高等数学典型题解——基础篇
第1章 函数的极限与连续
limx 例1．求
x?0x．
limxx解：当x?0时，x?0?x?lim?limx?0?x?0?1?1x，
limxx当x?0时，
x?0?x?lim1x?0??x?limx?0?(?1)??，
limx由极限定义可知，
x?0x不存在（如图）．
limsinmx例2．求x?0x（m是非零常数）． 解：令mx?u，显然当x?0时u?0，于是
limsinmx?limm?sinmxlimsinu?mx?0xx?0mx?mu?0u ．
例3．求lim(1?2xx??x)．
解：令t?x2，当x??时，有t??，
x原式
?xlim??(1?2)2?2x?limt??[(1?1t)t]2?[limt??(1?1t)t]2?e2
例4．求lim1?x2?1?xx?0x．
解：
2lim1?x?1?xx2?lim?x11x?0xx?0x(1?x2?1?x)?limx? x?0??1?x2?1?x2x?1例5．求limax?0x．
解：令ax?1?t，则x?loga(1?t)，x?0时t?0，于是
limax?1x?tt?x?0limt?0loga(1?t)?limt?0tlna lna
第2章 一元函数微分及其应用
1
高等数学典型题解——基础篇
3例1．讨论函数f(x)?2x在x?0处的可导性与连续性．
3解：f(x)?2x为初等函数，在其定义域
(??,??)上连续，
所以在x?0处连续．又
f?(0)?limf(0?h)?f(0)hh?0?lim23h?0hh?0
?2lim1h2
h?03???
在(0,0)点的切线斜率趋于无
f?(0)3不存在．所以函数f(x)?2x在
3x?0处连续，但不可导．事实上，曲线f(x)?2x穷大，在原点处具有垂直于x轴的切线x?0（如图）．
例2．求y?sinx的各阶导数． 解：
y??cosx?sin(x??2)，
?2]?sin(x?2?)?y???cos(x??2)?sin[(x??2)??2)，
?2)y????cos(x?2??2)?sin[(x?2??2?2]?sin(x?3?，
…….
y(n)?sin(x?n?(sinx)(n)?2)，
?2)所以：
?sin(x?n?．
4(x?1)例3．求的导数．
解：此函数直接求导比较复杂，先取对数再求导可简化运算．
y?x?2(3?x)5此函数的定义域为[?2,?1)?(?1,??)
当x??1时，y?0，函数式两边取对数得：
lny?12ln(x?2)?4ln(3?x)?5ln(x?1)
y?因此上式两边对x求导，得 yy??x?2(3?x)(x?1)54?112x?2?41x?3?51x?1
[12(x?2)?4x?3?整理后得，
当?2?x??1时可得同样结论．
例4．
lim1lnxx?1]x?1
5?1x?1．
2
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0解：这是“???”型，通分即可化为“0”型．
11?11x?1?lxnxlim??lim?limx?1lnxx?1x?1x?1x(?1)xlnx?1lnx?x
x?111?lim?lim?x?1xlnx?x?1x?1lnx?1?12．
例5．求内接于半径为R的球内的圆柱体的最大体积．
2解：设圆柱的底半径为r，高为h则体积v??rh，而
h222r?()?R2
故问题
v(h)??h(R?h/4)??(Rh?h/4)（0?h?2R2223），
转化为求函数v(h)的最大值．
v?(h)??(R?234由得驻点（负值不合题意
舍去）．
根据实际问题，圆柱体的体积不能超过球的体积，因而是有最大值的，而最
h)?02h?23R大值显然不能在端点h?0当
h?23R，h?2R处取得，故只在唯一驻点
h?2339R处取得．即．
，
r?63R时圆柱体的体积最大，最大体积
第3章 一元函数的积分学 （a?0）．
0?t?vmax?4?R3例1．
?1x?a22dx?2解：当x?a时，设x?asect(
?)，dx?asecttantdt代入有：
原式
?1(asect)?a22?asecttantdt．
为将变量t还原为x，借助如图的直角三角形（或利用三角恒等式）有
sect?xa，
2??sectdt?ln(sect?tant)?Ctant?sect?1?22x?aa22从而：x?a 当x??a时，令x??u，则u?a，由上，我们有：
?122dx?ln(x?x?a)?C．
?1x?a22dx???1u?a22du
22??ln(u?u?a)?C1??ln(?x?x?a)?C1
223
高等数学典型题解——基础篇
?ln(?x?x?a)?C．
221dx?lnx?x2?a2?C综合以上结论得，
?x2?a2．
sinx例2．求?1?sinx?cosxdx．
tanxsinx2?t??2t解：
1?sinx?cosxdx(t?1)(t2?1)dt
??(?1?1)dt??ln|1?t|?1ln|1?t2t?1?tt2?12|?arctant?c
?xxx2?ln|sin2?cos2|?c．
??1例3．讨论积分
