辽宁省铁岭市六校协作体2013届高三上学期第三次联合考试 数学理
数学（理科）试卷 命题学校：西丰高中 考试时间：120分钟
考试说明：（1）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷和第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，有
只有一项是符合题目要求的. 1、设集合A={x|1 A．(1,4) B．(3,4) C．(1,3) D．(1,2) 2、设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为 A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 3、函数y?xsinx,x?(??,0)?(0,?)的图象可能是下列图象中的 （ ） 4、 “a?1”是“函数f(x)?2?a2?axx在其定义域上为奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5、已知3x2?2y2?6x 则m?x2?y2?1的最大值为（ ） A.２ B.３ C. ４ D. 72 6．设Sn是等差数列的前n项和，若a1?1，公差d?2，Sk?2?Sk?24，则k?（ ） A．5 B．6 C．7 D． 8 7．已知两点A(1,0),B(1,3),O为坐标原点，点C在第二象限，且?AOC?120，设 ?????????????OC??2OA??OB,(??R),则?等于 （ ） A．?1 B．2 C．?2 D．1 8.F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为抛物线上三点．O为坐标原点，若F是△ABC的重心, △OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3 ，则S1＋S2＋S3的值为: A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 9.对任意实数x,y，定义运算x?y?ax?by?cxy，其中a,b,c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知1?2?3,2?3?4，并且有一个非零常数m，使得对任 1 222意实数x， 都有x?m?x，则m的值是（ ） A.-4 B.4 C.?5 D.6 10.如图，?PAB所在的平面?和四边形ABCD所在的平面?互相垂直，且AD??，BC??，AD?4，BC?8，AB?6． 若tan?ADP?2tan?BCP?1，则动点P在平面?内 的轨迹是 A．椭圆的一部分 B．线段 C．双曲线的一部分 D．以上都不是 ?PAB?DC11．如图所示，点P是函数y?2sin(?x??)(x?R,??0)的图象的最高点，M，N是 该图象与x轴的交点，若PM?PN?0，则?的值为 （A） ?8 （B） ?4 （C）4 （D）8 12. 已知函数g(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)的导函数为f(x)，a?b?c?0且 f(0)?f(1)?0，设x1，x2是方程f(x)?0的两根，则x1?x2的取值范围为 A．[,31321411) B．[,) C． [,) D．[,) 33339933 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、 填空题: 本大题共4小题, 每小题5分, 共20分 13．已知一个几何体的三视图及其长度如图所 示，则该几何体的体积为 . 14.如右图，是一程序框图，则输出结果为 __ 2 15.若a??xdx,b?01?101?xdx,c??101?xdx，则a,b,c的大小关系是 （ ） ba216. 已知正数a，b，c满足:5c?3a≤b≤4c?a，clnb≥a?clnc，则 的取值范围是____. 三、解答题: 本大题共6小题, 共70分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 ?1?17. （1）已知集合P??x?x?3?, 函数f(x)?log2(ax2?2x?2)的定义域为Q。 ?2??12?若P?Q??,?,P?Q?(?2,3]，求实数a的值； ?23? （2）函数f(x)定义在R上且f(x?3)?f(x),当 若f(35)?1，求实数a的值。 12 ?x?3时, f(x)?log2(ax2?2x?2)， 18、 （本题满分12分）在?ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列。（1）求B的值；(2)求2sin2A?cos(A?C)的取值范围。 19（本小题满分12分）已知数列｛an｝的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn,{bn}为 等差数列且各项均为正数，a1?1,an?1?2Sn?1(n?N),b1?b2?b3?15 *(1)求数列｛an｝的通项公式； （2）若a1?b1,a2?b2,a3?b3成等比数列，求20．