2018届上海市黄浦区高三4月模拟（二模）
数学试题（解析版）
一、填空题：
1. 已知集合【答案】 【解析】由题，若若
则
则
此时B集合不符合元素互异性，故
则
不符合题意.
，若
，则非零实数的数值是_________．
符合题意；若
故答案为2 2. 不等式【答案】【解析】即答案为3. 若函数【答案】
是偶函数，则
.
函数
的定义域
解得
故
.
是偶函数，则该函数的定义域是_______________．
的解集是______________．
或
.
【解析】因为函数函数的定义域为及答案为4. 已知
. 的三内角
所对的边长分别为，若，则内角的大小是
__________． 【答案】 【解析】由已知
，可得
故答案为.
5. 已知向量在向量方向上的投影为【答案】
，即
，且
，则
=_______．(结果用数值表示) 由余弦定理可得
【解析】由题向量在向量方向上的投影为即答案为-6.
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6. 方程【答案】 【解析】
的解_________．
或
（舍）
即，解得
即答案为2. 7. 已知函数【答案】
【解析】由题函数则函数
的单调递增区间
即函数
即答案为
.
的一个虚数根，且
，则实数的取值范围是
的单调递增区间为
解得
.
，则函数
的单调递增区间是________．
8. 已知是实系数一元二次方程__________． 【答案】【解析】设则
也是一元二次方程
，
则
．
的一个虚数根，
∵实系数一元二次方程∴
∴的取值范围是故答案为
．
．
，解得
有虚数根， ．
【点睛】本题考查了实系数一元二次方程有虚数根的充要条件及其根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档础题．
9. 已知某市 社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行
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体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是________人． 【答案】
则这次抽样调查抽取的人数是
【解析】根据题意可得抽样比为即答案为140.
10. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是_____．(结果用数值表示) 【答案】
【解析】一枚硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率故答案为． 11. 已知数列
是共有个项的有限数列，且满足
，若
，则
_____________． 【答案】 【解析】由题数列则
……
以上
各式子同向相加，将
（舍）.
故答案为50. 12. 已知函数___________． 【答案】 【解析】因为
，所以
所以
恒成立，
所以
，得
又
对任意
恒有
成立，则代数式
的最小值是
代入可得
是共有个项的有限数列，且满足
，则
，
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【点睛】本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，以及换元法，其中对所求式子的恒等变形是解题的关键和难点，属于难题．
二、选择题：
13. 在空间中，“直线
平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直 ”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】A
【解析】若“直线
平面”则“直线与平面内无穷多条直线都垂直 ”，正确；反之，若“直线与
平面”是错误的，故直线
平面”是“直线与平面
平面内无穷多条直线都垂直 ”则“直线 内无穷多条直线都垂直 ”的充分非必要条件. 故选A. 14. 二项式
的展开式中，其中是有理项的项数共有 （ ）
A. 4项 B. 7项 C. 5项 D. 6项 【答案】B 【解析】二项式式
的展开式中，
通项公式为
时满足题意，共71个．
故选B. 15. 实数
满足线性约束条件
D. 3
4
则目标函数的最大值是（ ）
A. 0 B. 1 C.
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【答案】D
【解析】根据约束条件画出可行域如图所示，
然后平移直线
故选D．
，当直线 过点 时，最大值为6．则目标函数的最大值是
16. 在给出的下列命题中，是假命题的是（ ） A. 设B. 若向量
是同一平面上的四个不同的点，若
是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为
，则点
必共线
，且
表示方法是唯一的 C. 已知平面向量
满足
，且
，则
是等边三角形
D. 在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 【答案】D 【解析】由
由平面向量基本定理可知B正确； 由 的中心，即故选D.
可知为
的外心，由
，使得其中任意两个向量的
则点必共线，故A正确；
可知为的重心，故为
是等边三角形，故C正确；
三、解答题：
17. 在四棱锥
中，
平面
，
，
．
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(1)画出四棱锥(2)若
，求直线
的主视图； 与平面
所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)
.
的主视图；
的法向量，可求出直线
【答案】（1）正视图见解析；（2）
【解析】试题分析：(1)根据三视图的画法，画出四棱锥
(2) 如图所示建立空间直角坐标系，求出相应点和向量的坐标，求出平面平面与平面
所成角的大小．
试题解析：(1)主视图如下：
(2) 根据题意，可算得 又
，
.
按如图所示建立空间直角坐标系，
可得，于是，有设平面则令
，可得
的法向量为即
. .
， ，故平面
的一个法向量为
.
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