人教A版高二第二学期期中试卷（理科）A011
一、选择题
1．曲线y?cosx(0?x?A.4 B.
3?)与坐标轴围成的面积是 （ ） 25 C.3 D.2 22．若f'(x0)??3，则limf(x0?h)?f(x0?h)?（ ）
h?0hA．?3 B．?6 C．?9 D．?12
3．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若
其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )
22226A．C8 C．C8A3 B．C82A6A6D．C82A52
4．函数f(x)?x2?2lnx的单调减区间是
A．(0,1]B．[1,??)C．(??,?1]及(0,1]D．[?1,0)及(0,1]
5．设f?(x)是函数f(x)的导函数，将y?f(x)和y?f?(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是
x2??)内单调递增，q:m≥?5，则p是q的 6．设p:f(x)?e?lnx?2x?mx?1在(0，Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件
?x）?0，则必有 7．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f（A.f（0）＋f（2）?2 f（1） B. f（0）＋f（2）?2 f（1） C. f（0）＋f（2）?2 f（1） D. f（0）＋f（2）?2 f（1） 28．已知二次函数f(x)?ax?bx?c的导数为f'(x)，f'(0)?0，对于任意实数x都有
f(1)的最小值为 f'(0)53A．3 B． C．2 D．
2229．f(x)?ax?bx?c的图象开口向上，且顶点在第二象限，则y?f?(x)的图象大概是：
f(x)?0，则
y y y 0 0 0 x x B A C 10．已知对任意实数x，有f(?x)??f(x)g，(x?)?gx()则x?0时
A．f?(x)?0，g?(x)?0 B．f?(x)?0，g?(x)?0 C．f?(x)?0，g?(x)?0 D．f?(x)?0，g?(x)?0
y x 0 x D
，且x?0时，f?(x)?0，g?(x)?0，
?1?i?10．(广西桂林十八中06级高三第二次月考)设i为虚数单位，则???
?i?
A. ?4 B. 4 C. 4i D. ?4i
412．用数学归纳法证明命题时，此命题左式为
左边应添加
1111?????n，则n=k+1与n=k时相比，2342?1111?? k?1kkk?12?122?12?1111111?k???k?1C．k?k D．k?k?1
22?12?22?122?1A．
B．
二、填空题
13．用数学归纳法证\1?1?1?1???1?1?1?1???1(n?N*)\的过程中，
2342n?12nn?1n?22n当n=k到n=k+1时，左边所增加的项为_______________
14．设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x?0时，
1f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,且
1g(?)?0则不等式
2 f(x)g(x)?0的解集是?___________________15．设f(x)是定义在R上的偶函数，当x?0时，f(x)?xf?(x)?0，
且f(1)?0，则不等式xf(x)?0的解集为
16．设函数f(x)?cos(3x??)(0????)，若f(x)?f?(x)为奇函数，则?=_____； 三、解答题
17．设a≥0，f (x)=x－1－lnx＋2a ln x（x>0）.
（1）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
2
（2）求证：当x>1时，恒有x>lnx－2a ln x＋1.
2
2ax?a2?1(x?R)，其中a?R． 18．已知函数f(x)?x2?1（1）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； （2）当a?0时，求函数f(x)的单调区间与极值．
19．设函数f(x)?xe2x?112?x3?x2 设g(x)?x3?x2，试比较f(x)与g(x)的大小．（ 33
20．5．设集合A={2，4，6，8}，B={1，3，5，7，9}，今从A中取一个数作为十位数字，从
B中取一个数作为个位数字，问：
（1）能组成多少个不同的两位数？
（2）能组成多少个十位数字小于个位数字的两位数？ （3）能组成多少个能被3整除的两位数？
21．如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，
计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短D 轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD?2x，梯形面积为S． （1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； （2）求面积S的最大值． A
