立体几何垂直总结
1、线线垂直的判断：
线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 2、线面垂直的判断：
（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 3、面面垂直的判断：
一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法：
例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中点。求证：（1）AB?平面CDE;（2）平面CDE?平面ABC。 证明：（1）
A E
BC?AC?AD?BD?同理，?CE?AB???DE?AB
AE?BE?AE?BE?
B
又∵CE?DE?E ∴AB?平面CDE （2）由（1）有AB?平面CDE
又∵AB?平面ABC， ∴平面CDE?平面ABC
C
D
例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P?ABCD的底面是菱形．PB?PD，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PAC?平面BDE．
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PECDABAD?例3、(线线、线面垂直相互转化)已知?ABC中?ACB?90?,SA?面ABC,AD?SC,求证：
面SBC．
证明：∵?ACB?90° ?BC?AC 又SA?面ABC ?SA?BC ?BC?面SAC
?BC?AD 又SC?AD,SC?BC?C?AD?面SBC
SDACB
例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知PA垂直于圆O在平面，AB是圆O的直径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA?AC，点E是线段PC的中点.求证：
AE?平面PBC.
P
证明：∵PA??O所在平面，BC是?O的弦，∴BC?PA. 又∵AB是?O的直径，?ACB是直径所对的圆周角，∴
BC?AC.
E A
∵PA?AC?A,PA?平面PAC，AC?平面PAC. ∴BC?平面PAC，AE?平面PAC，∴AE?BC. ∵PA?AC，点E是线段PC的中点.∴AE?PC. ∵PC?BC?C,PC?平面PBC，BC?平面PBC. ∴AE?平面PBC.
O ? 图2
B
C
例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AE⊥BD，CB＝CD＝CF. 求证：BD⊥平面AED； 证明 因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，
所以∠ADC＝∠BCD＝120°. 又CB＝CD，所以∠CDB＝30°， 因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED， 所以BD⊥平面AED.
2
例6、（勾股定理的逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点． 求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.
例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D
D1 C1 A1 B1
D C A B 证明：连结AC
⊥AC ∵BD∴ AC为A1C在平面AC上的射影
?BD?A1C 练习；
???A1C?平面BC1D同理可证A1C?BC1?
1、 如图在三棱锥P—ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.证明：AP⊥BC；
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1
2、直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝2AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.证明：DC1⊥BC。
3．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥EABD的侧面积．
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4、在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若AB=2，AA1?1，求点A到平面A1BC的距离。
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5、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别
是AB、PC的中点，PA＝AD. 求证：(1)CD⊥PD； (2)EF⊥平面PCD.
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