（本题满分12分）已知四边 形ABCD满足AD∥BC， BA?AD?DC?12BC?a1T1?1T2?…+1Tn ，E是BC的中点，将 ?BAE沿着AE翻折成?B1AE，使面B1AE?面 AECD，F为B1D的中点. （Ⅰ）求四棱B1?AECD的体积； （Ⅱ）证明：B1E∥面ACF； （Ⅲ）求面ADB1与面ECB1所成二面角的余弦值. 21. （本题满分12分）已知点A（0，1）、B（0，-1），P为一个动点，且直线PA、PB的斜 3 率之积为?12. （I）求动点P的轨迹C的方程； （II）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线l交C于M、N两点，?QMN的面积记为S， 若对满足条件的任意直线l，不等式S??tan?MQN恒成立,求?的最小值。 22（本题满分12分）已知函数f(x)?(Ⅰ)当a??1213212x?(a?a)lnx?2ax，a?R. 242时，求函数f(x)的极值点； (Ⅱ)若函数f(x)在导函数f?(x)的单调区间上也是单调的，求a的取值范围； (Ⅲ) 当0?a?18时，设g(x)?f(x)?(a2?4312a?1)lnx?(a?12)x?(2a?1)x， 2且x1,x2是函数g(x)的极值点，证明：g(x1)?g(x2)?3?2ln2. 高三数学（理）答案（2012.11） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 答案 B 2 A 3 C 4 5 6 7 8 9 B 10 C 11 B 12 C B A D A A 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.） 13 12 14 511 7?. 15 a 17.【答案】解：解:(1)由条件知Q?(?2,) 即ax?2x?2?0解集(?2,). 332224?2???23?a32∴a?0且ax?2x?2?0的二根为?2,.∴?，∴a??………5分 32?2??4?3?a 4 (2)∵f(x)的周期为3，f(35)?f(3?11?2)?f(2)?log2(a?22?4?2)?1， 所以a?1………………………………………………………………………..10分 18解⑴由题意得acosC?ccosA?2bcosB，又a?2RsinA,b?2RsinB，c?2RsinC，得sin(A?C)?2sinBcosB，即sinB?2sinBcosB，在?ABC中，0?B??， ∴sinB?0，∴cosB?⑵A?C?2?3212，又0?B??，∴B?2?3?3。 -----6分 2?3) ,2sinA?cos(2A?)?1?cos2A?cos(2A??1?cos2A?12cos2A?32sin2A?1?32sin2A?32cos2A?1?3sin(2A??3) ∵0?A?2?3，∴??3?2A??3??，∴?1232?sin(2A??3)≤1， ∴2sin2A?cos(A?C)的取值范围是(?,1?3]．-----12分 19 【答案】解：（1）a2?2S1?1?3?3a1 当n?2时，an?1?an?(2Sn?1)?(2Sn?1?1)?2an………………………………3分 ∴an?1?3an,即an?1an?3又a2?3a2a1?3 ∴数列?an?是首项a从而得：an?3n?1?1，公比为3的等比数列…………………………4分 …………………………6分 ?15,?b2?5 （2）设数列?bn?的公差为d(d?0)∵T3 依题意有(a2?b2)2?(a1?b1)(a3?b3),?64?(5?d?1)(5?d?9) 解之得d?2或d??10(舍去) ……………………………………8分 故Tn所以?3n?1T11T2n(n?1)2?…+?2?2n?2n2 ……………………………………10分 ?1Tn=1?111111?(??…+)?(??…+)2?n34n+2??12?1?111??32n?3?1(?)??=?…………12分????2?12n?1n?242(n?1)(n?2)??? 5 20（Ⅰ）取AE的中点M,连接B1M，因为BA?AD?DC?3212BC?a，?ABE为等边 三角形，则B1M?分 所以V?13?32a，又因为面B1AE?面AECD，所以B1M?面AECD，……2 a?a?a?sin?3?a34…………4分 （Ⅱ）连接ED交AC于O，连接OF，因为AECD为菱形，OE?OD，又F为B1D的中点，所以FO∥B1E，所以B1E∥面ACF……………8分 （Ⅲ）连接MD，分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴 a32a23232则E(,0,0),C(a,2a,0),A(?,0,0),D(0,a,0),B1(0,0,a) ?????????????a3aa3a???a3aa3aEC?(,,0),EB1?(?,0,),AD?(,,0),AB1?(,0,)……10分 22222222?a3??xay??0???33?22设面ECB1的法向量v?