数学Ⅱ（附加题）
21A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点． 求证：AP?BC?AC?CP．
21B．已知矩阵M??
21C．已知圆C的极坐标方程是??4sin?，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立
O B P
A C （第21 - A题）
?2??1??3?2，计算M?． ,??????1??2??5??x???平面直角坐标系，直线l的参数方程是??y???正数m的值．
21D．（本小题满分10分，不等式选讲）
3t2．若直线l与圆C相切，求(t是参数）1t?m22已知不等式a?b?2c≤|x?1|对于满足条件a?b?c?1的任意实数a,b,c恒成立,
222求实数x的取值范围．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答．．．．．．．时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
22. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA?底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，
?ABC?60?，PA?6，M为PC的中点．
（1）求异面直线PB与MD所成的角的大小；
P （2）求平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值．
23．（本小题满分10分）
袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取
出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn．
（1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)； （2）求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．
M A D
B （第22题）
C
2015江苏高考压轴卷
数学答案
一、填空题
1.5 2..??1,0? 3.2 4.(1,2)?(2,??) 5.7.2 6. ①③ 7. 8. 10. ???,?提示：
1.z??2?i，则z??2?i，则z?2.B?xy?1 9.4 4???1181???(1,??) 11. ?0,?? 12.(?1,?)?(,1) 13.2047 14. ??1,0?
2344??(?2)2?(?1)2?5.
?2?x??x2?x?0???xx?2?，又A???1,0,,3?，所以A?B???1,0?.
?3. 当x??4时，?4?3，则x?7；当x?7时，7?3，x?4；当x?4时，4?3，
x?1；当x?1时，1?3不成立，则输出y?21?2.
?x?1?04.要使原式有意义，则?，即x?1且x?2.
?x?1?15.2出现10?0.4?4次，5出现10?0.2?2次，8出现10?0.4?4次，所以
s2?14?(2?5)2?2?(5?5)2?4?(5?5)2?7.2. 10??6. 逐个判断。由线面平行的性质定理知①正确；由面面平行的判定定理知直线m,n相交时才成立，所以②错误；由面面垂直的性质定理知③正确；④中，可以是n??，所以④错误，即正确命题是①③.
7.如图7，要使圆(x?3)?(y?5)?r上有且只有两个点到直线l:4x?3y?2的距离等于1，只须转化为圆与
222y m l n O Q 直线n相交，且与直线m相离，即CP?r?CQ，又圆心到直线l的距离为5，则4?r?6.
x P C 图7
8. 因为?b????,2?，函数f?x?的对称轴x??xb??1，且开口向上，所以命题P正确；2又由20?1解得x0?0，?x0?Z，比如x0??1，所以命题Q也正确，所以?P,?Q都是假命题，只有P??Q是真命题，由古典概型的概率计算公式可知取得真命题的概率是
1. 49.由图可知，f(x)为奇函数，则a?c?0，又f(1)?2，解得b?4，所以a?b?c?4. 10.f(x)?3x2?ax?2a2?(3x?2a)(x?a)，f'(x)?0得x??时，f(x)在(??,a)和??2a，x?a.当a?032??2??a,???上是增函数，在?a,?a?上是减函数.因为
3??3??f(0)?可.f??3?0，所以f(x)必过一、二、三象限，故只要f(x)极小值小于0即281?2?，同理，当a?0时，f(a)?0得a?1.综上，a的a??0的解为a??44?3??81????(1,??). 取值范围是??,??44???sinA?sinCsinBa?cb222??，利用正弦定理可得，所以a=b+c?bc，
b?ca?cb?ca?c?1s=，又A为△ABC的内角，所以A?由余弦定理得coA，所以
3211. 由
?2?1+cos?x+x?x?3?f(x)?cos2(?)?sin2(?)=23232令2k??x?2k????k?Z?，与??12.由
2???1?cosx???3???2???=?1cosx，
2??3?,??取交集得所求递增区间是?0,??. 22??bx?b11b?x?b??0的解集为(?1,?)?(,1)，得??0的解集为x?ax?c32?x?a?x?c11bx?b11(?1,?)?(,1)，即??0的解集为(?1,?)?(,1).