?1xpdx的收敛性．
??1??解：当
p?1时，?1xdx?lnx1???，发散；当p?1时，
b???1b111?p?1b1?p?1)1xpdx?limb????1xpdx?blim???1?pxblim???11?p(；
??1?p1当p?1时，有limb?0b???，所以
?11xpdx?p?1，广义积分收敛；
??当
p?1时，有limb1?p??1b???，从而
?1xpdx是发散的．
例4．求曲线y2?x?0和x?y??2围成的图形的面积．
??y2?x?0解：由?x?y??2得交点(?1,?1)，(?4,2)
选x为积分变量，把面积分成两部分
A???1?4(x?(?x?2))dx??0?12?xdx?92．
另解：选y为积分变量，积分区间[?1,2]，
图3-14
A??222?1(?y?(?y?2))dy??2?1(?y?y?2)dy?(?13y3?12y2?2y)2?1?92．
显然选y为积分变量计算较简单．
例5．计算曲线x?arctant，y?12ln(1?t2)从t?0到t?1的弧长．
解：
s??1221t0(x?(t))?(y?(t))dt??0(121?t2)?(1?t)22dt
4
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??1011?t2dtt?tanu???40secudu?ln|secu?tanu|40
?ln(1?2)．
第4章 常微分方程
dy例1．求齐次方程dxdydx?x?yx?y的通解．
1??1?yxyyydd，则xudxd2解：原方程变形为
有：
x，设xdudx?u?u?xdy，代入方程dx?x?yx?yu?x?1?u1?u?xdudx?1?u1?u，
分离变量积分有：
?1?u1?u2du??x1dx?arctanu?12ln(1?u)?ln|x|?c12，
222arctanu?c222arctanu?c?x?y?e即：x(1?u)?e（这里c??2c1），
所以，原方程的通解为x?y?edy222arctanyx?c．
3例2．求解微分方程dx?dy2x?1?y?(x?1)2y?0．
解：对应齐次方程为：dxy?c(x?1)2x?1，分离变量后积分，可得其通解为：
；
dy2设y?c(x)(x?1)，代入方程dx2?2x?1y?(x?1)2x?13有：
2c?(x)(x?1)?2c(x)(x?1)?c(x)?y?[dy1212(x?1)?c22?c(x)(x?1)?(x?1)3
解得：c?(x)?x?1?，
2所以原方程的通解为：
(x?1)?c](x?1)．
例3．求微分方程dxx?xsinx?ydy?1x的通解．
，对应齐次方程为： 0，
cx解法一：原方程化为：dxy?sinxdydx?1xy?分离变量积分得对应齐次方程的通解为：
y?；
5
高等数学典型题解——基础篇
设
y?c(x)xdy，代入方程dx?1xy?sinx有：
?1c(x)??sinx2xxx
解得：c?(x)?xsin(x)?c(x)??xcosx?sinx?c，
x所以原方程的通解为：．
解法二：直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求解，有：
?P(x)dx?P(x)dx?xdx?xdx??y?(?Q(x)edx?c)?e?(?sinxedx?c)?e11c?(x)x?c(x)?1y??xcosx?sinx?c
?1x(?xcosx?sixn?c
)
例4．求的通解．
解：连续积分三次得：
y???y????xex?xedx?xx?xde?xe??edx?xe?e?c1xxxxx，
xxy???[(x?1)e?c1]dx?x?(x?1)de??c1dxx
?(x?1)e??edx?c1x
?(x?2)e?c1x?c2，
y?(x?3)e?x12c1x2?c2x?c3．
x2一般将通解写成：
y?(x?3)e?c1x?c2x?c3．
例5．求微分方程xy???y?的通解．
解：这是一个不显含y的二阶微分方程，令y??p(x)，则y???p?(x)，代入
dpdxx，
原方程得：xp??p，这是一个可分离变量方程，分离变量：p12?cc积分得：ln|p|?ln|x|?c?p??ex?y??c1x（这里c1??e），
所以原方程的通解为：
y??c1xdx?c1xc1x?c22，一般写成：y?c1x?c2．
2故原方程的通解为：．
第5章 空间解析几何 例?的值；（2）点B的坐标．
1．设点A(1,0,?1)，
????AB?10y?c2e????，AB00的方向角??60，??45，求：（1）
222解：（1）由cos??cos??cos??1有
cos??1?cos60cos???12???600220?cos2450?14，
所以
0或??120；
6
高等数学典型题解——基础篇
?x?1?10cos600?0?y?0?10cos45?x?6?z?1?10cos?B(x,y,z)（2）设，有?，y?52，z?4（或?6），
则B点的坐标为(6,52,4)或(6,52,?6)．
例2．证明三角形的三条高线交于一点.
