2011年山东省中考数学试题分类汇编之“圆”
一.选择题
1.（2011?泰安）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=
，则⊙O的半径为（ ）
A、
B、
C、 D、
考点：垂径定理；勾股定理。 专题：探究型。
分析：连接OA，设⊙O的半径为r，由于AB垂直平分半径OC，AB=再利用勾股定理即可得出结论．
解答：解：连接OA，设⊙O的半径为r， ∵AB垂直平分半径OC，AB=
，
则AD=
=
，OD=，
∴AD==，OD=，
在Rt△AOD中，
OA=OD+AD，即r=（）+（
2
2
2
2
2
），
2
解得r=故选A．
．
用心 爱心 专心
1
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
2.（2011?滨州）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切．若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（ ）
A、（﹣4，5） B、（﹣5，4） C、（5，﹣4） D、（4，﹣5）
考点：垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质。 专题：证明题。
分析：过点M作MD⊥AB于D，连接AM．设⊙M的半径为R，因为四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为（0，8），所以DA=AB=4，DM=8﹣R，AM=R，又因△ADM是直角三角形，利用勾股定理即可得到关于R的方程，解之即可．
解答：解：过点M作MD⊥AB于D，交OC于点E．连接AM，设⊙M的半径为R． ∵以边AB为弦的⊙M与x轴相切，AB∥OC， ∴DE⊥CO，
∴DE是⊙M直径的一部分；
∵四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为（0，8）， ∴OA=AB=CB=OC=8，DM=8﹣R； ∴AD=BD=4（垂径定理）； 在Rt△ADM中，
222
根据勾股定理可得AM=DM+AD， 222
∴R=（8﹣R）+4，∴R=5． ∴M（﹣4，5）． 故选D．
点评：本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理及正方形的性质．解题时，需仔细分析题意及图形，利用勾股定理来解决问题
3. （2011?临沂）如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：
用心 爱心 专心
2
5．则AB的长是（ ）
A、2cm C、4cm
B、3cm D、2
cm
考点：垂径定理；勾股定理。 专题：探究型。
分析：先连接OA，由CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M可知AB=2AM，再根据CD=5cm，OM：OD=3：5可求出OM的长，在Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM的长，进而可求出AB的长． 解答：解：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD， ∴AB=2AM， ∵CD=5cm，
∴OD=OA=CD=×5=cm， ∵OM：OD=3：5， ∴OM=OD=×=，
∴在Rt△AOM中，AM=∴AB=2AM=2×2=4cm． 故选C．
==2，
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4. 2011?日照）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为
用心 爱心 专心
的是（ ）
3
A、 B、
C、 D、
考点：三角形的内切圆与内心；解一元一次方程；正方形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质。 专题：计算题。
分析：连接OE、OD，根据AC、BC分别切圆O于E、D，得到∠OEC=∠ODC=∠C=90°，证出正方形OECD，设圆O的半径是r，证△ODB∽△AEO，得出
=
，代入即可求出r=
；设
圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，且AB于F，同样得到正方形OECD，根据a﹣x+b﹣x=c，求出x即可；设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，则△BCA∽△OFA得出代入求出y即可．
=
，
解答：解：C、连接OE、OD，
∵AC、BC分别切圆O于E、D， ∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°， ∵OE=OD，
∴四边形OECD是正方形， ∴OE=EC=CD=OD， 设圆O的半径是r，
∵OE∥BC，∴∠AOE=∠B， ∵∠AEO=∠ODB， ∴△ODB∽△AEO， ∴
=
，
=，
解得：r=，故本选项正确；
用心 爱心 专心 4
A、设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，且AB于F，如图（1）同样得到正方形OECD，AE=AF，BD=BF，则a﹣x+b﹣x=c，求出x=
，故本选项错误；
B、设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，如图（2），则△BCA∽△OFA，∴=，
∴=
，解得：y=
，故本选项错误；
D、求不出圆的半径等于，故本选项错误；
故选C．
点评：本题主要考查对正方形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键．
5. （2011?潍坊）如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为（ ）
A、17π B、32π C、49π D、80π 考点：圆与圆的位置关系。 专题：几何图形问题。
分析：由半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，即可求得空白处的圆的半径，即可求得阴影部分的面积．
解答：解：∵半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切， ∴OB=9，AB=2， ∴OA=7，
∴小圆扫过的阴影部分的面积为：81π﹣49π=32π． 故选B．
用心 爱心 专心 5
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意求得空白处的圆的半径是解此题的关键． 二.填空题
6.（2011?德州）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为 ． 考点：圆锥的计算。 专题：计算题。 分析：先计算出底面圆的周长，它等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，而母线长为扇形的半径，然后根据扇形的面积公式计算即可． 解答：解：∵圆锥的底面圆的半径为1， ∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π， ∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π． 故答案为：2π．
点评：本题考查了圆锥的侧面积公式：S=l?R．圆锥侧面展开图为扇形，底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长为扇形的半径.
