习题九
?9-1 在同一磁感应线上，各点B的数值是否都相等?为何不把作用于运动电荷的磁力方向定?义为磁感应强度B的方向?
?解: 在同一磁感应线上，各点B的数值一般不相等．因为磁场作用于运动电荷的磁力方向?不仅与磁感应强度B的方向有关，而且与电荷速度方向有关，即磁力方向并不是唯一由磁?场决定的，所以不把磁力方向定义为B的方向．
题9-2图
?9-2 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B的大小在沿磁
感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)? (2)若存在电流，上述结论是否还对?
?? 解: (1)不可能变化，即磁场一定是均匀的．如图作闭合回路abcd可证明B1?B2
?abcd??B?dl?B1da?B2bc??0?I?0
??∴ B1?B2
?(2)若存在电流，上述结论不对．如无限大均匀带电平面两侧之磁力线是平行直线，但B方
??向相反，即B1?B2.
9-3 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场??
答: 不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，安培环路
定理并不适用．
9-4 在载流长螺线管的情况下，我们导出其内部B??0nI，外面B=0，所以在载流螺线管 外面环绕一周(见题9-4图)的环路积分
??B外·dl=0 L??但从安培环路定理来看，环路L中有电流I穿过，环路积分应为 ?LB外·dl=?0I 这是为什么?
解: 我们导出B内??0nl,B外?0有一个假设的前提，即每匝电流均垂直于螺线管轴线．这
???时图中环路L上就一定没有电流通过，即也是?B外?dl??0?I?0，与
L?L??B外?dl???0?dl?0是不矛盾的．但这是导线横截面积为零，螺距为零的理想模型．实
际上以上假设并不真实存在，所以使得穿过L的电流为I，因此实际螺线管若是无限长时，只是B外的轴向分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量B??的距离．
??0I2?r,r为管外一点到螺线管轴
题 9 - 4 图
9-5 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，能否肯定这个区域中没有磁场?如果它发 生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场?
解：如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，不能肯定这个区域中没有磁场，也可能存在互相垂直的电场和磁场，电子受的电场力与磁场力抵消所致．如果它发生偏转也不能肯定那个区域存在着磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转．
-2
9-6 已知磁感应强度B?2.0Wb·m?的均匀磁场，方向沿x轴正方向，如题9-6图所
示．试求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量．
解： 如题9-6图所示
题9-6图
(1)通过abcd面积S1的磁通是
?1?B?S1?2.0?0.3?0.4?0.24Wb
??(2)通过befc面积S2的磁通量
???2?B?S2?0
(3)通过aefd面积S3的磁通量
??4?3?B?S3?2?0.3?0.5?cos??2?0.3?0.5??0.24Wb (或曰?0.24Wb)
5题9-7图
?9-7 如题9-7图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为R．若通以电流I，求O点的磁感应强度．
?解：如题9-7图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生．其中
?AB 产生 B1?0
CD 产生B2??0I12R，方向垂直向里
CD 段产生 B3??0I4?R2(sin90?sin60)????0I2?R(1?32)，方向?向里
∴B0?B1?B2?B3??0I2?R(1?32??6)，方向?向里．
9-8 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线L1和L2，相距0.1m，通有方向相反的电流，I1=20A,I2=10A，如题9-8图所示．A，B两点与导线在同一平面内．这两点与导线L2的
距离均为5.0cm．试求A，B两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置．?
题9-8图
?解：如题9-8图所示,BA方向垂直纸面向里
BA??0I12?(0.1?0.05)??0I22??0.05?1.2?10?4T
(2)设B?0在L2外侧距离L2为r处 则
??0I2?(r?0.1)??I22?r?0
解得 r?0.1 m
题9-9图
9-9 如题9-9图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A，B两点，并在很远处与电源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心O的磁感应强度．
解： 如题9-9图所示，圆心O点磁场由直电流A?和B?及两段圆弧上电流I1与I2所产生，但A?和B?在O点产生的磁场为零。且
I1I2?电阻R2电阻R1??2???.
?I1产生B1方向?纸面向外
B1??I2产生B2方向?纸面向里
?0I1(2???)2R2?，
B2?B1B2?0I2?2R2?