(x?,y?,z?)，?，令x??1，则u?(1,?,) 333?a?x??az??0??22?a3x?ay?0???22设面ADB1的法向量为u?(x,y,z)，?，令x?1，则 3?ax?az?0??22?v?(1,?3333)……12分 ,???则cos?u,v??1?1?13?1313?1313?13y?1y?1,. xx?35，所以二面角的余弦值为 35……12分 ?1?21解：（I）设动点P的坐标为(x,y),则直线PA,PB的斜率分别是xy?1y?112?y?1(x?0). ???. 即由条件得 2xx22 6 所以动点P的轨迹C的方程为 x22?y?1(x?0). -----（4分） 2 （II）设点M，N的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2). 当直线l垂直于x轴时,x1?x2??1,y1??y2,y12?12. 所以QM?(x1?2,y1)?(?3,y1),QN?(x2?2,y2)?(?3,?y1) 所以QM?QN?9?y12?172. 当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y?k(x?1). ?x22?y?1,?2222由?2得(1?2k)x?4kx?2k?2?0. ?y?k(x?1)? 所以x1?x2??4k221?2k,x1x2?2k?21?2k22. ?????????所以QM?QN?(x1?2)(x2?2)?y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?y1y2. 因为y1?k(x1?1),y2?k(x2?1). 所以QM?QN?(k?1)x1x2?(k?2)(x1?x2)?k?4?172222 172?132(1?2k)2?172. 综上所述QM?QN的最大值是因为S??tan?MQN恒成立 . ?????1????sin?MQN即|QM|?|QN|sin?MQN??恒成立 2cos?MQN172132(1?2k)2 由于QM?QN???0. 所以cos?MQN?0. 174 所以QM?QN?2?恒成立。 所以?的最小值为.----12分 11 22解: (Ⅰ)f(x)= x2- lnx+x （x?0） 2162 116x+16x-1 f’(x)=x - + 1= =0 16x16x ∴x1= -2-5 -2+5 ，x2= ………1分 44-2+5 4 ∵(0， ?单调减 ?-2+5 ，+∞)单调增 4 7 ∴f(x)在x= -2+5 时取极小值………2分 4 31 x2-2ax+ a2+ a 42 (Ⅱ)解法一：f’(x)= (x?0) ………3分 x 3212222 令g(x)=x-2ax+ a+ a， △=4a-3a-2a=a-2a，设g(x)=0的两根x1,x2(x1?x2) 42 0 1 当△≤0时 即0≤a≤2，f’(x)≥0∴f(x)单调递增，满足题意………4分 0 2 当△>0时 即a<0或a>2时 312 (1)若x1?0?x2，则 a2 + a<0 即- 423 32 1 a+ a42 -2a ,f’’(x)=1- f(x)在(0,x2)上减，(x2,??)上增f’(x)=x+ x 32 1 a+ a42 ≥0 ∴f’(x) 在(0，+∞)单调增，不合题意………5分 2 x ?3212?a?a?0(2)若x1?x2?0 则?4,即a≤- 时f(x)在(0，+∞)上单调增，满足题意。23 ?a?0?6分 ?321?a?a?0(3) 若0?x1?x2则?4 即a>2时 2?a?0?∴f(x)在(0，x1)单调增，(x1，x2)单调减，(x2，+∞)单调增，不合题意………7分 2 综上得a≤- 或0≤a≤2. ………8分 3 2ax2－x＋1 1 2 （Ⅲ) g(x)＝－lnx－ax＋x，g?(x)＝－－2ax＋1＝－． xx 1 令g?(x)=0，即2ax2－x＋1＝0，当0＜a＜时，Δ＝1－8a＞0，所以，方程2ax2－x 8 ＋1＝0的两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1＜x2，则当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，g?(x)＜0，当x∈(x1，x2)时，g?(x)＞0， 11 所以，g(x)有极小值点x1和极大值点x2，且x1＋x2＝，x1x2＝． 2a2a 22 g(x1)＋g(x2)＝－lnx1－ax1＋x1－lnx2－ax2＋x2 1 1 ＝－(lnx1＋lnx2)－(x1－1)－(x2－1)＋(x1＋x2) 22 1 1 ＝－ln(x1x2)＋(x1＋x2)＋1＝ln(2a)＋＋1．………10分 24a1 1 令h(a)＝ln(2a)＋＋1，a∈(0，]， 4a8 1 1 14a－1 1 则当a∈(0，)时，h?(a)＝－2＝)单调递减 所以2＜0，h(a)在(0，8a4a4a8 1 h(a)＞h()＝3－2ln2，即g(x1)＋g(x2)＞3－2ln2． ………12分 8 8