23x?ax?c23
213.因为n?n?1?an?an?1??nan?1????n?1?an?1???0，又an?0，所以an?n，
1当
log21??log2k?m?m?Z?k时，
k?2?m??1??,m2?0?，Z14m?0,?1,?2,?10，所以在区间[1，2014]内的所有奥运吉祥数之和为
2?2+2?0121?2112=?2047.
1?21014. 由题意可得f?x??ax对任意x???1,1?恒成立，当x???1,1?时，
2y??2?x2,?1?x?0?2?f?x???2?3x,0?x?，作出函数图象如图8，显然当a?0时，不满足
3?2?3x?2,?x?1?3?A(-1,1)-11O1x图8
题意；当a?0时，只要直线y?ax在x???1,0?上与线段OA重合或者在线段OA下方时，满足题意，所以?1?a?0.
二、解答题
15. 解析：（1）∵m?n.，∴m?n?0，则1?sin即1?sinC??sinC?cosC??0，（2分） 2 ?，
CCCCCC???in?0,1?2sincos?1?2sin2（?），（4分）又??0,?，∴s?222222?2?CC11?sin??，（5分）两边平方得1?sinC?， 2224故（?）可化简为cos∴sinC?3. 42222（2）又a?b?4?a?b??8得?a?2???b?2??0，∴a=2,b=2，（9分）
由（1）知cosCC17C????????sin???0，∴??,?，C??,??，cosC??，（1222242?42??2?222分）∴在△ABC中，由余弦定理可得c?a?b?2abcosC?4?4?2?2?2??????7?. ??4?
2015江苏高考压轴卷
数 学
一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知复数z的实部为?2，虚部为1，则z的模等于 . 2.已知集合A???1,0,,3?，集合B?xy??x?2，则A?B? . ?3.右图1是一个算法流程图，若输入x的值为?4，则输出y的值为 .
图2
(图1)
1?2x4.函数f(x)??的定义域为 .
log2(x?1)5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于 ．
6.设?,?是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若
n??,n||?,?③若???,???m,则n||m；②若m??,n??，m∥?,n∥?，则?∥?； ??m,n??,n?m，则n??；④若m??,???,m∥n，则n∥?.
其中正确的命题序号为
7.若圆(x?3)2?(y?5)2?r2上有且只有两个点到直线l:4x?3y?2的距离等于1，则半径r的取值范围是 .
28.已知命题P:?b?在c???,?1?上为减函数；命题,2x?bx?????,f??x?Q:?x0?Z，使得2x0?1.则在命题?P??Q，?P??Q，
P??Q，P??Q中任取一个命题，则取得真命题的概率是 bx?c(a,b,c?R)(a,b,c,d?R)，其图2x?ax?1象如图3所示，则a?b?c? .
a233210.函数f(x)?x?x?2ax?的图象经过四个象限，
229.若函数f(x)?则a的取值范围是 ．
11.在?ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
y 2 ?1 1 x ?2 图3
sinA?sinCsinB?，则函数
b?ca?cxx??3?f(x)?cos2(?A)?sin2(?A)在??,??上的单调递增区间是 .
