专题讲座二：新概念型问题参考答案 对应训练 3．解：（1）如图； 根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA=AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形． 故填：等腰． （2）∵抛物线y=-x+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形， 2bb2∴该抛物线的顶点（,24∴b=2． bb2）满足?（b＞0）． 24 （3）存在． 如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形． 当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形， 又∵AO=AB， ∴△OAB为等边三角形． 作AE⊥OB，垂足为E， ∴AE=3OE． =b2∴43?b?（b′＞0）． 2∴b′=2∴A（∴C（-3． 3，3），B（23，0）． 3，-3），D（-23，0）． 2设过点O、C、D的抛物线为y=mx+nx，则 - 1 -
??12m?23n?0， ???3m?3n??3??m?1解得?． ??n?23故所求抛物线的表达式为y=x+223x． 8．（1）1；（2）12或34或3 4解：（1）存在另外 1 条相似线． 如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC； 故答案为：1； （2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=如图2所示，共有4条相似线： 14S△ABC，则相似比为1：2． BP1=BA2BP1②第2条l，此时P为斜边AB中点，l∥AC，∴=BA2①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴22； ； ③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且BP1=BC2AP1=AC2，∴BPBP3cos30?==BABC4； ④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且∴，∴APAP1?sin30??， ABAC4BP3=BA4． 故答案为：12或34或3． 410．解：（1）由题意，得|x|+|y|=1， 所有符合条件的点P组成的图形如图所示。 - 2 -
（2）∵d（M，Q）=|x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|， 又∵x可取一切实数，|x-2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为3． ∴点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3。 11．解：（1）点C（75,）是线段AB的“临近点”．理由是： 22∵点P到直线AB的距离小于1，A、B的纵坐标都是3， ∴AB∥x轴，3-1=2，3+1=4， ∴当纵坐标y在2＜y＜4范围内时，点是线段AB的“临近点”，点C的坐标是（75,）， 225＞2，且小于4， 275∵C（,）在直线y=x-1上， 2275∴点C（,）是线段AB的“临近点”． 22∴y= （2）由（1）知：线段AB的“临近点”的纵坐标的范围是2＜y＜4， 把y=2代入y=x-1得：x=3， 把y=4代入y=x-1得：x=5， ∴3＜x＜5， ∵点Q（m，n）是线段AB的“临近点”， ∴m的取值范围是3＜m＜5． 13．解：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC， ∵CD为等边三角形的高， ∴AD=BD，∠PCB=30°， ∴∠PBD=∠PBC=30°， ∴PD=33DB=AB， 36- 3 -
与已知PD=12AB矛盾，∴PB≠PC， ②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC， ③若PA=PB，由PD=∴∠APD=45°， 故∠APB=90°； 12AB，得PD=BD， 探究：解：∵BC=5，AB=3， ∴AC=BC2?AB278=52?32=4， 222①若PB=PC，设PA=x，则x+3=（4-x）， ∴x=78，即PA=， ②若PA=PC，则PA=2， ③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能． 故PA=2或78． 14．解：（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′， ∴S△AB′C′：S△ABC=（A?B?）=（3）=3，∠B=∠B′， AB22∵∠ANB=∠B′NM， ∴∠BMB′=∠BAB′=60°； 故答案为：3，60； （2）∵四边形 ABB′C′是矩形， ∴∠BAC′=90°． ∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°． 在 Rt△ABC 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°， ∴∠AB′B=30°， ∴n=AB?=2； AB（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形， ∴AC′∥BB′， 又∵∠BAC=36°， ∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°． ∴∠BB′A=∠BAC=36°，而∠B=∠B， - 4 -
∴△ABC∽△B′BA， ∴AB：BB′=CB：AB， ∴AB=CB?BB′=CB（BC+CB′）， 而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1， ∴AB=1（1+AB）， ∴AB=1?2252， ∵AB＞0， ∴n=B?C?5=1?BC2． 15．解：（1）当m=2，n=2时， 如题图1，线段BC与线段OA的距离等于平行线之间的距离，即为2； 当m=5，n=2时， B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长， 如答图1，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2， 在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB=AN2?BN2?12?22=5． （2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6： 当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2； 当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长， ON=m，AN=OA-ON=4-m，在Rt△ABN中，由勾股定理得： ∴d=22?(4?m)2=4?16?8m?m=?m2?8m?12． （3）①依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示： 由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成， 其周长为：2×8+2×π×2=16+4π， ∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π． - 5 -
②结论：存在． ∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限． ∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD． 如图4所示，相似三角形有三种情形： （I）△AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧． 如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA-OH1=2-m， 由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2-m）， ∴m=1； （II）△AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧． 如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2-OA=m-2， 由相似关系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m-2）， ∴m=3； （III）△AM3H3，此时点B落在⊙A上． 如图，OH3=m+2，AH3=OH3-OA=m-2， 过点B作BN⊥x轴于点N，则BN=M3H3=n，AN=m-4， 由相似关系可知，AH3=2M3H3，即m-2=2n （1） 在Rt△ABN中，由勾股定理得：2=（m-4）+n （2） 由（1）、（2）式解得：m1=22226，m=2， 52当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去， ∴m=26． 526． 5综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，m的取值为：1、3或
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