●知识模块5：新定义问题
1．（大兴18期末28）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平
面直角坐标系xOy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单
位圆与x轴的交点分别为（1，0），（-1,0），与y轴的交点分别为（0,1），（0，-1）.
在平面直角坐标系xOy中，设锐角?的顶点与坐标原点O重合，?的一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P(x1,y1),
且点P在第一象限.
（1）x1=_ __ (用含?的式子表示)；y1=____ _ (用含?的式子表示)； （2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90?后与单位圆交于点Q(x2,y2).
①判断y1与x2的数量关系,并证明；
②y1?y2的取值范围是：_ ___.
2．（东城18期末28）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点
N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．
7（1）当⊙O的半径为3时， 在点P1（1,0），P2（3,1），P3（,0），P4（5,0）中，⊙O
2的和睦点是________；
（2）若点P（4,3）为⊙O的和睦点，求⊙O 的半径r的取值范围；
（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正
方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E（2,2），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标xA的取值范围．
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3．（昌平18期末28）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的
距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1?d2，则称d1为点P的最大距离；若d1?d2，则称d2为点P的最大距离.
例如：点P（?3，4）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3 < 4，所以点P的最大距离为4.
（1）①点A（2，?5）的最大距离为 ；
②若点B（a，2）的最大距离为5，则a的值为 ；
（2）若点C在直线y??x?2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；
（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围. ．．
y54321–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–512345x
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4．（朝阳18期末28）在平面直角坐标系xOy中，点A （0, 6），点B在x轴的正半轴上. 若
点P,Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P,Q的“X矩形”. 下图为点P,Q的“X矩形”的示意图. （1）若点B（4,0），点C的横坐标为2，则点B,C的“X矩形”的面积为 . （2）点M，N的“X矩形”是正方形，
①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B 的坐标，点N 的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；
②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围 .
y76A54P321Q-1-1O123B45x
y76543 21-1-1O123456x 备用图 第3页
5．（海淀18期末27）对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线．．AP与⊙C交
于点Q（点Q可以与点P重合），且1?PA ?2，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．
QA已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（-1，0）．
（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P
的坐标________； （2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足tan?BAO?值范围；
（3）直线y?3x?b与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O
的“生长点”，直接写出b的取值范围是_____________________________．
12，求点B的纵坐标t的取
y5432y5432–3–2–1O–1–2–3–4–5–6A112345x–3–2–1O–1–2–3–4–5–6A112345x
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6．（石景山18期末28）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1,y1)，点Q的坐标为(x2,y2)，
且x1?x2，y1?y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”
的示意图． ．．．
yQPOx
（1）已知点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(?3,0)，则点A，B的“相关等腰三角形”
的顶角为_________°；
（2）若点C的坐标为(0,3)，点D在直线y?43上，且C，D的“相关等腰三角形”为
等边三角形，求直线CD的表达式；
（3）⊙O的半径为2，点N在双曲线y??上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、
N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标xN的取值范围．
3x
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7．（西城18期末28）在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A(2,2)，B(2,?2)．对
于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q?落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．
（1）已知点P(4,?1)．
①在Q1(1,?1)，Q2(1,1)两点中，是点P关于线段AB的内称点的是____________； ②若点M在直线y?x?1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标xM的取值范围；
（2）已知点C(3,3)，⊙C的半径为r，点D(4,0)，若点E是点D关于线段AB的内称点，
且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．
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8．（丰台18期末28）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：如果⊙C的
半径为r，⊙C外一点P到⊙C的切线长小于或等于2r，那么点P叫做⊙C的“离心点”. （1）当⊙O的半径为1时，
13①在点P1（，），P2（0，－2），P3（5，0）中，⊙O的“离心点”是 ；
22②点P（m，n）在直线y??x?3上，且点P是⊙O的“离心点”，求点P横坐标m的
取值范围；
（2）⊙C的圆心C在y轴上，半径为2，直线y??x?1与x轴、y轴分别交于点A，B.
如果线段AB上的所有点都是⊙C的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围.
12
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9．（怀柔18期末28）在平面直角坐标系xOy中，点P的横坐标为x，纵坐标为2x，满足这
样条件的点称为“关系点”.
11（1）在点A(1，2)、B(2，1)、M(，1)、N(1，)中，是“关系点”的 ；
22（2）⊙O的半径为1，若在⊙O上存在“关系点”P，求点P坐标； （3）点C的坐标为(3，0)，若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标．．．．．．满足-2≤x≤2.请直接写出⊙C的半径r的取值范围．
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10．（平谷18期末28）在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与
纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”． （1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点” ；
（2）点M,N是一对“互换点”，点M的坐标为(m,n)，且(m＞n)，⊙P经过点M,N．
①点M的坐标为(4,0)，求圆心P所在直线的表达式； ②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．
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11．（密云18期末28）已知在平面直角坐标系xOy中的点P和图形G,给出如下的定义：若在
图形G上存在一点Q ,使得P、Q之间的距离等于1，则称P为图形G的关联点. （1）当?O的半径为1时，
1(,0),P2(1,3),P①点P13(0,3)中，?O的关联点有_____________________. 2②直线l经过（0，1）点，且与y轴垂直，点P在直线l上.若P是?O的关联点，求点P的横坐标x的取值范围.
（2）已知正方形ABCD的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r的取值范围.
y54321-5-4-3-2-1y5432112345-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-5xO-1-2-3-4-512345x
备用图 备用图
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12．（门头沟18期末28）以点P为端点竖直向下的一条射线PN，以它为对称轴向左右对称
摆动形成了射线PN1，PN2，我们规定：?N1PN2为点P 的“摇摆角”， 射线PN摇摆扫过的
区域叫作点P 的“摇摆区域”（含PN1，PN2）. 在平面直角坐标系xOy中，点P(2,3).
（1）当点P的摇摆角为60?时，请判断O(0,0)、A(1,2)、B(2,1)、C(2?3,0)属于点P的摇摆区域内的点是______________________（填写字母即可）；
（2）如果过点D(1,0)，点E(5,0)的线段完全在点P的摇摆区域内，那么点P的摇摆角至少
为_________°； （3）⊙W的圆心坐标为(a,0)，半径为1，如果⊙W上的所有点都在点P的摇摆角为60? 时
的摇摆区域内，求a的取值范围．
备用图
yOx
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13．（通州18期末25）点P的“d值”定义如下：若点Q为圆上任意一点，线段PQ长度的最
大值与最小值之差即为点P的“d值”，记为dP.特别的，当点P，Q重合时，线段PQ的长度为0.
当⊙O的半径为2时：
?1?（1）若点C??,0?，D?3,4?，则dC?_________，dD?_________；
?2?（2）若在直线y?2x?2上存在点P，使得dP?2，求出点P的横坐标；
3x?b?b?0?与x轴，y轴分别交于点A，B.若线段AB上存在点P，使（3）直线y??3得2?dP?3，请你直接写出b的取值范围.
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14．（燕山18期末28）在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射
光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线。光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．
（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1
个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线和反射点P3； （2）当⊙O的半径为1时，如图3，
①第一象限内的一条入射光线平行于y轴，且自⊙O的外部照射在圆上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与x轴平行，则反射光线与切线l的夹角为°；
②自点M(0，1)出发的入射光线，在⊙O内顺时针方向不断地反射．若第1个反射点是P1，第二个反射点是P2，以此类推，第8个反射点是P8恰好与点M重合，则第1个反射点P1的坐标为______________；
（3）如图4，点M的坐标为(0，2)，⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光
线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．
图4
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