∴ ?I1(2???)I2??1
???有 B0?B1?B2?0
9-10 在一半径R=1.0cm?的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有电流I=5.0 A通过，电流分布均匀.如题9-10图所示．试求圆柱轴线任一点P处的磁感应强度．
题9-10图
解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取坐标如题9-10图所示，取宽为dl的一无限长直电流dI?垂直，大小为
?0dI2?R?0?I?R2?RRd???0Id?2?R2I?R?dl，在轴上P点产生dB与RdB?
dBx?dBcos??dBy?dBcos(??0Icos?d?2?R2?R22
?5?2??)???0Isin?d?∴ Bx??2??2?Icos?d?2?R2??0I2?R?2[sin?2?sin(??2)]??0I?R2?6.37?10 T
By??2??2(??0Isin?d?2?R2)?0
???5∴ B?6.37?10i T
9-11 氢原子处在基态时，它的电子可看作是在半径a=0.52×10cm的轨道上作匀速圆周运动，
8-1
速率v=2.2×10cm·s．求电子在轨道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩的值． 解：电子在轨道中心产生的磁感应强度
????0ev?a B0?34?a-8
如题9-11图，方向垂直向里，大小为
B0???0ev4?a2?13 T
电子磁矩Pm在图中也是垂直向里，大小为
Pm?eT?a2?eva2?9.2?10?24 A?m2
题9-11图 题9-12图
9-12 两平行长直导线相距d=40cm，每根导线载有电流I1=I2=20A，如题9-12图所示．求： (1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感应强度；? (2)通过图中斜线所示面积的磁通量．(r1=r3=10cm,?l=25cm)．?
解：(1) BA??0I12?(d2)??0I22?(d2)?4?10?5 T?方向?纸面向外
(2)取面元?dS?ldr
???r1?r2r1[?0I12?r??1I12?(d?r)]ldr??0I1l2?ln3??0I2l2?ln13??I1l?ln3?2.2?10?6Wb
9-13 一根很长的铜导线载有电流10A，设电流均匀分布.在导线内部作一平面S，如题9-13图所示．试计算通过S平面的磁通量(沿导线长度方向取长为1m的一段作计算)．铜的磁导率???0.
解：由安培环路定律求距圆导线轴为r处的磁感应强度
??B?dl??0?I
lB2?r??0IrR22
∴ B??0Ir2?R2
题 9-13 图 磁通量 ?m????B?dS?(s)?R?0Ir2?R0dr?2?0I4??10?6 Wb
9-14 设题9-14图中两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合曲线a,b,c，分别写出安
培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论：
?(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B的大小是否相等? ?(2)在闭合曲线c上各点的B是否为零?为什么? ??解： ?B?dl?8?0a
?ba??B?dl?8?0
???B?dl?0
c?(1)在各条闭合曲线上，各点B的大小不相等．
???(2)在闭合曲线C上各点B不为零．只是B的环路积分为零而非每点B?0．
题9-14图题9-15图
9-15 题9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a,b，导体内载有沿轴线方向的电流I，且I均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率???0，
试证明导体内部各点(a?r?b) 的磁感应强度的大小由下式给出：
?0I2?(b?a)22 B?r?ar22
解：取闭合回路l?2?r (a?r?b)
??则 ?B?dl?B2?r
l?I?(?r2??a)222I?b??a22
∴ B??0I(r?a)2?r(b?a)22
9-16 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别 为b,c)构成，如题9-16图所示．使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(r＜a),(2)两导体之间(a＜r＜
b)，（3）导体圆筒内(b＜r＜c)以及(4)电缆外(r＞c)各点处磁感应强度的大小
??解： ?B?dl??0?I
L(1)r?a B2?r??0IrR22
B??0Ir2?R2
(2) a?r?b B2?r??0I
B??0I2?r
(3)b?r?c B2?r???0Ir?bc?b2222??0I
B??0I(c?r)2?r(c?b)2222
(4)r?c B2?r?0
B?0
题9-16图题9-17图
9-17 在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a,且a＞r，横截面如题9-17图所示．现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求：? (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小；? (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小．?
解：空间各点磁场可看作半径为R，电流I1均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为r电流?I2均匀分布在横截面上的圆柱导体磁场之和． (1)圆柱轴线上的O点B的大小：
电流I1产生的B1?0，电流?I2产生的磁场
B2??0I22?a??0Ir2222?aR?r
∴ B0?(2)空心部分轴线上O?点B的大小： ??0， 电流I2产生的B2??电流I1产生的B2?0Ia222?0Ir2222?a(R?r)
2?aR?r??0Ia2?(R?r)22
??∴ B0?0Ia2?(R?r)22
题9-18图
9-18 如题9-18图所示，长直电流I1附近有一等腰直角三角形线框，通以电流I2，二者 共面．求△ABC的各边所受的磁力．
???A解： FAB??I2dl?B
BFAB?I2a?0I12?d??0I1I2a2?d 方向垂直AB向左
?FAC??CA??I2dl?B 方向垂直AC向下，大小为
FAC???d?adI2dr?0I12?r??0I1I22?lnd?ad
同理 FBC方向垂直BC向上，大小
FBc??d?adI2dldr?0I12?r?
