第六章 鞅方法定价
在上一章的二项树模型下，我们证明了，当完备市场中不成在套利机会时，市场存在唯一概率——等价鞅测度——可以 用来给期权和期货定价。在这一章，我们先在二项树模型下详细解释等价鞅测度的含义。接着，我们讨论一般结果。我们将证明，这个结果在比二项树模型更复杂的经济系统中也成立。在许多背景下，我们并不需要利用市场均衡来给衍生资产定价，而是利用套利定价原理来进行定价——如果证券市场不存在套利机会，则衍生证券的价格完全由别的长期证券的价格过程来决定。在这个定价的过程中，我们通常把一个长期证券集的价格过程视为给定而来进行定价。这样就自然产生一个问题：如何确定被我们视为给定的价格过程不存在套利机会？ 价格过程不存在套利机会的充分必要条件是，通过变换概率测度和对价格过程进行某种正规化之后，这些价格过程是鞅过程。无套利和鞅过程之间的这种特殊关系也可以直接用来对衍生证券进行定价。作为一个应用，我们将用这种方法来对期权进行定价，得到期权定价的一种新的方法。
1．二项树模型中的等价鞅测度
在二项树模型中模型
图1一期二项式生成过程
这里
St??=股票在时间t??的价格 q=股票价格上涨的概率 rf=一期的无风险利率
u=股票价格上涨的乘子(u?1?rf?1)
d=股票价格下跌的乘子(0?d?1?1?rf)
在每一期末，股票价格或者以概率q涨为uSt??，或者以概率1?q跌为dSt??。
每期的无风险利率为rf。对rf的限制为u?1?rf?d，这是无套利条件。直观地可以看出，无论是1?rf?u?d（这时，无风险利率总比股票的风险回报率高）还是u?d?1?rf（这时，无风险利率总比股票的风险回报率低），都存在套利机会。
等价鞅测度的含义： 等价的含义：当实际的概率为正时，p也为正。 条件期望直观解释：在某种条件下的期望值。 例子：用密度函数来刻画
例子：在二项树下的条件期望
鞅的含义：
11?puSt????1?p?dSt????St?? Et???St??1?rf1?rf?St?St?i?Et?i??? ?tt?i????1?rf????1?rf?11udEt???ct??pct??1?p?dct?ct?? 1?rf1?rf???ctEt?i?????1?rf?ct?i? ??tt?i?????1?rf???St即，????1?rf????ct和??t???t?0???1?rfn??均是鞅过程。 t????t?0n
等价鞅测度存在性： 定义
p?(1?rf)?du?d，
则
1?p?u?(1?rf)u?d
从p的定义可以看出，无套利条件u?1?rf?d成立当且仅当p大于0而小于1（即，p是概率）。
等价鞅测度唯一性：上面定义的p?格的折现值是鞅）的唯一概率。
(1?rf)?du?d是使得下式成立（即股票和期权价
11?puSt????1?p?dSt????St?? Et???St??1?rf1?rf
（Martingales are associated with “fair” gambles because expected values always equal current values. In finance, this sense of fairness translates into prices and a pricing system with no arbitrage opportunities.） 性质：在一个二项树模型中，股票和无风险证券之间不存在套利机会的充分必要条件是存在唯一的等价鞅测度。 证明：
例子：无套利验证
例子：期货合约的无套利定价
例子：不完备市场的等价鞅测度不唯一。
