江苏省2014届一轮复习数学试题选编10：三角函数的综合问题
姓名____________班级___________学号____________分数______________
填空题
1 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知锐角A,B满足tan(A?B)?2tanA,则tanB的
最大值是______.
【答案】
2
4
2 ．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）函数f(x)?(x?1)sinπx?1(?1?x?3)的所有零点之和为____.
【答案】4
3 ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知x,y均为正数,???????,?,?42?sin?cos?cos2?sin2?x10?且满足,,则的值为______. ??xyyx2y23(x2?y2)【答案】
3
4 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）函数
?log4x,x?0的图f(x)??cosx,x?0?象上关于原点O对称的点有______.对.
【答案】3
5 ．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）函数
y?cos2x?sin2x?2sinx?cosx,
???x??0,?的最大值为__________
?2?【答案】
2
6 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）每年的1月1日是元旦节,7月1日是建党节,而2013年
的春节是2月10日,因为2sin11?sin71?sin[(______)??30?]?sin2013?sin210?,新年将注定不平凡,请在括号内填写一个由月份和日期构成的正整数,使得等式成立,也正好组成我国另外一个重要节日.
【答案】101;
本题的一般结论是4sinx?sin600?x?sin600?x?sin3x,可以应用课本习题中结论
????sin(???)sin(???)?sin2??sin2?证得.
7 （．南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）在?ABC中, 若9cos2A?4cos2B?5,
BC则AC的值为 .
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2【答案】3
8 ．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）若
x,y满足
1ye2log2[4cos(xy)?]?lny??ln4cos2(xy)22, 则ycos4x的值为 .
2【答案】-1
9 ．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）给出下列四个命题,其中不正确命题的序号是
_____________.
①若cos??cos?,则????2k?,k?Z;②函数
y?2cos(2x???3的图象关于x=12对称;③函
)数y?cos(sinx)(x?R)为偶函数,④函数y?sin|x|是周期函数,且周期为2?.
【答案】1,2,4 解答题
10．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）已知向量m?(sinx,?1),n?(cosx,3)
(1)当m//n时,求
sinx?cosx的值;
3sinx?2cosx(2)设函数f(x)?(m?n)?m,求f(x)的单调增区间;
(3)已知在锐角?ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,3c?2asin(A?B),对于(2)中的函数
f(x),求f(B?【答案】
?8)的取值范围.
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11．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）如图,两座建筑物AB,CD的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9cm和15cm,从建筑物AB的顶
部A看建筑物CD的视角?CAD?45?. (1) 求BC的长度; (2) 在线段BC上取一点P(点P与点B,C不重合),从点P看这两座建筑物的视角分别为?APB??,?DPC??,问点P在何处时,???最小?
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D
A ? B P
?
第17题图
C
【答案】⑴作AE?CD,垂足为E,则CE?9,DE?6,设BC?x,
则tan?CAD?tan(?CAE+?DAE)?tan?CAE+tan?DAE
1?tan?CAE?tan?DAE96+xx?1,化简得x2?15x?54?0,解之得,x?18或x??3(舍) ?961??xx答:BC的长度为18m
⑵设BP?t,则CP?18?t(0?t?18),
915+162+6t6(27+t)tan(?+?)?t18?t?2?2
915?t+18t?135?t+18t?1351??t18?tt2+54t?27?2327+t设f(t)?2,f?(t)?2,令f?(t)?0,因为0?t?18,得t?156?27,当2(t?18t+135)?t+18t?135t?(0,156?27)时,f?(t)?0,f(t)是减函数;当t?(156?27,18) 时,f?(t)?0,f(t)是增函
数,
所以,当t?156?27时,f(t)取得最小值,即tan(?+?)取得最小值,
因为?t2+18t?135?0恒成立,所以f(t)?0,所以tan(?+?)?0,?+??(,?), 因为y?tanx在(,?)上是增函数,所以当t?156?27时,?+?取得最小值. 答:当BP为(156?27)m时,?+?取得最小值
12．（江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）已知复数
?2?2z1?cos??isin?,
22z2?cos??isin?, z1?z2?25,求:(1)求cos(???)的值; (2)若?????0????,且
5sin???5,求sin?的值. 13【答案】解:(1)∵z1?z2?(cos??cos?)?i(sin??sin?),z1?z2?25,
5第4页，共12页
4255?3. ,∴cos(α?β)=?(cos??cos?)2?(sin??sin?)2?5252?3(2)∵?????0????,∴0<α-β<π,由(1)得cos(α?β)=,
225∴sin(α?β)=
4512. 又sinβ=?,∴cosβ= . 51313∴sinα=sin[(α?β)+β]=sin(α?β)cosβ+cos(α?β)sinβ=4×12?3?(?5)?33.
