辽宁省沈阳铁路实验中学2012届高三上学期第三次月考试题（数学理）
注意：客观选择题用2B铅笔按题号顺序涂卡，主观试题及多选题答在答题纸上，答在其他位置一律无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．设集合A??1,2?,则满足A?B??1,2,3?的集合B的个数是（ ）
A．1
2B．3 C．4 D．8
2．若复数(a?i)对应点在y轴负半轴上，则实数a的值是( )
A. ?1 B. 1 C. ?2 D.
122
a9?a10a7?a83．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1,a3,2a2成等差，则
=（ ）
A．1??2 B．1?2 C．3?22 D．3?22
4．若?2(sinx?acosx)dx?2，则实数a等于（ ）
0 A．?1 B．1
2C．?3 *D．3 5．已知数列{an}的通项公式是an?n?kn?2,若对于n?N，都有an?1?an成立，则
实数k的取值范围是
（ ）
A．k?0 B．k??1 C．k??2 D．k??3
6.已知直线l、m,平面?、?，则下列命题中假命题是 ( ) A．若?//?，l??,则l//? B．若?//?，l??,则l??
C．若l//?，m??,则l//m D．若???，????l,m??,m?l,则m??
(?2?x?0)?kx?1,? 7．函数y??8?的图像如下
2sin(?x??),(0?x?)?3?图，则( ) A．k?12,??12,??
?6k? B．
12,??12yb
12,???3
?6C. k??2,??2,??8.已知抛物线y2?3 D．k??xa22,??2,??22
有相同的焦点F，点A是两曲
?2px(p?0)与双曲线??1(a?0,b?0)线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ）. A．
5?12 B．2?1 C．3?1 D．
22?12
9.若点O和点F分别为椭圆
x24?y23?1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则
OP?FP的最大值为( ) A．2 B．3 C．6
D．8
10.设2a是1?b和1?b的等比中项，则6a?4b的最大值为（ ） A.10
2 B.7 C.5 D.410
11.点P是曲线x?y?lnx?0上的任意一点，则点P到直线y?x?2的最小距离为（ ）
A. 1 B.
32 C.
52 D. 2
12．已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA?平面ABC，AB?BC，SA?AB?1，
BC?2，则球O的表面积等于（ ）
A.4? B.3? C.2? D.?
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
2)时，不等式x?mx?4?0恒成立，则m的取值范围是_ _。13．当x?(1，
214．在锐角?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若
tanCtanAba?ab?6cosC，则
+
tanCtanB= ．
222215. 若圆x?y?4与圆x?y?2ay?6?0(a?0)的公共弦长为23，则
a=________.
?x?my?n?16．设直线l:x?my?n(n?0)过点A(4,43)，若可行域?3x?y?0，的外接园直径
?y?0?为1433，则实数n的值是______
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知?ABC的周长为4(2?1)，且sinB?sinC? （1）求边长a的值；
（2）若S?ABC?3sinA，求cosA的值．
18．如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱被平
O为AB面DEF所截而得． AB?2,BD?1,CE?3,AF?a，
2sinA．
的中点．
（1）当a?4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值； （2）当a为何值时，在棱DE上存在点P，使CP?平面
DEF？
19
．
已
知
斜
?三棱柱
ABC?A1B1C1,?BCA?90,AC?BC?2,
A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,
又BA1?AC1；
（1）求证：AC1?平面A1BC； （2）求C1到平面A1AB的距离； （3）求二面角A?A1B?C的余弦值；
20．已知等差数列{an}中，首项a1?1，公差d为 整数，且满足a1?3?a3，a2?5?a4，数列{bn}满足bn?1an?an?1，其前n项和为Sn.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）若S2为S1, Sm（m∈N*）的等比中项，求正整数m的值．
21．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x?3y?4上，对角线BD所在直线的斜率为1． 22（1）当直线BD过点(0，1)时，求直线AC的方程； （2）当?ABC?60?时，求菱形ABCD面积的最大值． 22．已知函数?(x)?a，x?1a为正常数．
（1）若f(x)?lnx??(x)，且a?92，求函数f(x)的单
调
增区间；（2）若g(x)?|lnx|??(x)，且对任意x1,x2?(0,2]，x1?x2， 都有
g(x2)?g(x1)x?1，求a 的取值范围．
2?x?1
参考答案
一、选择题 : 1.C 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8.B 9.C 10.C 11.D 12.A 二、填空题 : 13.m≤-5 14.4 15.1 16.3或5 三、解答题：
17．解 （1）根据正弦定理，sinB?sinC?2sinA可化为b?c?2a．
??a?b?c?4(2?1) 联立方程组?，解得a?4．
??b?c?2a （2）?S?ABC?3sinA，?12bcsinA?3sinA ?bc?6．
又由（1）可知，b?c?42， 由余弦定理得
∴cosA?b2?c2?a22bc?(b?c)?2bc?a2bc22?13
18．（1）分别取AB、DF的中点O、G，连接OC、OG．
