高考数学压轴题预测
专题2 数列
1. 已知函数f(x)?x2?x?1，?,?是方程f(x)＝0的两个根(???)，f'(x)是f(x)的导数；设a1?1，an?1?an?f(an)(n＝1，2，??) f'(an) (1)求?,?的值；
(2)证明：对任意的正整数n，都有an＞a；
解析：(1)∵f(x)?x2?x?1，?,?是方程f(x)＝0的两个根(???)， ∴???1?5?1?5； ,??22 (2)f'(x)?2x?1，an?154115an(2an?1)?(2an?1)?a?an?144 ?an??an?22an?12an?12n5?15?111＝(2an?1)?时取等号)，?0(当且仅当a1??，∵a1?1，∴有基本不等式可知a2?2242an?12∴a2?2. 已知数列?an?的首项a1?2a?1（a是常数，且a??1），an?2an?1?n2?4n?2（n?2），数列
5?15?15?1，??，an??0同，样a3???(n＝1，2，??)，
222?bn?的首项b1?a，bn?an?n2（n?2）。
（1）证明：?bn?从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设Sn为数列?bn?的前n项和，且?Sn?是等比数列，求实数a的值； （3）当a>0时，求数列?an?的最小项。
分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由a的不同而要分类讨论。 解：（1）∵bn?an?n2
222∴bn?1?an?1?(n?1)?2an?(n?1)?4(n?1)?2?(n?1) 2 ?2an?2n?2bn(n≥2)
由a1?2a?1得a2?4a，b2?a2?4?4a?4， ∵a??1，∴ b2?0，
即{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列。
(4a?4)(2n?1?1)??3a?4?(2a?2)2n （2）Sn?a?2?1第1页（共8页）
Sn(2a?2)2n?3a?43a?4??2?当n≥2时， Sn?1(2a?2)2n?1?3a?4(a?1)2n?1?3a?4∵{Sn}是等比数列, ∴Sn(n≥2)是常数，
Sn?1∴3a+4=0，即a??4 。 3（3）由（1）知当n?2时，bn?(4a?4)2n?2?(a?1)2n，
?2a?1(n?1)所以an??， n2(a?1)2?n(n?2)?所以数列?an?为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，?? 显然最小项是前三项中的一项。 当a?(0,)时，最小项为8a-1； 当a?141时，最小项为4a或8a-1； 41142当a?(,)时，最小项为4a； 当a?1时，最小项为4a或2a+1； 212当a?(,??)时，最小项为2a+1。
点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。 考点二：求数列的通项与求和 3. 已知数列{an}中各项为：
12、1122、111222、??、11??????2 ?? ??????122??????????n个n个 （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n项之和Sn .
分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。 解：（1）an?1n2(10?1)?10n??(10n?1) 9910n?110n?11nn)?(?1) ?(10?1)?(10?2)?(339第2页（共8页）
10n?1记：A = , 则A=33??????3为整数 ?????3n? a
n= A (A+1) ， 得证
(2) ?an? Sn?12n1n210?10? 9991212(10?104????????102n)?(10?102???????10n)?n 999?1(102n?2?11?10n?1?198n?210) 891 点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。 4. 已知数列?an?满足a1?an?11(n?2,n?N)． ，an?n4??1?an?1?2（Ⅰ）求数列?an?的通项公式an； （Ⅱ）设bn?1an2，求数列?bn?的前n项和Sn；
（Ⅲ）设cn?ansin
(2n?1)?4，数列?cn?的前n项和为Tn．求证：对任意的n?N?，Tn?． 27分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。 解：（Ⅰ）?1211，??(?1)n??(?1)n?(?2)[?(?1)n?1]，
anan?1anan?1?11n?????1又??(?1)?3，?数列??是首项为3，公比为?2的等比数列． aa1?n?(?1)n?11nn?1 . ?(?1)?3(?2)， 即an?n?1an3?2?1n?12n?1n?1（Ⅱ）bn?(3?2?1)?9?4?6?2?1．
1?(1?4n)1?(1?2n)Sn?9??6??n?3?4n?6?2n?n?9．
1?41?2（Ⅲ）?sin(2n?1)??(?1)n?1， 2(?1)n?11?cn??．
3(?2)n?1?(?1)n3?2n?1?1第3页（共8页）
当n?3时，则Tn?1111 ?????3?13?2?13?22?13?2n?1?1112n?2[1?(1]2) 1?121111111???????473?223?233?2n?128?111111147484?[1?()n?2]?????． 2862286848474． 7?T1?T2?T3， ?对任意的n?N?，Tn? 点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列?an?的通项an，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，这将到下一考点要重点讲到。 考点三：数列与不等式的联系 5. 已知?为锐角，且tan??2?1，
函数f(x)?x2tan2??x?sin(2?? ⑴ 求函数f(x)的表达式； ⑵ 求证：an?1?an；
?4)，数列{an}的首项a1?1,an?1?f(an). 2分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。 解：⑴tan2??2tan?2(2?1)??1 又∵?为锐角 221?tan?1?(2?1) ∴2???4 ∴sin(2???4)?1 f(x)?x2?x
2?an ∵a1? ⑵ an?1?an1 ∴a2,a3,?an都大于0 22 ∴an?0 ∴an?1?an
点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。
?6. 已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1n?N
??（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）若数列?bn?满足4（Ⅲ）证明：
b1?14b2?14b3?1?4bn?1?(an?1)bn，证明：?bn?是等差数列；
1112??????n?N?? a2a3an?13分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。
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解：（1）?an?1?2an?1，?an?1?1?2(an?1) 故数列{an?1}是首项为2，公比为2的等比数列。
?an?1?2n，an?2n?1
（2）?4b1?14b2?14b3?1?4bn?1?(an?1)bn，?4(b1?b2???bn?n)?2nbn
2(b1?b2???bn)?2n?nbn①
2(b1?b2???bn?bn?1)?2(n?1)?(n?1)bn?1②
②—①得2bn?1?2?(n?1)bn?1?nbn，即nbn?2?(n?1)bn?1③
?(n?1)bn?1?2?nbn?2④
④—③得2nbn?1?nbn?nbn?1，即2bn?1?bn?bn?1 所以数列{bn}是等差数列 （3）?11111 ?n?1?n?1?an2?12?22an?1设S?11111111111，则S??????(????)??(S?)