C 4r 2r B 22．设函数f?x?与数列?an?满足关系：(1) a1.>a, 其中a是方程f?x??x的实根，(2) an+1=f?an? ( n?N) ,如果f?x?的导数满足0 '?x?<1 （1）证明： an>a （2）试判断an与an+1的大小，并证明结论。 答案解析 一、选择题 1．C 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B 7．C 8．C 9．C 10．A 11．B 12．C 二、填空题 13． 11?11? 14．(??,?)?(0,) 15．（－1，0）∪（1，+?） 16．． 222k?12k?26三、解答题 17．解：（1）根据求导法则有f?(x)?1?2lnx2a?，x?0， xx故F(x)?xf?(x)?x?2lnx?2a，x?0， 2x?2，x?0， 于是F?(x)?1??xx列表如下： x (0，2) 2 2)内是减故知F(x)在(0，? F?(x) 0 ?∞)内是增函函数，在(2，F(x) 极小值F(2) ? 数，所以，在x?2处取得 极小值F(2)?2?2ln2?2a． （2）证明：由a≥0知，F(x)的极小值F(2)?2?2ln2?2a?0． (2，?∞) ? ? ?∞)，恒有F(x)?xf?(x)?0． 于是由上表知，对一切x?(0，?∞)内单调增加． 从而当x?0时，恒有f?(x)?0，故f(x)在(0，所以当x?1时，f(x)?f(1)?0，即x?1?lnx?2alnx?0． 故当x?1时，恒有x?lnx?2alnx?1． 18．（1）解：当a?1时，f(x)?222x4f(2)?，， x2?1562(x2?1)?2x·2x2?2x2?f(2)??又f?(x)?，． ?222225(x?1)(x?1)46(x?2)， 所以，曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y???525即6x?2y?32?0． 2a(x2?1)?2x(2ax?a2?1)?2(x?a)(ax?1)（2）解：f?(x)?． ?2222(x?1)(x?1)由于a?0，以下分两种情况讨论． 1（1）当a?0时，令f?(x)?0，得到x1??，x2?a．当x变化时，f?(x)，f(x)的 a变化情况如下表： x f?(x) f(x) 1???∞，??? a??? 1 a0 极小值 ? ???1???，a? ?a?? ? a 0 极大值 (a，?∞) ? ? 所以f(x)在区间??∞，?1??1?(a，?∞)，内为减函数，在区间?，a???内为增函数． a??a? 函数f(x)在x1??函数f(x)在x2?1?1?处取得极小值f???，且a?a??1?f?????a2， ?a?1处取得极大值f(a)，且f(a)?1． a1（2）当a?0时，令f?(x)?0，得到x1?a，x2??，当x变化时，f?(x)，f(x)的变 a化情况如下表： x f?(x) f(x) ??∞，a? ? ? a 0 极大值 1??a，??? a??? ? ?1 a0 极小值 ?1???，+∞? ?a?? ? 1??内为减函数． a??1??a?函数f(x)在x1?a处取得极大值f(a)，且f(a)?1． 函数f(x)在x2?? 19．解∵ 所以f(x)在区间(?∞，a)，??，+∞?内为增函数，在区间?a，???1处取得极小值a?1?f???，且?a??1?f?????a2． ?a?12f(x)?x2ex?1?x3?x2 g(x)?x3?x2 33故 f(x)?g(x)?x2ex?1?x3?x2(ex?1?x)，令h(x)?ex?1?x，则h?(x)?ex?1?1． ?0，得x?1，因为x????，1?时，h?(x)≤0， 令h?(x)所以h(x)在x?因为x?故x?1?上单调递减．故x????，1?时，h(x)≥h(1)?0； ???，???时，h?(x)≥0，所以h(x)在x??1，???上单调递增． ?1，???时，h(x)≥h(1)?0． ?1，2??)，恒有h(x)≥0，又x所以对任意x?(??，??)，恒有故对任意x?(??，≥0，因此f(x)?g(x)≥0， f(x)≥g(x)． 20．20 10 7 21．解：（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O?xy（如图），则点C的横坐 标为x． y x2y2点C的纵坐标y满足方程2?2?1(y≥0)， r4r解得y?2r2?x2(0?x?r) D C A O B x S?1(2x?2r)?2r2?x2 2 ?2(x?r)?r2?x2， 其定义域为x0?x?r． （2）记f(x)?4(x?r)2(r2?x2)，0?x?r， 则f?(x)?8(x?r)2(r?2x)． 令f?(x)?0，得x?因为当0?x?大值． 因此，当x???1r． 2rr时，f?(x)?0；当?x?r时，f?(x)?0，所以22?1?f?r?是f(x)的最?2?1r时，S也取得最大值，最大值为2?1?332f?r??r． 2?2?即梯形面积S的最大值为 332r． 2?22．证明：(1)当n=1时，由题设知a 1> a成立。 假设n=k时, a k> a成立 (k?N)， 由f'?x?>0知f?x?增函数，则f?ak??f?a?， 又由已知:f?ak??ak?1 f?a?=a， 于是a k+1> a ，即对n=k+1时也成立， 故 对任意正整数n, a n> a都成立。 解：(2)令g?x??x?f?x?则g'?x??1?f'?x? ? 0?f'?x??1 g'?x??0 故g?x?为增函数 则 当x> a时,有g?x??g?a? 而g?a??a?f?a??a?a?0 ? g?x??0 即x?f?x? 由(1)知a n> a ? an?f?an??an?1 (n?N?) 故 对任意正整数n都有a n> a n+1。