∵ dl?d?acos45 ?0I1I22?d?ad∴ FBC???0I2I1dr2?rcos45?a?ln
题9-19图
?9-19 在磁感应强度为B的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电
流为I，如题9-19图所示．求其所受的安培力．? 解：在曲线上取dl ?则 Fab??
?ba??Idl?B
??????∵ dl与B夹角?dl，B??不变，B是均匀的．
2????bb?∴ Fab??Idl?B?I(?dl)?B?Iab?B
aa方向⊥ab向上，大小Fab?BIab
题9-20图
9-20 如题9-20图所示，在长直导线AB内通以电流I1=20A，在矩形线圈CDEF中通有电流I2=10 A，AB与线圈共面，且CD，EF都与AB平行．已知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0 cm，求：?
(1)导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力；? (2)矩形线圈所受合力和合力矩．? 解：(1)FCD方向垂直CD向左，大小
?FCD?I2b?0I12?d?8.0?10?4 N
同理FFE方向垂直FE向右，大小
FFE?I2b?FCF方向垂直CF向上，大小为
??0I12?(d?a)?8.0?10?5 N
FCF??d?a?0I1I22?rddr??0I1I22?lnd?ad?9.2?10?5 N
?FED方向垂直ED向下，大小为
FED?FCF?9.2?10??????5?N
(2)合力F?FCD?FFE?FCF?FED方向向左，大小为
F?7.2?10???合力矩M?Pm?B
?4N
∵ 线圈与导线共面
∴ Pm//B
?M?0． ??题9-21图
9-21 边长为l=0.1m?的正三角形线圈放在磁感应强度B=1T 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向平行.如题9-21图所示，使线圈通以电流I=10A，求： (1)线圈每边所受的安培力；
(2)对OO?轴的磁力矩大小；
(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功．
???解： (1) Fbc?Il?B?0
???Fab?Il?B 方向?纸面向外，大小为
Fab?IlBsin120??0.866 N
???Fca?Il?B方向?纸面向里，大小
Fca?IlBsin120??0.866 N
(2)Pm?IS
???M?Pm?B 沿OO?方向，大小为
M?ISB?I3l42B?4.33?10?2 N?m
(3)磁力功 A?I(?2??1)
342∵ ?1?0 ?2?lB
∴ A?I34lB?4.33?102?2J?
9-22 一正方形线圈，由细导线做成，边长为a，共有N匝，可以绕通过其相对两边中点的
?一个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电流I，并把线圈放在均匀的水平外磁场B中，线圈对其转轴的转动惯量为J.求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期T. 解：设微振动时线圈振动角度为? (???Pm,B?)，则
M?PmBsin??NIaBsin?
2??由转动定律 Jd?at222??NIaBsin???NIaB?
22即
d?dt2?NIaBJ2??0
∴ 振动角频率 ??NIaBJ2
周期 T?2???2?JNaIB2
9-23 一长直导线通有电流I1＝20A，旁边放一导线ab，其中通有电流I2=10A，且两者共面，如题9-23图所示．求导线ab所受作用力对O点的力矩． 解：在ab上取dr，它受力
?dF?ab向上，大小为
dF?I2dr?0I12?r
????dF对O点力矩dM?r?F ?dM方向垂直纸面向外，大小为
dM?rdF?M??0I1I22?dr
?6?badM??0I1I22??badr?3.6?10 N?m
题9-23图题9-24图
9-24 如题9-24图所示，一平面塑料圆盘，半径为R，表面带有面密度为?剩余电荷．假
?定圆盘绕其轴线AA?以角速度? (rad·s-1)转动，磁场B的方向垂直于转轴AA?．试证磁
场作用于圆盘的力矩的大小为M????RB44．(提示：将圆盘分成许多同心圆环来考虑．)
解：取圆环dS?2?rdr，它等效电流
dI?dqT??2?dq
??2??dS???rdr
23等效磁矩 dPm??rdI????rdr
受到磁力矩 dM?dPm?B，方向?纸面向内，大小为
dM?dPm?B????rdrB
R3???M??dM????B?rdr?03???RB44
?9-25 电子在B=70×10T?的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r=3.0cm．已知B垂直于
-4
纸面向外，某时刻电子在A点，速度v向上，如题9-25图． (1)试画出这电子运动的轨道； (2)求这电子速度v的大小； (3)求这电子的动能Ek．
??