1365513513．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知sin(A?πππ72,A?(,). )?42410(Ⅰ)求cosA的值; (Ⅱ)求函数f(x)?cos2x?5sinAsinx的值域. 2【答案】解:(Ⅰ)因为
ππππ3ππ72π2?A?,且sin(A?)?,所以?A??,cos(A?)??. 42244410410ππππππ)?]?cos(A?)cos?sin(A?)sin 444444因为cosA?cos[(A???3227223????.所以cosA?. 6
5102102545. 所以f(x)?cos2x?sinAsinx 52131?1?2sin2x?2sinx??2(sinx?)2?,x?R. 因为sinx??[1,,1所以,当sinx?2223时,f(x)取最大值;当sinx??1时,f(x)取最小值?3.
23所以函数f(x)的值域为[?3,]
2????????????????14．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）在三角形ABC中,已知2AB?AC?AB?AC,
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sinA?设∠CAB=α, (1)求角α的值;
?5?43,其中??(,),求cos?的值.
367????????????????????????????????【答案】解:(1)由2AB?AC?AB?AC,得2AB?ACcos??AB?AC
(2)若cos(?-?)=所以cos??1?,又因为0????为三角形ABC的内角,所以??, 23第5页，共12页
(2)由(1)知:sin???13,且????(0,),所以sin(???)?
272故cos??cos(?????)?cos(???)cos??sin(???)sin?
=4311333 ????72721415．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）某企业有两个生产车间分别在A、B两个位
置,A车间有100名员工,B车间有400名员工.现要在公路AC上找一点D,修一条公路BD,并在D处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐.已知A、B、C中任意两点间的距离均有1km,设
?BDC??,所有员工从车间到食堂步行的总路程为s. (1)写出s关于?的函数表达式,并指出?的取值范围; (2)问食堂D建在距离A多远时,可使总路程s最少
A D C 第17题图
B
【答案】解:(1)在?BCD中,?BDBCCD, ??sin600sin?sin(1200??)3sin(1200??)sin(1200??)2?BD?,CD?,则AD?1?
sin?sin?sin?3sin(1200??)cos??4?2?2s?400??100[1?]?50?503?,其中???
sin?sin?sin?33?sin??sin??(cos??4)cos?1?4cos??503?
sin2?sin2?11?2?) 令s'?0得cos??.记cos?0?,?0?(,44331当cos??时,s'?0,
41当cos??时,s'?0,
4(2)s'??503?所以s在(?3,?0)上,单调递减,
第6页，共12页
2?)上,单调递增, 31所以当???0,即cos??时,s取得最小值
4在(?0,31cos??sin?sin(1200??)152?1?2此时,sin??,AD?1?
sin?sin?4113cos?13415 ????????22sin?22152104答:当AD?15时,可使总路程s最少 ?21016．（2010年高考（江苏））某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m),如示意图,垂直放置的标杆BC高度
h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β
(1)该小组已经测得一组α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值
(2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为125m,问d为多少时,α-β最大 E
αβ DABd
【答案】(1)?tan??AEAEtan?AD31,tan??,??? ABADtan?AB3017．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）若实数x、y、m满足x?m?y?m,则称x比
y接近m.