a2a3an?1a22a2a3ana22an?1S?21212???? a2an?13an?13 点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的题要多探索，多角度的思考问题。
7. 已知函数f(x)?x?ln?1?x?,数列?an?满足0?a1?1,
11an?1?f?an?; 数列?bn?满足b1?,bn?1?(n?1)bn, n?N*.求证:
22（Ⅰ）0?an?1?an?1;
an2; （Ⅱ）an?1?2 （Ⅲ）若a1?
分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。
解：(Ⅰ)先用数学归纳法证明0?an?1,n?N*.
（1）当n=1时,由已知得结论成立;
（2）假设当n=k时,结论成立,即0?ak?1.则当n=k+1时,
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2,则当n≥2时,bn?an?n!. 2
因为0 又由0?an?1, 得an?1?an?an?ln?1?an??an??ln(1?an)?0,从而an?1?an. 综上可知0?an?1?an?1. x2x2(Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= ?ln(1?x)?x, 0 22x2?0,知g(x)在(0,1)上增函数. 由g?(x)?1?x又g(x)在?0,1?上连续,所以g(x)>g(0)=0. an2an2因为0?an?1,所以g?an??0,即?f?an?>0,从而an?1?. 22(Ⅲ) 因为 b1?所以bn?b11n?1 , ,bn?1?(n?1)bn,所以bn?0,n?1?bn222 bnbn?1b21???b1?n?n! ————① , bn?1bn?2b12 an2aaaaaaaaa,知:n?1?n, 所以n=2?3?n?12?n?1 , 由(Ⅱ)an?1?22an2a1a1a2an?122因为a1? 2, n≥2, 0?an?1?an?1. 2a1n2?a121a1a2an?1所以 an???a1 222222由①② 两式可知: bn?an?n!. 点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。 考点四：数列与函数、向量等的联系 8. 已知函数f(x)= 5?2x，设正项数列?an?满足a1=l，an?1?f?an?． 16?8x (1)写出a2、a3的值; (2)试比较an与 5的大小，并说明理由； 4n51n (3)设数列?bn?满足bn=－an，记Sn=?bi．证明：当n≥2时,Sn＜(2－1)． 44i?1第6页（共8页） 分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。 解：(1)an?1?5?2an73，因为a1?1,所以a2?,a3?. 16?8an84（2）因为an?0,an?1?0,所以16?8an?0,0?an?2. 5548(an?)an?55?2an54?3?4, an?1????416?8an432(2?an)22?an因为2?an?0,所以an?1?因为a1?55与an?同号， 44515555???0，a2??0,a3??0,?，an??0,即an?. 444444531531?an???(?an?1)???bn?1 422?an?1422?an?1（3）当n?2时，bn??31??bn?1?2bn?1， 22?54所以bn?2?bn?1?22?bn?2???2n?1b1?2n?3， 所以Sn?b1?b2???bn?11?1?????????42?2?3?n1(1?2n)1?4?(2n?1) 1?24 点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。 9. 在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中An(n,an),Bn(n,bn) Cn(n?1,0)，满足向量AnAn?1与向量BnCn共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的 线上a1?a,b1??a. （1）试用a与n表示an(n?2)； （2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。 分析：第（1）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数中求最小值的方式来解决。 ?an?1?an?n, 解：（1）AnAn?1?(1,an?1?an),BnCn?(?1,?bn),?AnAn?1与BnCn共线，又∵{Bn}在方向向量为（1，6）的直线上，?bn?1?bn?6,即bn?1?bn?6 n?1?n ?bn??a?6(n?1)an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?...?(an?an?1)?a?b1?b2?...?bn?1第7页（共8页） (n?1)(n?2)?6 2?a?a(n?1)?3(n?1)(n?2)?3n2?(9?a)n?6?2a(n?2)?a?(?a)(n?1)?（2）∵二次函数f(x)?3x?(a?9)x?6?2a是开口向上，对称轴为x?又因为在a6与a7两项中至少有一项是数列{an}的最小项， ∴对称轴x?2a?9的抛物线 6a?9111511a?915应该在[,]内，即??,?24?a?36 622262 点评：本题是向量、二次函数、不等式知识和交汇题，要解决好这类题是要有一定的数学素养的。 第8页（共8页）