22?22?12. “已知关于x的不等式ax?bx?c?0的解集为(1,2)，解关于x的不等式
2cx2?bx?a?0.”给出如下的一种解法：
1?1??1? ax2?bx?c?0的解集为(1,2)，得a???b???c?0的解集为(,1)，即关于解：由2?x??x? 1x 的不等式cx2?bx?a?0的解集为(,1). 2 2 参考上述解法：若关于x的不等式的不等式
bx?b11??0的解集为(?1,?)?(,1)，则关于xx?ax?c32bx?b??0的解集为 . x?ax?c13.2014年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列?an?满足
，则在区间[1，n?n?1?an2?an?1?0，定义使log2ak为整数的实数k为“青奥吉祥数”2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为________ 14.已知
?x2?2x,?f?x???x?,?3x?20，设集合
0A?yy?f?x?,?1?x?1??，
B??yy?ax,?1?x?1?，若对同一x的值，总有y1?y2，其中y1?A,y2?B，则实
数a的取值范围是
二、 解答题（本大题共6小题，共90分）
15.在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
m?(1?sinC,?1),n??1,sinC?cosC?，且m?n. 222（1）求sinC的值；（2）若a?b?4?a?b??8，求边c的长度.
16.如图4，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD?平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，
已知BD?2AD?8，AB?2DC?45．
（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD?平面PAD； （2）求四棱锥P?ABCD的体积．
P M C B
图4
D A
17.如图5，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB = y km，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB = AC ? 1，且∠ABC = 60o．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？
A
C D FEHGB
公 路 图5
x2y2318. 如图6，椭圆2?2?1(a?b?0)过点P(1,)，其左、右焦点分别为F1,F2，离心
ab21率e?，M,N是椭圆右准线上的两个动点，且F1M?F2N?0．
2（1）求椭圆的方程； （2）求MN的最小值；
（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．
N F1 O F2 M y x （图6）
19.已知函数f(x)?ax?x2?xlna(a?0,a?1). （1）求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （2）求函数f(x)的单调增区间；
（3）若存在x1,x2?[?1,1]，使得f(x1)?f(x2)?e?1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围．
n(an－a1)
20. 已知数列{an}中，a2=a(a为非零常数)，其前n项和Sn满足Sn=(n?N*)． 2（1）求数列{an}的通项公式；
12（2）若a=2，且am?Sn?11，求m、n的值；
4（3）是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列{an}中满足an?b?p的最大项恰为第
3p?2项？若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由．
?8?27，故c?7?1.
16. （1）证明：在△ABD中， 由于AD?4，BD?8，AB?45，
222所以AD?BD?AB．故AD?BD．
P M C B
又平面PAD?平面ABCD，平面PAD平面ABCD?AD，
A
D O BD?平面ABCD，所以BD?平面PAD，
又BD?平面MBD，故平面MBD?平面PAD． （2）过P作PO?AD交AD于O，
由于平面PAD?平面ABCD，所以PO?平面ABCD． 因此PO为四棱锥P?ABCD的高，
又△PAD是边长为4的等边三角形．因此PO?3?4?23． 2在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB?2DC，
所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为此即为梯形ABCD的高， 所以四边形ABCD的面积为S?故VP?ABCD?4?885， ?54525?4585??24． 251?24?23?163． 317. 解：（1）因为AB?y,AB?AC?1，所以AC?y?1. 在直角三角形BCF中，因为CF?x,?ABC?60， 所以?CBF?30,BC?2x. 由于2x?y?1?y，得x?
??1
. 2
在△ABC中，因为AC?AB?BC?2AB?BCcos60， ∴(y?1)2?y2?4x2?2xy．
222?14x2?1则y?．由y?0，及x?，得x?1．
2(x?1)2
4x2?1即y关于x的函数解析式为y?（x?1）．
2(x?1)12x2?3?3?4x． （2）M?3(2y?1)?4x?x?112(t?1)2?39?3?4(t?1)?16t??25≥49， 令x?1?t，则M?tt在t?3715，即x?，y?时，总造价M最低． 4427时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低． 4答：x?18. （1）e?c13?，且过点P(1,)， a229?1??a24b2?1,??x2y2?a?2,?1. ??a?2c, 解得??椭圆方程为?43??a2?b2?c2,?b?3,??（2）设点M(4,y1),N(4,y2),则F1M?(5,y1),F2N?(3,y2),
F1M?F2N?15?y1y2?0，?y1y2??15．
又
1515MN?y2?y1?－?y1?+y1≥215，
y1y1 ?MN的最小值为215．
（3）圆心C的坐标为(4,2y2?y1y1?y2r?. )，半径
22y1?y22(y2?y1)2)?圆C的方程为(x?4)?(y?， 24
整理得x2?y2?8x?(y1?y2)y?16?y1y2?0.
y1y2??15，?x2?y2?8x?(y1?y2)y?1?0，
令y?0，得x2?8x?1?0，?x?4?15. ?圆C过定点(4?15,0).