(1)若x?1比3接近0,求x的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数a、b,证明:ab?ab比a?b接近2abab; (3)已知函数f(x)的定义域Dxx?k?,k?Z,x?R.任取x?D,f(x)等于1?sinx和1?sinx中接近0的那个值.写出函数f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论
不要求证明).
【答案】解:(1) x?(?2,2);
(2) 对任意两个不相等的正数a、b,有a2b?ab2?2abab,a3?b3?2abab, 因为|a2b?ab2?2abab|?|a3?b3?2abab|??(a?b)(a?b)2?0,
所以|a2b?ab2?2abab|?|a3?b3?2abab|,即ab?ab比a?b接近2abab;
第7页，共12页
2
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3
22233???1?sinx,x?(2k???,2k?)(3) f(x)???1?|sinx|,x?k?,k?Z,
1?sinx,x?(2k?,2k???)?f(x)是偶函数,f(x)是周期函数,最小正周期T??,函数f(x)的最小值为0,
??函数f(x)在区间[k??,k?)单调递增,在区间(k?,k??]单调递减,k?Z
22????????????????18．（2012年江苏理）在?ABC中,已知AB?AC?3BA?BC.
(1)求证:tanB?3tanA;
5，求A的值. 5????????????????cosA=3BA?BC?cosB,即AC?cosA=3BC?cosB. 【答案】解:(1)∵AB?AC?3BA?BC,∴AB?AC?(2)若cosC?ACBCcosB. ,∴sinB?cosA=3sinA?=sinBsinAsinBsinA cosB>0.∴又∵0
?5?525cosC?，0 1?tanA?tanB14tanA由 (1) ,得,解得. ??2tanA=1 tan，A=?231?3tanA∴tan?????A?B????2,即tan?A?B???2.∴∵cosA>0,∴tanA=1.∴A=?4. 19．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知 ?a?????π3sinx,sxi,nb??sinx,cosx?,设函数f(x)?a?b,x?[,π] 2?(Ⅰ)求函数f(x)的零点; (Ⅱ)求函数f(x)的最大值和最小值. 【答案】(Ⅰ)解:由题意: πf(x)?3sin2x?sinxcosx,x?[,π] 2令f(x)?0,得 sinx?(3sinx?cosx)?0, 所以sinx?0,或tanx??3 3由sinx?0,x?[,π],得x?? π2由tanx??π5?3,x?[,π],得x?. 263综上,函数f(x)的零点为 5?或? 6第8页，共12页 (Ⅱ)解:f?x??31??3? 1?cos2x?sin2x?sin2x??????223?2?因为x?[,π],所以2x?当2x?π2?3?[2π5π,] 33?3?2ππ,即x?时,f(x)的最大值为3; 32当2x?11ππ3π3?,即x?时,f(x)的最小值为?1? 1232220（．扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知向量m1?(sinx,?1),n?(3cosx,?), 2函数f(x)?m?m?n?2. (Ⅰ)求f(x)的最大值,并求取最大值时x的取值集合; (Ⅱ)已知a、b、c分别为?ABC内角A、B、C的对边,且a,b,c成等比数列,角B为锐角,且 2f(B)?1,求 11的值. ?tanAtanC【答案】解:(Ⅰ) f(x)?(m?n)?m?2?sin2x?1?3sinxcosx?1?2 2?1?cos2x3131??sin2x??sin2x?cos2x?sin(2x?) 222226故f(x)max?1,此时2x??6?2k???2,k?Z,得x?k???3,k?Z, ∴取最大值时x的取值集合为{x|x?k??(Ⅱ)f(B)?sin(2B??3,k?Z} ?6)?1,?0?B??2,???6?2B??6?5?, 6?2B??6??2,B??3 由b2?ac及正弦定理得sin2B?sinAsinC于是 11cosAcosCsinCcosA?cosCsinA ????tanAtanCsinAsinCsinAsinC?sin(A?C)123 ??2sinBsinB321．（2013江苏高考数学）本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径. 一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲.乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA?(1)求索道AB的长; 第9页，共12页 123,cosC?. 135(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? A B 【答案】本题主要考察利用正余弦定理解三角形.二次函数的最值.以及三角函数的基本关系.两角和的正弦等基础知识,考察数学阅读能力和分析解决实际问题的能力. C 123,cosC? 135?54（0，）∴A、C?∴sinA?,sinC? 2135解:(1)∵cosA???sin（A?C）（A?C）?sinAcosC?cosAsinC?