；再利用AD是△ABC的高，求得∠BAD的度数；∠DAE=∠BAE﹣∠BAD；∠BAE=
BAC．问题可求．
解答： 解：∵∠BAC=82°，∠C=40°， ∴∠B=180°﹣82°﹣40°=58°， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE=BAC=41°， ∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°， 在△ABD中，∠BAD=90°﹣∠B=32°， ∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=41°﹣32°=9°． 点评： 本题综合考查求角的度数的问题，一般都是利用三角形的内角和180°去求解．规律有：若垂直，则有90°的角． 15．（3分）如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB=5cm，则P到AC边的距离是 5 m．
考点： 角平分线的性质． 分析： 由已知条件开始思考，结合角平分线的性质可得P到AC边的距离为5cm． 解答： 解：P到AC边的距离=PB=5cm． 故填5． 点评： 此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．本题基本简单，属于基础题． 16．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=75°，将纸片的一角对折，使点A落在△ABC内，若∠2=20°，则∠1= 40 °．
考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）． 分析： 由等腰三角形等边对等角的性质及三角形内角和定理求出∠A、∠C的大小，进而在△DEF中，得出∠DEF与∠EFD的和，再在四边形BCEF中，即可求出∠1的大小． 解答： 解：如图，∵AB=AC， ∴∠C=∠B=75°， ∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=30°=∠D． 在△DEF中，则∠DEF+∠EFD=150°， 在四边形BCEF中，∠B+∠C+∠CEF+∠EFB=360°， 即∠B+∠C+∠1+∠DEF+∠EFD+∠2=360°， 75°+75°+∠1+150°+20°=360°， ∠1=40°． 故答案为40．
点评： 本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形与四边形内角和定理，难度适中． 17．（3分）请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形 ． 考点： 命题与定理． 分析： 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 解答： 解：根据等角对等边知，“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 点评： 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 18．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是AB边上的高，若AC=4，BC=3，则AB上的中线长为 ，CD= ．
考点： 勾股定理；直角三角形斜边上的中线． 专题： 计算题． 分析： 直角三角形中根据勾股定理可以计算AB的长度，直角三角形中斜边的中线为斜边长的一半，且CD为AB边上的高，根据面积法AC×BC=AB×DC可以求解． 222解答： 解：直角△ABC中，AB=AC+BC， AC=4，BC=3，∴AB=∴AB的中线长为=， =5， △ABC的面积S=?AC?BC=?AB?CD CD==， ． 故答案为，点评： 本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了斜边中线长为斜边中线的一半的性质，本题中根据勾股定理计算斜边长是解题的关键． 19．（3分）（2009?朝阳）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC=2，则DE+DF= ．
考点： 解直角三角形；等边三角形的性质． 专题： 计算题． 分析： 根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．运用三角函数的定义求解． 解答： 解：设BD=x，则CD=2﹣x． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°． 由三角函数得， ED=x， ． x+=． 同理，DF=∴DE+DF=点评： 此题主要考查了学生运用等边三角形的性质及常用三角函数来解直角三角形的能力． 20．（3分）（2008?临沂）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n
n﹣2
个等腰直角三角形的面积Sn= 2 ．
考点： 等腰直角三角形． 专题： 压轴题；规律型． 分析： 本题要先根据已知的条件求出S1、S2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律，进而可得出Sn的表达式． 解答： ﹣1解：根据直角三角形的面积公式，得S1==2； 根据勾股定理，得：AB=，则S2=1=2； 1A1B=2，则S3=2， n﹣2依此类推，发现：Sn=2． 点评： 本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值． 三．解答题（本大题有6小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（6分）图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是2的直角三角形；在图2中画出一条长度等于的线段．
0
考点： 勾股定理． 专题： 作图题． 分析： （1）画两个直角边长都为2的直角三角形即可； （2）根据勾股定理，只需构造一个以2为直角边一个为3的直角边的直角三角形，斜边长度等于段． 解答： 解：（1）如图1所示： （2）如图2所示． 的线 点评： 此题综合考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质和正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识，此题难度不大． 22．（6分）如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，试写出△ABC是等腰三角形的理由．