???????????????????????????且令PA?a，PB?b，PC?c，有AB?b?a，BC?c?b，??????CA?a?c，
??????再由PA?BC，PB?CA有a?(c?b)?0，b?(a?c)?0，
???????????????两式相加有a?c?b?c?0?(a?b)?c?0?BA?PC?0，
证明：如图，设?ABC在边AC，BC上的高交于点P，
例3．平面过三个定点P(a,0,0)，Q(0,b,0)，R(0,0,c)（a，b，c均不为零），求该平面的方程．
解：如图，设所求平面方程为：Ax?By?Cz?D?0，由所求平面过三点
P(a,0,0)，Q(0,b,0)，R(0,0,c)从而有PC?AB，所以，?ABC的三条高线交于一点.
有：
A??DaDbDcAa?D?0??Bb?D?0??B??Cc?D?0??C??
，代入所设平面方程得：
x
?Dax?Dby?x?1Dc?z?D?0y?12?z?1?a?yb?zc?1．
例4．已知点P(2,1,3)和直线L：线L垂直相交的直线方程．
3，求过点P(2,1,3)并且与直
?z?1x?1解法一：过点P(2,1,3)且与直线L：
3?y?12垂直的平面方程为：
3(x?2)?2(y?1)?(z?3)?0，即3x?2y?z?5?0，
?x??1?3t??y?1?2t?再设直线L与此平面的交点为N(x,y,z)，则将直线?z??t代入上面的平面方
N(2133,,?)7773(?1?2t?2)?2(1?2t?1)?(?t?3)?0解得程得：
t?37，从而有交点，
????126246NP?{,?,}?{2,?1,4}7777所以．
?取所求直线的方向向量s?{2,?1,4}，则所求直线方程为
x?22?y?1?1?z?34．
7
高等数学典型题解——基础篇
解法二：设垂足为P0(x0,y0,z0)，其在直线L上对应的参数为t0，则：
?x0??1?3t0??y0?1?2t0?????z??t00?，PP0??3t0?3,2t0,?t0?3?，由
??????????PP0?s?PP0?s?0?3(3t0?3)?2(2t0)?(?1)(?t0?3)?0，
3????213312624t0?P0(,,?)P0P?{,?,?}777，所以 7777，从而有垂足解得
?取垂线的方向向量s?{2,?1,4}，则所求垂直相交的直
x?2276{?2,1,4}．
线方程为
．
从此例我们也顺便得到了点P到直线L的距离为：
?14?y?1?z?3|P0P|?(2?227)?(1?22137)?(3?(?237))?26721
例5．设圆柱面x?y?R上有一质点，它一方面绕z轴以等角速度?旋转，另一方面同时以等速度v0平行于z轴的正方向移动，开始时（t?0），质点在A(R,0,0)处，求质点运动的方程．
解：如图，设时间t时，质点在点M(x,y,z)，M?是M(x,y,z)在xoy平面上的投影，则?AOM?????t，
x?OM?cos??Rcos?ty?OM?sin??Rsin?tz?MM??v0t， ，
． 所以质点运动的方程为
?x?Rcos?t??y?Rsin?t?z?vt0? ．
此方程称为螺旋线的参数方程．
第7章 多元函数积分学
例1．计算
所围成的闭区域．
??xyd?D，其中D是由直线y?1，x?2及y?x解法一：如图，积分区域D可看成x?型区域，则
??Dxyd????21dx?xydy?1x?21[12xy]1dx422x
212?2211xx3(x?x)dx?(?)242?198
解法二：积分区域D亦可看成y?
型区域，则
1??Dxyd?＝?dy?xydx?1y2?21[12xy]dy?22y?221(4y?y)dy3
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高等数学典型题解——基础篇
＝12(2y?22x424)＝198
222??例2．计算De?x?y2d?，其中
D?(x,y)x?y?a,a?0可表示为
??
