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专题练习 (十三) 万有引力与航天
1．(2012·江苏高考)2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的( )
A．线速度大于地球的线速度 C．向心力仅由太阳的引力提供
B．向心加速度大于地球的向心加速度 D．向心力仅由地球的引力提供
2．(2012·浙江高考)如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
GMm
解析：各小行星距太阳远近不同，质量各异，太阳对小行星的引力F引＝2应不同，rGMm4π2
A错；地球绕日的轨道半径小于小行星绕日的轨道半径，由2＝m2r得T＝2π
rT
r3，GM
显然轨道半径r越大，绕日周期T也越大，地球绕日周期T地＝1年，所以小行星绕日周期GMmGM
大于1年，B错；由2＝ma，a＝2，可见，内侧小行星向心加速度大于外侧小行星向rrvGMm
心加速度，选项C正确；由2＝m，v＝
rr
1
2
GM，小行星轨道半径r小大于地球绕日轨r
道半径r地，则v地＞v小，选项D错．
答案：C
3．2012年10月25日，我国将第十六颗北斗卫星“北斗—G6”送入太空，并定点于地球静止轨道东经110.5°.由此，具有完全自主知识产权的北斗系统将首先具备为亚太地区提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务，并具短报文通信能力．其定位精度优于20 m，授时精度优于100 ns.关于这颗“北斗—G6”卫星以下说法正确的有( )
A．这颗卫星轨道平面与东经110.5°的经线平面重合 B．通过地面控制可以将这颗卫星定点于杭州正上方
C．这颗卫星的线速度大小比离地350 km高的“天宫一号”空间站线速度要大 D．这颗卫星的周期一定等于地球自转周期
解析：由题意知该卫星是一颗地球同步卫星，它的轨道平面与赤道平面重合，它的周期等于地球的自转周期，它离地高度大于350 km，它的线速度要比离地高度等于350 km的“天宫一号”空间站线速度要小，故只有选项D正确．
答案：D
4．(2012·重庆高考)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的( )
1
A．轨道半径约为卡戎的
7C．线速度大小约为卡戎的7倍
1
B．角速度大小约为卡戎的 7D．向心力大小约为卡戎的7倍
GMm
解析：设两星轨道半径分别为r1、r2，则2＝Mω2r1＝mω2 r2，r1∶r2＝m∶M＝1∶7，
L2π
选项A正确；由于双星周期相同，由ω＝知角速度相同，选项B错误；线速度v＝ωr，
T知v1∶v2＝1∶7，选项C错误；根据a＝ω2r知a1∶a2＝1∶7，选项D错误．
答案：A
5．已知某星球的平均密度是地球的n倍，半径是地球的k倍，地球的第一宇宙速度为v，则该星球的第一宇宙速度为( )
A.
nv k
B．nk kv D．nkv
C．knv
v243Mm4
解析： 由V＝πR，G2＝mg′可得g＝πGρR.而由mg′＝m可得v＝gR.综上有
3R3Rv∝Rρ，故该星球的第一宇宙速度为v′＝knv，选项C正确．
答案：C
6．(2011·新课标全国高考)卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送．如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于(可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105 km，运行周期为27天，地球半径约为6 400 km，无线电信号的传播速度为3×108 m/s)( )
2
A．0.1 s C．0.5 s
B．0.25 s D．1 s
323T22πrTMmGM同同同232? 得，r＝2T，则3＝2，即r同＝ 解析：由G2＝mr?r月；同步卫星的?T?r4πr月T月T2月
2?r同－r地?
周期T同＝1天，上式代入数据得，r同＝4.2×107 m；则t＝≈0.24 s，选项B正确．
c
答案：B
7．未发射的卫星放在地球赤道上随地球自转时的线速度为v1、加速度为a1；发射升空后在近地轨道上做匀速圆周运动时的线速度为v2、加速度为a2；实施变轨后，使其在同步卫星轨道上做匀速圆周运动，运动的线速度为v3、加速度为a3.则v1、v2、v3和a1、a2、a3的大小关系是( )
A．v2＞v3＞v1 a2＞a3＞a1 C．v2＞v3＝v1 a2＝a1＞a3
B．v3＞v2＞v1 a2＞a3＞a1 D．v2＞v3＞v1 a3＞a2＞a1
解析：卫星放在地球赤道上随地球自转时的角速度与同步卫星的角速度相等，v3＞v1；在近地轨道上做匀速圆周运动时的线速度为v2大于同步卫星运动的线速度v3，所以v2＞v3＞v1.由万有引力定律和牛顿运动定律可知，a2＞a3＞a1，所以选项A正确．
答案：A
8．(2011·广东高考)已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是( )
3GMT2A．卫星距地面的高度为 4π2B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度 Mm
C．卫星运行时受到的向心力大小为G2
R
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
MmMm
解析：卫星受到的万有引力提供向心力，大小为G选项C错误；由G＝2，?R＋h??R＋h?23GMT2v24π2Mmm2(R＋h)可得卫星距地面的高度h＝－R，选项A错误；由G＝m可T4π2?R＋h?2R＋h得卫星的运行速度v＝
GM，而第一宇宙速度v1＝ R＋h
GMMm
，选项B正确；由GR?R＋h?2GMGM
＝ma可得卫星的向心加速度a＝，而地球表面的重力加速度g＝，选项D正确．
R2?R＋h?2答案：BD
9．(2012·新课标全国高考)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
3
d
A．1－
RC.?
R－d?2
?R?
d
B．1＋ RRD．?R－d?2
??
解析：设位于矿井底部的小物体的质量为m，则地球对它的引力为半径为(R－d)的部分GM′m
“地球”对它的引力，地球的其他部分对它的引力为零，有mg′＝；对位于地球表
?R－d?2M′?R－d?3GMm
面的物体m有mg＝2，根据质量分布均匀的物体的质量和体积成正比可得＝，
RMR3g′d
由以上三式可得＝1－，选项A正确．
gR
答案：A
10．(2013·温州八校联考)随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想；假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点．已知月球的半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是( )
v0
A．月球表面的重力加速度为
t2v0R2
B．月球的质量为
GtC．宇航员在月球表面获得
v0R
的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动 t
Rt v0
D．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
11．宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T1；另一种形式是有三颗星位于边长为a的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T2，而第四颗星刚好位于T1三角形的中心不动．试求两种形式下，星体运动的周期之比. T2
解析：对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为a，所受合力等于向心力，因此有m2m24π2
2·Gcos 30°＋G2＝m2a
aT1?3a?2
4
解得
2?3－T21＝
3?πa3
Gm
2a， 2
对正方形模式，四星的轨道半径均为
m2m24π22
同理有2·G2cos 45°＋G＝m2a
aT22?2a?2解得
4?4－T2＝2
2?π2a3
7Gm
T1故＝ T2?4－2??3－3?
.
4
?4－2??3－3?
4
T1答案：＝
T2
12．发射地球同步卫星时，将卫星发射到距地面高度为h1的近地圆轨道上，在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将卫星送入同步轨道，如图所示．已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响．求：
(1)卫星在近地点A的加速度大小； (2)远地点B距地面的高度．
5
Mm4π2G＝m2(R＋h2)
T?R＋h2?23gR2T2解得：h2＝ －R.
4π23gR2T2R2g
答案：(1) (2) －R
4π2?R＋h1?2
6