作业1
1、四脚呈长方形的椅子在不平的地上能放稳吗？
①问题分析：把椅子往不平的地面上放，通常是只有三只脚触地，放不稳的，然而，只需要稍微的挪动几次，一般都可以使四只脚同时触地。
②模型假设：为了使问题数学化，可以用建模的思想求解，可做如下三种假设。 ⑴椅子的四条腿长度一样，四个椅脚与地面均点接触，四角连线呈长方形。 ⑵地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面。
⑶地面相对平坦，使椅子在任意位置至少有三只脚触地。
③模型构成：解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。
我们很容易注意到，椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转1800后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度?这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题，其图形如图一所示；其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。
yB1CC1D
图一 椅子四只脚旋转示意图
BA1 0θx 容易得知当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是?的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是?的函数。由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是?的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，
1
0 AD1
即这四个函数对于任意的?，其函数值至少有三个同时为0，因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了。因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为h1???，C、D两脚与地面竖直距离之和为h2???，其中?∈[0，π]，从而将原问题数学化。
数学模型：已知h1???和h2???是?的非负连续函数，对任意?，h1????h2???＝0，证明：存在?0∈[0，π]，使得h1??0?＝h2??0?＝0成立。 ④模型求解：
1.如果h1?0?＝h2?0?＝0，那么结论成立。
2.如果h1?0?与h2?0?不同时为零，不妨设h1?0?＞0，h2?0?＝0。这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，h1???＝h2?0?，h2???＝h1?0?。而由h1?0?＞0，h2?0?＝0，得h2???＞0，h1???＝0。
令H???＝h1???－h2???，由h1???和h2???的连续性知H???也是连续函数。又H?0?＝h1?0?－h2?0?＞0，H???＝h1???－h2???＜0，,根据连续函数介值定理，必存在?0∈（0，π）使得H??0?＝0，即h1??0?＝h2??0? ；
又因为h1??0??h2??0?＝0，所以h1??0?＝h2??0?＝0。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。
2、有四个商人带四个随从过河，船只能容纳2人,由人划。随从们密约：一旦河的任一岸随从数比商人多，就杀商人。但是乘船渡河的方案由商人决定，且商人已获知该密约，问商人们怎样安全过河？（写出模型即可） 问题分析：多步决策过程
决策：每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求：在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多） 目标：经有限步使全体人员过河
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模型构成：
xk~第k次渡河前此岸的商人数 xk,yk?0,1,2, 3,3, yk~第k次渡河前此岸的随从数 k?1,2,?sk?(xk,yk)~过程的状态 S~允许状态集合
S={(x, y)|x =0, y =0,1,2,3,4; x =4,y =0,1,2,3,4; x =y =1,2,3}
uk~第k次渡船上的商人数 uk,vk?0,1, 23, vk~第k次渡船上的随从数 k?1,2,?dk?(uk,vk)~决策 D={(u,v)|u+v=1,2}~允许决策集合
sk?1?sk?(?1)kdk ~状态转移律 多步决策问题：
求dk?D(k?1,2,?n),使sk?S按转移律由s1?(4,4)到达sk?1?(0,0).
作业2
请举例说明数学建模解决工程研究问题（或者实际生活问题）的例子。有完整的解决过程最好，没有的话，提出问题也可以（只要你认为是可以通过数学建模去解决的）
通过数学建模解决污水处理问题
问题说明：
如图1，有若干工厂的污水经排污口流入某江，各口均有污水处理站，处理站对面是居民点，工厂1上游的江水流量和污水浓度、国家标准规定的水污染浓度以及各个工厂的污水流量和污水浓度均为已知。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差及污水流量成正比，每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用(称处理系数)为已知.处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，江水会使污水浓度降低一个比例系数(称自净系数，该系数可以估计)，试确定各污水处理厂出口的污水浓度在符合国家标准规定的条件下为多少时总费用最小。
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工厂1工厂2工厂3处理站1处理站2处理站3 江水居民点1居民点2居民点3
图1 沿江污水处理点与居民点分布图
对此问题，我们应先建立一般情况的数学模型再求具体问题。设上游江水流量为1000?1012L/min，污水浓度为0.8mg/L，3个工厂的污水流量均为
5?1012L/min，污水浓度(从上游到下游排列)分别为100 mg/ L, 60 mg/ L, 50 mg/
1210L/min???mg/L??L，处理系数均为1万元/????，3个工厂之间两段江面的自净
系数(从上游到下游)分别为0.9和0.6国家标准规定水的污染浓度不能超过
1mg/L。
问题分析：
将上述情况分为两个问题来解决，问题1：使江面上所有地段的污水达到国家标准，最少需要花费多少？问题2：如果只要求三个居民点上游的污水达到国家标准，最少需要花费多少？根据上文假设知，三个工厂污水总量均为
5?1012L/min，从上游到下游工厂污水浓度分别为100 mg/ L, 60 mg/ L和50 mg/
L，上游流量为1000?1012L/min，上游污水浓度为0.8mg/L，3个工厂之间的两段江面的自净系数(上游至下游)为0. 9和0. 6.根据污水处理费用与污水处理前后的浓度关系可以得出z?v??c，式中：z为污水处理费用，?c为处理前后的污水浓度差，v为污水流量。由假设知处理系数均为1万元，得k= 1，污水经工厂处
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理站处理后与江水混合流入对面居民点。问题1：如果使江面上所有地段的污水均达到国家标准，那么各居民点污水的污染浓度均不得超过国家标准(1mg/L)。问题2：要求三个居民点上游的水污染达标，即江水流入各居民点之前均达到国家污水标准.