解：在极坐标系下，积分区域
D2D??(r,?)0???2?,0?r?a???e所以D?x?y22d????eD?rrdrd?
??2?0d??e0a?r2rdr?2??(?12ae?r2)0??(1?e?a2
例
3．求抛物面z?x?y22)
在平面z?1下面那部分的面积．
22??解：如图，?在xoy面上的投影区域为x?y?1，因为zx?2x，zy?2y，所以
S????Dxy1?fx?fydxdy22
1?4x?4ydxdy22??Dxy
d???2?0?101?4rrdr?2?622(55?1)
在第一象限的那段弧，
x例4．设曲线L为椭圆a求?L?yb22?1xyds．
y?2ba解：L的方程为
ds?1a4a?x2222（0?x?a）， ，
a?(a?b)xa?x224222a?(a?b)xa?x22dx1a?Lxyds??2a0xa0baa?x22dx
2?ba??4222xa?(a?b)xdx?ab(a?ab?b)3(a?b)22
例5．计算
xoy解：?在
??xyzdS，其中?z?x?y为曲面
222被
z?1割下的有限部分．
面上的投影区域
22Dxy?{(x,y)x?y?1}，
dS?1?zx?zydxdy?1?4x?4ydxdy2222，所以
???xyzdS???Dxyxy(x?y)1?4x?4ydxdy22
9
高等数学典型题解——基础篇
??4?2d?0?10sin?cos?r1551?4rdr22
?0?2?2sin2?d??r01?4rdr5
2?0?4?2d??sin?cos?r011?4rdr?1255?1420第8章 级数
?
例1．判断级数
lim?(ann?1212?bn?c)pp（a?0，p?0）的收敛性
?1/(an?bn?c)2p解：由于
?n??1/(an)?1，所以原级数与n?1?(an12)p具有相同的敛散
性，而
当当
?(ann?112)p?1a?p??nn?112p，可知
pp?12时，n?112?(an?n?112?bn?c)12收敛；
p0?p?时，
?(an??bn?c)发散．
例2．讨论级数n?1limun?1unn???(??)nsn（?,s?0）的敛散性．
s?lim??n?1解：
n??(n?1)(??)nnsn?nsn???，利用比值判别法
则 当0???1时，n?1??绝对收敛．
当??1时，n?1??(??)ns发散．
n?当??1时，n?1?(??)ns??n?1(?1)nsn?，
?n?1(?1)nsn???nn?11s是一个p级数
?当s?1时，绝对收敛．
?当0?s?1时，敛．
??n?1(?1)nsns是发散的，但利用莱布尼兹定理可判断n?1n?(?1)n收
所以n?1n为
绝对收敛级数 0???1
发散级数 ??1 绝对收敛级数 ??1，s?1 条件收敛级数 ??1，0?s?1
?(??)sn10
高等数学典型题解——基础篇
?s所以n?1n?(?1)n条件收敛．
?例3．求级数n?1R?lim?(?1)anan?1n?1xnn的收敛半径和收敛域．
(?1)?limn??n?11n1?1n??解：
?(?1)?nn?1(?1)?n?1；
1n收敛；
当x?1时，
?n?1(?1)?n?1xnnn?1?xn?n?1当x??1时，
??n?1(?1)xnn???n?11n发散；
所以，级数n?1?(?1)n?1n的收敛半径R?1，收敛域为(?1,1]．
??例4．求幂级数
?n?1nxn的和函数，并求级数
?n?1?n2n的和．
n?1解：可求得级数的收敛区间为(?1,1)；先求n?1??nx的和函数．
设
S1(x)??nxn?1n?1，则
?x0S1(x)dx???nx0n?1x?n?1dx????n?1?x0nxn?1dx??x?x???x???2nx1?x，
x?(?1,1)
?xS1(x)???1?x上式两边求导得
x?(?1,1)
?x1?S(x)?xS(x)??1?22(1?x) 所以(1?x)，?1?当
x?12?2n?1nn?S(1)?时，
12?212(1?)2
2例5．将x?3x?2展开成x?1的幂级数．
12解：x?3x?2?1x?1??1x?2n?121?n1x?121??131?n1x?13)n
??1?2?(?1)(nx?12?)?13n?0?3(?1)(nx?13n?0?n?0(?1)(12n?1)(x?1)n?1
11
高等数学典型题解——基础篇
x?1要使上式成立，应有
2?1x?1，
3?1即?1?x?3．
12