7.（2011?泰安）如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为 ．
考点：切线的性质；圆周角定理。
分析：连接OA，则△PAO是直角三角形，根据圆周角定理即可求得∠POA的度数，进而根据直角三角形的性质求解．
解答：解：连接OA． ∴∠PAO=90°， ∵∠O=2∠B=64°，
用心 爱心 专心
6
∴∠P=90°﹣64°=26°． 故答案为：26°． 点评：本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确利用定理，作出辅助线求得∠POA的度数是解题的关键．
8. （2011·济宁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 . A
C B
第8题 考点：直线与圆的位置关系
分析：确定直线与圆的位置关系，需要知道圆心到直线的距离与半径之
间的关系. 解答：解：做CD⊥AB于点D,在直角三角形ABC中∠B=30°，∴CD= ∴⊙C与直线AB相交.
1AB=2＜3， 2
点评：本题考察了直线与圆的位置关系，关键是找出圆心到直线的距离与半径的关系. 9.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=4
D 2，则∠AED=____
A
O ? E B C __
（第9题图）
考点：垂径定理，勾股定理，三角函数.
分析：过圆心做OF⊥CD，创造直角三角形，求出OF的长度，然后在直角三角形OEF中利用三角函数求出∠OEF的度数，即∠AED的度数.
用心 爱心 专心
7
解答：解：做OF⊥CD,连接OD. ∵AE=5，BE=1，CD=42， ∴ OD=3，DF=22，OE=2 ∴OF=3?(22)=1, ∴∠OEF=30 ∴∠AED=30
点评：这是一道综合运用垂径定理，勾股定理，三角函数的题目，但运算量不大，题目比较简单.
10. （2011?日照）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是 ________ ．
0022
考点：根与系数的关系；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。 专题：开放型；数形结合。
分析：连接AD，BD，OD，由AB为直径与四边形DCFE是正方形，即可证得△ACD∽△DCB，
2
则可求得AC?BC=DC=1，又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB，根据根与系数的关系即可求得答案．注意此题答案不唯一．
解答：解：连接AD，BD，OD，
∵AB为直径， ∴∠ADB=90°，
∵四边形DCFE是正方形， ∴DC⊥AB，
∴∠ACD=∠DCB=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°， ∴∠A=∠CDB， ∴△ACD∽△DCB， ∴
，
又∵正方形CDEF的边长为1，
2
∵AC?BC=DC=1， ∵AC+BC=AB，
222
在Rt△OCD中，OC+CD=OD，
用心 爱心 专心
8
∴OD=，
∴AC+BC=AB=，
以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x﹣
2
x+1=0．
故答案为：此题答案不唯一，如：x﹣
2
x+1=0．
点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用． 三.计算题
11.. （2011?德州）●观察计算 当a=5，b=3时，
与
的大小关系是
＞
．
当a=4，b=4时，与的大小关系是=．
●探究证明
如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD⊥AB于D，设AD=a，BD=b． （1）分别用a，b表示线段OC，CD；
（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）． ●归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明，你能得出
与
的大小关系是：
．
●实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值． 考点：相似三角形的判定与性质；几何不等式；圆周角定理。 分析：●观察计算：分别代入计算即可得出●探究证明：
用心 爱心 专心
9
与的大小关系；
（1）由于OC是直径AB的一半，则OC易得．通过证明△ACD∽△CBD，可求CD； （2）分a=b，a≠b讨论可得出
与
的大小关系；
●实践应用：通过前面的结论长方形为正方形时，周长最小． 解答：解：●观察计算：＞
，
=
．（2分）
●探究证明：
（1）∵AB=AD+BD=2OC， ∴
（3分）
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD． ∴△ACD∽△CBD．（4分） ∴
．
即CD2
=AD?BD=ab， ∴
．（5分）
（2）当a=b时，OC=CD，=；
a≠b时，OC＞CD，＞．（6分）
●结论归纳：．（7分）
●实践应用
设长方形一边长为x米，则另一边长为米，≥．（9分）
当，即x=1（米）时，镜框周长最小．
用心 爱心 专心
设镜框周长为l米，则
10