考点： 等腰三角形的判定；平行线的性质． 专题： 推理填空题． 分析： 根据平行线的性质可得到∠EAD=∠B，∠DAC=∠C，再根据角平分线的定义可推出∠B=∠C，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形即可判定． 解答： 解：∵AD∥BC， ∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C， ∵∠EAD=∠DAC， ∴∠B=∠C， ∴△ABC是等腰三角形． 点评： 此题主要考查等腰三角形的判定与平行线的性质的综合运用． 23．（6分）如图，已知AB⊥BD，ED⊥CD，C是BD上的一点，且AB=CD，∠1=∠2． （1）△ABC和△CDE全等吗？请说明理由；
（2）判断△ACE的形状？并说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 分析： （1）由垂直得直角：∠B=∠D=90°，由“等角对等边”证得AC=EC；然后根据全等三角形的判定定理HL证得结论； （2）由（1）中的全等三角形的对应角相等和余角的定义得到：∠ACB=∠DEC、∠ACE=90°；又AC=EC，所以△ACE是等腰直角三角形． 解答： 解：（1）∵∠1=∠2， ∴AC=CE． ∵AB⊥BD，ED⊥CD， ∴∠B=∠D=90°． 在Rt△ABC和Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△CDE （HL）； （2）∵Rt△ABC≌Rt△CDE， ∴∠ACB=∠DEC． 又∵∠D=90°， ∴∠DEC+∠ECD=90°， ∴∠ACB+∠ECD=90°， ∴∠ACE=90°． 又∵AC=EC ∴△ACE是等腰直角三角形． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 24．（6分）如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．
考点： 勾股定理；勾股定理的逆定理． 分析： 连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积． 解答： 解：连接AC， ∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3， 22222∴AC=AD+CD=4+3=25， 又∵AC＞0， ∴AC=5， 又∵BC=12，AB=13，
∴AC+BC=5+12=169， 2又∵AB=169， 222∴AC+BC=AB， ∴∠ACB=90°， ∴S四边形ABCD=S△ABC﹣S△ADC=30﹣6=24m． 22222 点评： 此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键． 25．（8分）（2006?常德）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理． 专题： 探究型． 分析： 根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ；设PA=3a，PB=4a，PC=5a，由已知可判定△PBQ为正三角形从而可得到PQ=4a，再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形． 解答： 解：（1）猜想：AP=CQ， 证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°， ∴∠ABP=∠QBC． 又AB=BC，BP=BQ， ∴△ABP≌△CBQ， ∴AP=CQ； （2）由PA：PB：PC=3：4：5， 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a， 连接PQ，在△PBQ中 由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°， ∴△PBQ为正三角形． ∴PQ=4a． 于是在△PQC中 ∵PQ+QC=16a+9a=25a=PC ∴△PQC是直角三角形． 222222
点评： 此题考查学生对等边三角形的性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用． 26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度 （1）当t=2时，CD= 2 ，AD= 8 ；（请直接写出答案） （2）当△CBD是直角三角形时，t= 3.6或10秒 ；（请直接写出答案） （3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．
考点： 勾股定理；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理． 分析： （1）根据CD=速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC﹣CD代入数据进行计算即可得解； （2）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解； （3）分①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=BE，从而得到CD=AD；②CD=BC时，CD=6；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答． 解答： 解：（1）t=2时，CD=2×1=2， ∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6， ∴AC===10， AD=AC﹣CD=10﹣2=8； （2）①∠CDB=90°时，S△ABC=AC?BD=AC?BC， 即×10?BD=×8×6， 解得BD=4.8， ∴CD===3.6， t=3.6÷1=3.6秒； ②∠CBD=90°时，点D和点A重合， t=10÷1=10秒， 综上所述，t=3.6或10秒； 故答案为：（1）2，8；（2）3.6或10秒；
（3）①CD=BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E， 则CE=BE， ∴CD=AD=AC=×10=5， t=5÷1=5； ②CD=BC时，CD=6，t=6÷1=6； ③BD=BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F， 则CF=3.6， CD=2CF=3.6×2=7.2， ∴t=7.2÷1=7.2， 综上所述，t=5秒或6秒或7.2秒时，△CBD是等腰三角形． 点评： 本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，（2）（3）难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．