19. （1）因为函数f(x)?ax+x2?xlna(a?0,a?1)，
所以f?(x)?axlna+2x?lna，f?(0)?0，
又因为f(0)?1，所以函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?1． （2）由（1），f?(x)?axlna+2x?lna?2x+(ax?1)lna． 因为当a?0,a?1时，总有f?(x)在R上是增函数， 又f?(0)?0，所以不等式f?(x)?0的解集为(0,+?)， 故函数f(x)的单调增区间为(0,+?)．
（3）因为存在x1,x2?[?1,1]，使得f(x1)?f(x2)≥e?1成立，
而当x?[?1,1]时，f(x1)?f(x2)≤f(x)max?f(x)min， 所以只要f(x)max?f(x)min≥e?1即可．
又因为x，f?(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x f?(x) f(x) (??,0) 0 0 (0,+?) ? 减函数 + 增函数 极小值 所以f(x)在[?1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数， 所以当x?[?1,1]时，f?x?的最小值f?x?min?f?0??1，
f?x?的最大值f?x?max为f??1?和f?1?中的最大值．
1?2lna， a1121令g(a)?a??2lna(a?0)，因为g?(a)?1+2??(1?)2?0，
aaaa1所以g(a)?a??2lna在a??0,???上是增函数．
a因为f(1)?f(?1)?(a+1?lna)?(+1+lna)?a?而g(1)?0，故当a?1时，g?a??0，即f(1)?f(?1)； 当0?a?1时，g?a??0，即f(1)?f(?1)．
所以，当a?1时，f(1)?f(0)≥e?1，即a?lna≥e?1， 函数y?a?lna在a?(1,??)上是增函数，解得a≥e；
1a1?lna≥e?1， a11函数y??lna在a?(0,1)上是减函数，解得0?a≤．
ae1综上可知，所求a的取值范围为a?(0,][e,+?)．
e当0?a?1时，f(?1)?f(0)≥e?1，即20. 解：（1）由已知，得a1=S1=则有Sn+1=
1?(a1－a1)nan
=0，?S=n
22，
(n+1)an+1
，?2(Sn+1－Sn)=(n+1)an+1－nan， 2
即(n－1)an+1=nan，?nan+2=(n+1)an+1， 两式相加，得2an+1=an+2+an，n?N*， 即an+1－an+1=an+1－an，n?N*， 故数列{an}是等差数列． 又a1=0，a2=a，?an=(n－1)a．
（2）若a=2，则an=2(n－1)，?Sn=n(n?1)．
12由am?Sn?11，得n2?n+11=(m?1)2，即4(m?1)2－(2n?1)2=43， 4?(2m+2n?3)(2m－2n?1)=43．
∵43是质数，2m+2n?3>2m?2n?1，2m+2n?3>0，
?2m?2n?1?1,??解得m=12，n=11．
2m?2n?3?43,?（3）由an+b?p，得a(n－1)+b?p． p－b
若a<0，则n?a+1，不合题意，舍去； p－b
若a>0，则n?a+1．
∵不等式an+b?p成立的最大正整数解为3p－2， p－b
?3p－2?a+1<3p－1，
即2a－b<(3a－1)p?3a－b对任意正整数p都成立． 1
?3a－1=0，解得a=3，
22