题9-25图
解：(1)轨迹如图
(2)∵ evB?meBrv2r
7∴ v?(3) EKm1?mv2?3.7?102m?s?16?1
?6.2?10 J
9-26 一电子在B=20×10-4T?的磁场中沿半径为R=2.0cm?的螺旋线运动，螺距h=5.0cm，如题9-26图．?
(1)求这电子的速度；?
?(2)磁场B的方向如何??
解: (1)∵ R?mvcos?eB
h?2?meBvcos?题9-26 图
∴ v?(eBRm)?(2eBh2?m)2?7.57?106m?s?1
?(2)磁场B的方向沿螺旋线轴线．或向上或向下，由电子旋转方向确定．
9-27 在霍耳效应实验中，一宽1.0cm，长4.0cm，厚1.0×10cm?的导体，沿长度方向载有3.0A的电流，当磁感应强度大小为B=1.5T的磁场垂直地通过该导体时，产生1.0×10-5V的横向电压．试求：
(1)载流子的漂移速度； (2)每立方米的载流子数目．
解: (1)∵ eEH?evB
-3
∴v?EHB?UHlB l为导体宽度，l?1.0cm
∴ v?UHlB?1.0?1010?2?5?1.5?6.7?10?4 m?s-1
(2)∵ I?nevS ∴ n? ?IevS
31.6?10?19?6.7?10?4?10?2?10?5
?2.8?1029m?3
9-28 两种不同磁性材料做成的小棒，放在磁铁的两个磁极之间，小棒被磁化后在磁极间处于不同的方位，如题9-28图所示．试指出哪一个是由顺磁质材料做成的，哪一个是由抗磁质材料做成的?
解: 见题9-28图所示.
题9-28图题9-29图
9-29 题9-29图中的三条线表示三种不同磁介质的B?H关系曲线，虚线是B=?0H关系的曲线，试指出哪一条是表示顺磁质?哪一条是表示抗磁质?哪一条是表示铁磁质? 答: 曲线Ⅱ是顺磁质，曲线Ⅲ是抗磁质，曲线Ⅰ是铁磁质．
9-30 螺绕环中心周长L=10cm，环上线圈匝数N=200匝，线圈中通有电流I=100 mA．
??(1)当管内是真空时，求管中心的磁场强度H和磁感应强度B0；
??(2)若环内充满相对磁导率?r=4200的磁性物质，则管内的B和H各是多少?
??*(3)磁性物质中心处由导线中传导电流产生的B0和由磁化电流产生的B′各是多少?
??解: (1) ?H?dl??I
lHL?NI NIH??200A?m?1
LB0??0H?2.5?10?4T
(2)H?200 A?m?1?B??H??r?oH?1.05 T
?4(3)由传导电流产生的B0即(1)中的B0?2.5?10?T
?∴由磁化电流产生的B??B?B0?1.05?T
9-31 螺绕环的导线内通有电流20A，利用冲击电流计测得环内磁感应强度的大小是1.0 ?
-2
Wb·m．已知环的平均周长是40cm，绕有导线400匝．试计算：? (1)磁场强度； (2)磁化强度； *(3)磁化率； *(4)相对磁导率． 解: (1)H?nI?BNlI?2?10?A?m?1
4(2)M??0MH?1?H?7.76?10?A?m
5(3)xm??38.8
(4)相对磁导率 ?r?1?xm?39.8
9-32 一铁制的螺绕环，其平均圆周长L=30cm，截面积为1.0 cm2，在环上均匀绕以300匝导线，当绕组内的电流为0.032安培时，环内的磁通量为2.0×10-6Wb?．试计算：
(1)环内的平均磁通量密度； (2)圆环截面中心处的磁场强度；
解: (1) B??S??(2) ?H?dl?NI0
?2?10?2 T
H?NIL0?32A?m?1
题9-33图
*9-33 试证明任何长度的沿轴向磁化的磁棒的中垂面上，侧表面内、外两点1，2的磁场强度H相等(这提供了一种测量磁棒内部磁场强度H的方法)，如题9-33图所示．这两点的磁感应强度相等吗??
解: ∵ 磁化棒表面没有传导电流，取矩形回路abcd
?则 ?H?dl?H1ab?H2cd?0
l∴ H2?H1 这两点的磁感应强度B1??H1,B2??0H2 ∴ B1?B2