注：(1) The importance of this proportion to option pricing cannot be overstated. It takes an economic notion of no arbitrage opportunities and transforms it into a mathematical notion of a martingale. As a mathematical notion, theorems can be proven, formulas derived, and computations performed, which would be impossible using the economic notion alone. (2) 推广：利率衍生产品，利率是随机的，以商品为标的物的衍生产品，外汇衍生产品。
2．一般经济系统
2.1 不确定性经济环境 我们考虑一个具有唯一易腐消费品的证券市场经济。如果没有特别地强调，我们用??,F?表示不确定经济环境中具有有限状态的状态空间，用F=?Ft:t?0,1,?T?表示信息结构，对任意t,Ft?FT。和第一章一样，我们假设到时间T，投资者就完全知道真实的状态且F0?{?,?}。证券市场具有N+1种长期证券，以j?0,1,?,N作为指标。长期证券j的特征由其红利过程xj?xj?t?:t?0,1,?,T来刻画，这里xj?t?表示以消费品为单
??位，在时间t支付的随机红利。红利过程适应于F。为使得分析简化，我们不妨假设第0种长期证券直到时间T才支付红利，在时间T，不管哪个状态发生，支付的红利均为一个单位的消费品。从这个假设我们可以看出，第0种证券事实上是一种T期的面值为1的折现债券。 第0种证券在时间t的价格以B(t)表示，B?T??1；而第j（j?1）种证券在时间t的分红后价格以Sj(t)表示。因为价格过程是分红后的价格，所以有Sj?T??0。自然地，我们假设Sj?t?和B?t?是关于Ft可测的。因为在经济均衡中能够确定的只是证券的相对价格，所以不失一般性，我们假设长期证券的价格以唯一的消费品为单位，即消费品的价格为1。
经济中有I个个体，以i?1,2,?,I作为指标。每个个体具有时间可加的效用函数，这
??0???，这个假设保证所有个体都些函数是单调增的、严格凹的、可微的。我们假设uiti选择严格正的消费。我们假设个体的主观概率为Pi?P?:???，并且任意不确定状态
?的概率大于0。我们假设个体拥有的禀赋是长期证券，份额为??0?,?i??iN?0????ji?0??j?1?，
?i?0?表示个体i在时间0拥有的第0种证券的份数。?ji?0?表示个体i在时间0拥有的第
j种证券的份数。为了避免退化情形，我们假设对每个个体i而言，?i?0??0，?ji?0??0且
i存在某个j使得?j?0?>0。
定义1：一个交易策略?是一个N?1维过程
???t?,??t?????t???,
Njj?1这里，??t?和?j?t?分别表示个体在时间t的交易发生前，持有的从时间t-1到时间t的第0种证券和第j证券的份数。 一个交易过程一定是一个可料过程。 我们引入记号
??t????1?t?,?,?N?t??T
定义2：一个消费计划c是一个适应于F的过程：
c??c?t?;t?0,1,?,T?，
这里c?t?表示以唯一消费品为计量单位，个体在时间t的随机消费。
定义3：一个交易策略??,??称为可行的，如果它是可料的且存在一个消费计划c使得，对于任意t有
??t?1?B?t????t?1?TS?t?
这里
???t??S?t??X?t???c?t????t?B?t?， （2-1）
TTS?t???S1?t?,?,SN?t??， TX?t???x1?t?,?,xN?t??。
我们用H表示所有的可行的策略形成地集合。
注：1. 关系（2-1）是一种自然的预算约束：在t期收入（包括证券组合的市场值和红利）用于消费和下一期的投资（购买下一期的证券组合）。
2. 因为B?T??1，且对所有的j而言，Sj(T)?0，所以（2-1）的左边为0，从而（2-1）变成
??T?+??T?TX?T??c?T?