此时，3－b<0?1－b，解得3 12 故存在实数a、b满足条件，a与b的取值范围是a=3，3 证明：因为PC为圆O的切线， 所以?PCA??CBP， 又?CPA??CPB， 故△CAP∽△BCP， 所以AC?AP， BCPC 即AP?BC?AC?CP． 21.B 解法一：矩阵M的特征多项式为f(?)???2?????1??2?4??3，令f(?)?0， ?1???????2?1??1?， ,??2?????1??1?解得??1,??3，对应的一个特征向量分别为?1?? 令??m?1?n?2，得m??1,n?4， M2??M2(??1?4?2)??(M2?1)?4M2(?2)?1??1??35???1?12???4?32?????． ??1??1??37??2??1??2??1??????????????3??35?2解法二：因为M????????， 所以M?????????5???37?． 1??21??2????????????????2 21.C 解：由??4sin?，得?2?4?sin?，所以x2?y2?4y?0， 即圆C方程为x2?(y?2)2?4. ?x???又由??y???3t2，消t得x?3y?3m?0，因为直线l与圆C相切，所以1t?m2|?23?3m|4343，又m?0，所以m?2?． ?2得m?2?233 21.D 解： 因为(a?b?2c)≤(1?1?2)(a?b?c)?4， 所以a?b?2c≤2， 22222 2又a?b?2c≤|x-1|对任意实数a,b,c恒成立, 故|x?1|≥(a?b?2c)max?2， 解得x≤?3或x≥3 ． 22. 解：（1）设AC与BD交于点O，以O为顶点，向量OC，OD为x，y轴，平行于AP且方向向上的向量为z轴建立直角坐标系． 则A(?1,0,0)，C(1,0,0)，B(0,?3,0)，D(0,3,0)，P(?1,0,6)， 所以M(0,0,66)，MD?(0,3,?)，PB?(1,?3,?6)， 22cos?MD,PA??MD?PAMDPA??3?333??1?3?62?0． 所以异面直线PB与MD所成的角为90?． （2）设平面PCD的法向量为n1?(x1,y1,z1)，平面PAD的法向量为n2?(x2,y2,z2)， 因为CD?(?1,3,0)，PD?(1,3,?6)，PA?(0,0,?6)， ??n1?CD??x1?3y1?0,由?令y1?1，得n1?(3,1,2)， ??n1?PD?x1?3y1?6z1?0,?n2?PA??6z2?0,?由?令y2??1，得n2?(3,?1,0)， ??n2?PD?x2?3y2?z2?0,所以cos?n1,n2??n1?n2303?16??，所以sin?n1,n2??． 6n1n266?2 23.解：（1）由题意可知X2?3，4，5． C1C1933当X2?3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P(X2?3)?1?1?； C8C86411C1C1353C55C4当X2?4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P(X2?4)?11?11?； C8C8C8C8641C155C4当X2?5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P(X2?5)?11?．?? C8C8163分 所以随机变量X2的概率分布如下表： 3 4 5 9355 P 166464（一个概率得一分 不列表不扣分） 9355267数学期望E(X2)?3??4??5??． 64641664（2）设P(Xn?3+k)?pk，k?0，1，2，3，4，5． 则p0+p1+p2+p3+p4+p5?1，E(Xn)?3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5． 3544536P(Xn+1?3)?p0，P(Xn+1?4)?p0+p1，P(Xn+1?5)?p1+p2，P(Xn+1?6)?p2+p3， 88888882718P(Xn+1?7)?p3+p4，P(Xn+1?8)?p4+p5， 8888X2 所以，E(Xn+1) 35445362718?3×p0+4×(p0+p1)+5×(p1+p2)+6×(p2+p3)+7×(p3+p4)+8×(p4+p5) 88888888888293643505764?p0+p1+p2+p3+p4+p5 8888887?(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5 87?E(Xn)+1． 87由此可知，E(Xn+1)?8?(E(Xn)?8)． 835357又E(X1)?8??，所以E(Xn)?8?()n?1． 888