以直线OB、OC、OG分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，AF?a?4，则D、E、F的坐标分别为D（1，0，1）、E（0，3，3）、F（-1，0，4），
∴DE=（-1，3，2），DF=（-2，0，3） 设平面DEF的法向量n?(x,y,z)，
??n?DE??x?3y?2z?0由?得
??n?DF??2x?3z?0x?32z,y??36z，可取n?(32,?36,1) …… 3分
平面ABC的法向量可以取m?(0,0,1)
∴cosm,n?m?nmn?94?1112?1?3010 …… 5分
∴平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为
3010． ……6分
（2）在（1）的坐标系中，AF?a，DE=（-1，3，2），DF=（-2，0，a-1）． 因P在DE上，设DP??DE，则
OP?OD?DP?(1,0,1)??(?1,3,2)?(1??,3?,2??1)
∴CP?OP?OC?(1??,3?,2??1)?(0,3,0)?(1??,3(??1),2??1) 于是CP?平面DEF的充要条件为
??CP?DE???1?3(??1)?2(2??1)?0 ???CP?DF??2(1??)?(a?1)(2??1)?0由此解得，??14,a?2
即当a=2时，在DE上存在靠近D的第一个四等分点P，使CP?平面DEF． ……12分
19．（1）∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D
∴平面A1ACC1⊥平面ABC∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC ∴BC⊥平面A1ACC1 ∴BC⊥AC1
∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B ∴AC1⊥平面A1BC ----------4分 （2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系 ∵AC1⊥平面A1BC ∴AC1⊥A1C
∴四边形A1ACC1是菱形 ∵D是AC中点 ∴∠A1AD=60∴A(2,0,0) A1(1,0,3) B(0,2,0) C1(-1,0,????3) ∴A1A=(1,0,????3) AB=(-2,2,0)
°
????x?3z设平面A1AB的法向量n=(x,y,z) ∴? 令z=1 ∴n=(3,??x?y3,1) ???????????C1A1?n221 ∴C1到平面A1AB的距离是∵C1A1=(2,0,0) ∴d???n72217 --------------8分
?（3）平面A1AB的法向量n=(3,
?????3,1) 平面A1BC的法向量AC1=(-3,0,3) ????????????AC1?n7∴cos?AC1,n??????????7AC1?n 设二面角A-A1B-C的平面角为?，?为锐角，
∴cos??77 ∴二面角A-A1B-C的余弦值为?a1?3?a1?2d,?a1?d?5?a1?3d,77 -------------------12
3252分20．解：（Ⅰ）由题意，得?解得
< d <
． …………………3分
又d∈Z，∴d = 2．∴an=1+(n－1)?2=2n－1． ………………6分 （Ⅱ）∵bn∴Sn∵S1?1an?an?11213[(1?13?1(2n?1)(2n?1)13?15)?????(m2m?1?1122n?1?1(1?12n?1)]?12)，
12n?1??)?(2n?12n?1(1?)?n2n?1．11分
?，S2?25，Sm2?，S2为S1,Sm?m?N?的等比中项，
∴S221m?2??SmS1，即????32m?1?5?， ………………14分
解得m=12． ………………………15分
21．解：（1）由题意得直线BD的方程为y?x?1．因为四边形ABCD为菱形，所以
AC?BD．
于是可设直线AC的方程为y??x?n． 由?x2??y??x?n?3y?4，得4x22?6nx?3n?4?0．
22因为A，C在椭圆上，所以???12n?64?0，解得?4(x2，y2)，则x设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，n2?x2?3n233?n?433． ，
1，xx?123n?442y1??x1?n，y2??x2?n．所以y1?y2?．所以AC的中点坐标为?3n，n?．
??4?4?n?在直线y?x?1上， 所以n由四边形ABCD为菱形可知，点?3n，??4?4?4?3n4?1，
解得n??2．所以直线AC的方程为y??x?2，即x?y?2?0．
?（2）因为四边形ABCD为菱形，且?ABC?60，所以AB?BC?CA．
所以菱形ABCD的面积S由
S?34(?2?32AC2．
222（
3?n1
??1???）
436?)?3可
n得
?．4 ??3?AC3?(x1?x2)?(y1?y2)??3n?1622，所以
所以当n?0时，菱形ABCD的面积取得最大值43． 22．解：⑴?函数f(x)的定义域为(0,??)，
1xa(x?1)2f'(x)?92??x?(2?a)x?1x(x?1)22，…2分
12∵a?，令f'(x)?0，得x?2，或x?1
∴函数f(x)的单调增区间为(0,)， (2,??)。 ………4
2分 ⑵∵
g(x2)?g(x1)x2?x1??1，∴
g(x2)?g(x1)x2?x1?1?0，
∴
g(x2)?x2?[g(x1)?x1]x2?x1?0， ………6
分
设h(x)?g(x)?x，依题意， h(x)在?0,2?上是减函数。 当1?x?2时， h(x)?lnx?ax?1?x，h'(x)?1x?a(x?1)2?1，
令h'(x)?0，得：a?2(x?1)x2?(x?1)?x?3x?221x?3对x?[1,2]恒成立，
设m(x)?x?3x?1x?3，则m'(x)?2x?3?1x21x2，
∵1?x?2，∴m'(x)?2x?3??0，
272∴m(x)在[1,2]上是增函数，则当x?2时，m(x)有最大值为∴a?272，
。 ………10
分
当0?x?1时， h(x)??lnx?a?x，h'(x)??1?a?1，
x?1x(x?1)21)2令h'(x)?0，得： a??(x?21x?(x?1)?x2?x?x?1，
设t(x)?x2?x?11x?1，则t'(x)?2x?1?x2?0，
∴t(x)在(0,1)上是增函数，∴t(x)?t(1)?0，
∴a?0， . 综上所述，a?272． …… 12分