即在期末，所有的财富都用于消费。
3. 在（1-24）中的消费计划c称为是由交易策略(?,?)融资的，以c来表示。我们用C表示所有由可行交易策略融资的消费计划的集合。 4. 因为一个长期证券是由它在每个时间的红利来刻画地，所以我们可以把由可行交易策略融资地消费计划视为长期证券。
2.2 套利、状态价格和鞅 正如我们在前言中提到的一样，本章的主要目的之一在于，给定价格系统?B,S?，如何确定其余衍生资产的价格。因此，我们第一步就是验证这个价格系统是否具有某种意义上的“合理性”，以及为了满足这种合理性该价格系统应该满足的条件。因为对合理性的要求越弱，这种合理性的应用也就越强，所以我们下面给出价格系统为了具有某种合理性应该满足的条件，并使得这个条件尽可能地弱。 从最理想的角度出发，这个价格系统具有的合理性也应该是一个均衡价格系统应该具有的。因为经济中的个体具有非满足性，所以要使得一个价格系统是均衡的，这个价格系统就不能存在套利机会。因此我们把这个均衡价格系统具有的性质作为价格系统?B,S?必须满足的合理性。下面给出目前经济环境中套利机会的严格定义。
??,?? 定义3：一个套利机会指的是由某个可行交易策略(?,?)融资的消费计划c，满足下列条件：
1．c??,????,??是非负的，且至少存在某个时间t，使得c??,??2．??0?B?0????0?TS?0??0 直观上来说，一个套利机会就是不花钱就能进行消费。一个价格系统如果具有套利机会就不可能是一个均衡的价格系统，因为每个非满足的个体都会利用这种套利机会，从而市场不可能是出清的。
在本节剩下的内容里，我们任固定某个个体的主观概率P，所有的计算都在这个
i
i
?t?>0的概率严格为正。
概率之下得到的，为了记号简单，我们简记P为P。
当证券市场不存在套利机会时，任意一种长期证券的价格过程和它的积累红利，如果以第0种证券为单位，具有如下的性质：在任意时间t，它们在将来任意时间的和的条件期望等于它们在时间t的和。这里的期望是某个概率下期望，这个概率不必等同于个体的主观概率，但和个体的主观概率有某种等价性。等价地，长期证券的价格和它的积累红利之和，以第0种证券为单位，在一个新的概率之下是一个鞅过程。因为无套利条件是一个
经济均衡的必要条件，所以每个均衡价格系统都具有这种鞅性质。我们可以证明这种鞅性质也是价格系统不具有套利机会的充分条件。 在具体讨论这些性质之前，我们先给出鞅的定义。
定义4：一个过程Y??Y?t?:t?0,1,?,T?是一个在概率P之下适应于F的鞅，如果对任意s?t有
这里E?Ft表示在概率P之下关于Ft的条件期望。
如果C中 两个消费计划c1，c2分别是由H中的可行策略
??E?Y?s?Ft??Y?t?，
地，则对于任意常数a和b，消费计划ac1+bc2可由策略a?1?b?2,a?1?b?2融资，从而策略a??b?,a??b?是可行的，而ac1+bc2属于C，所以C是所有适应过程形成的空间L的线性子空间。 性质1：价格系统?B,S?无套利当且仅当存在一个严格增的线性函数F:R?L?R，使得对任意c M=?证
??,???1212????,??和??112,?2融资
??? C有
F???0?B?0???T?0?S?0?,c??,???0。
????明：
T我
?,?们设
?,??性空间。从而价格系统?B,S?无套利当且仅当锥R+?L+与线性子空间M的交集是空集。由分离超平面定理，存在一个非零的线性函数F使得，对任意u? M和任意非零的v? R-+?L+有F?u??F?v?。因为M是线性空间，所以对任意u? M有F?u??0，因此对任意非零的v? R+?L+有F?v??0，这说明F是严格增的。
反过来，如果存在由某个可行交易策略(?,?)融资的套利机会c?????0?B?0????0?S?0??,c???:c?? C
?，由于C是线性空间，所以M也是线
R+?L+=
??x,c?:x?0,c?0?，
??,??，则对任意
c??,??? C有
F?(??0???(0))B?0??(?T?0???T(0))S?0?,c????,?????0，
????这导致矛盾。 下面的结果给出了在空间R?L上的线性函数的Riesz表示定理。 引理：对于每个线性函数F:R?L?R，存在唯一的??,??? R?L，使得对任意
?x,c?? R?L有
T??F?x,c??E??x???tc?t??。
t?0??如果F是严格增的，则??,??是严格正的。
为了研究方便，我们把任何严格正的适应过程称为紧缩算子。一个紧缩算子?称为状态-价格紧缩算子，如果对任意t有
?T?S?t??E???jx?j?Ft?
?t???j?t?1?1B?t??E??TFt?
1
（2-2）
（2-3）
?t