∴sinB?sin???根据 63 65ABACAC?sinC?1040m 得AB?sinCsinBsinB222(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则d?(130t)?(100?50t)?2?130t?(100?50t)?∴d2?200(37t2?70t?50) 12 131040即0?t?8 1303535∴t?时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. 3737∵0?t?(3)由正弦定理 AC12605BCACsinA??500(m) ?得BC?6313sinBsinAsinB65乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V m/min,则 500710??3 v50∴?3?5007101250625??3∴?v? v504314∴为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在?法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D, 设BD=20k,则DC=25k,AD=48k, AB=52k,由AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. (2)设乙出发x分钟后到达点M, 此时甲到达N点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2), 第10页，共12页 ?1250625?范围内 ,??4314? 由余弦定理得:MN=AM+AN-2 AM·ANcosA=7400 x-14000 x+10000, 35 其中0≤x≤8,当x= (min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. 371260126 (3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时: = (min). 505 12614186 若甲等乙3分钟,则乙到C用时: +3= (min),在BC上用时: (min) . 555861250 此时乙的速度最小,且为:500÷ = m/min. 543 12611156 若乙等甲3分钟,则乙到C用时: -3= (min),在BC上用时: (min) . 55556625 此时乙的速度最大,且为:500÷ = m/min. 5141250625 故乙步行的速度应控制在[ , ]范围内. 4314 M B D C N A 2222 ??22．（2013江苏高考数学）本小题满分14分.已知a＝(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?),0??????. ????????(1)若|a?b|?2,求证:a?b;(2)设c?(0,1),若a?b?c,求?,?的值. 【答案】本题主要考查平面向量的加法.减法.数量积.三角函数基本关系式.诱导公式等基础知识,考查 运算能力与推理论证能力 解:(1)∵|a?b|?又 222222∵a?|a|?cos??sin??1,b?|b|?cos??sin??1∴2?2ab?2∴ab?0∴ 222 ∴|a?b|?2 即a?b?a?2ab?b?2, 2??222a?b ?cos??cos??0?cos???cos?(2)∵a?b?(cos??cos?,sin??sin?)?(0,1) ∴?即? sin??sin??1sin??1?sin???两边分别平方再相加得:1?2?2sin? ∴sin??∴??11 ∴sin?? ∵0?????? 2251?,??? 6623．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）如图:某污水处理厂要在一个矩 形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt?FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越短,铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB?20米,AD?103米,记?BHE??. 第11页，共12页 (Ⅰ)试将污水净化管道的长度L表示为?的函数,并写出定义域; (Ⅱ)若sin??cos??3?12,求此时管道的长度L; (Ⅲ)问:当?取何值时,铺设管道的成本最低?并求出此时管道的长度. 【答案】解:(Ⅰ)EH?1010cos?,FH?sin?,EF?10sin?cos? 由于BE?10?tan??103,AF?10tan??103, 33?tan??3,??[??6,3]. 所以L?10cos??10sin??10sin??cos? ,??[??6,3] (Ⅱ)sin??cos??3?12时,sin?cos??34,L?20(3?1); (Ⅲ)L?1010sin??cos?cos??10?1?sin??sin??cos?=10??,设sincos???cos??t, ?sin????则sin??cos??t2?1??2,由于??[6,3], 所以t?sin??cos??2sin(???)?[3?1,2] ,203?142L?t?1在[2,2]t?2时???4. L的最小值20(2?1)米 答:当???4时,所铺设管道的成本最低,此时管道的长度为20(2?1)米 第12页，共12页 ,于是当 内单调递减