在分析过程中作如下假设：(1)假设处理前后污水中的杂质均匀地分布在水中。(2)假设污水和江水混合后水的总量不变。(3)假设除工厂外没有其他污染源. (4)假设处理过程不受人为因素的影响。 模型的建立与求解：
在问题1中，为了得到所在地段水质都达标的情况下的费用最低方案，得如下方程：
12Min??100?x?60?x?50?x?5?10? ??????123??式中x1，x2，x3分别为工厂1，2，3排出的污水经污水处理厂处理后的污水浓度。
（1）当江水流过工厂1的处理厂时，江水的浓度为0.8mg/L，流量为
1000?1012L/min。问题要求所有地段污水都达标，即排出的污水与江水混合也
要达标，也就是说混合后的浓度不超过国家标准，约束条件为：
y11000?10??12?0.8?5?1012?x1?1000?1012?5?1012?1
（2）工厂1的污水与江水混合后浓度变为y1，混合后的江水与工厂2处的污水再混合后的浓度也要达标.约束条件为：
y2?y1?0.9??1000?1012?0.8?5?1012?x1??5?1012?x21000?1012?2?5?1012?1
( 3)同理，工厂3处混合后的污水浓度达标的约束条件为：
y3?y2?0.6??1000?1012?0.8?5?1012?x1??5?1012?x31000?10?3?5?101212?1
(4)考虑到与实际问题的一致性，处理厂排出的污水浓度x1，x2，x3必须小于工厂排出的污水浓度，即x1?100mg/L,x2?60mg/L,x3?50mg/L，此时xi为工
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厂排出的污水经处理厂处理后的浓度(i= 1,2,3)，yi为处理厂排出的污水与江水混合的后的浓度(i= 1, 2, 3)，利用lingo软件求解，编写程序如下：
min??100?x1?60?x2?50?x3??5;?1000?0.8?5?x1?/1005?y1;y1?1;?y1?0.9?1005?5?x2?/1010?y2;y2?1;?y2?0.6?1010?5?x3?/1015?y3;y3?1;x1?100;x2?60;x3?50;
运行知，在满足问题1的要求时，3个污水处理厂排出的污水浓度分别是
41mg/L,21.1mg/L和50mg/L，此时，污水与江水混合后的浓度分别为1mg/L,1mg/L和0.84mg/L，此时可计算得出最低费用为489.5万元。
在问题2中，只要求3个居民点上游的污水浓度达到国家标准，即不需要考虑处理厂排出的污水与江水混合后的浓度，只要在江水流过下一个居民区时，水质达标就可以了.可建立如下方程：
??12?Min??100?x?60?x?5?10; ????12??（1）工厂1的上游水流过居民区时，满足题目要求，即污水与江水混合后，通过江水的自净功能，到达居民点2时水质达标就可以。居民点2处的江水浓度
?的约束条件为： y11000?1012?0.8?5?1012?x1y??1
1000?1012?5?1012?1(2)从居民点2处流过的江水与工厂3的处理厂排出的污水混合后水质依然
?要达标.即y2的约束条件为：
?y1??1000?1012?0.8?5?1012?x2y??1
1000?1012?2?5?1012?2( 3)与实际一致，污水与江水混合后的浓度要低于工厂排出的污水浓度，即x1?
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???和x2的约束条件为：x1?100,x2?60；
利用lingo软件求解，编写程序如下：
?min??100?x1???5??60?x2??5;?1000?0.8?5?x1??0.9/1005?y1?;y1??1;?y?1005?5?x??0.6/1010?y;
?1?2?2?y2?1;x1??100;?x2?60;运行知，满足问题2的要求时，污水处理厂1排出的污水浓度为63. 3 mg/ L，污水处理厂2排出的污水浓度为60 mg/ L，而工厂3的污水可不经过处理直接排入江中.污水与江水混合后在达到第二、三个居民区时江水浓度分别为1 mg/ L和0. 78 mg/ L。进而计算得污水处理费用为183. 3万元.
通过上述污水处理问题的数学模型的建立过程可以看到，利用数学建模解决实际问题的基本过程体现了数学思想与数学软件相结合处理实际问题的方便之处.理解数学建模的作用有利于进一步推动数学思想与专业问题的结合。
参考文献
[1] 薛毅.数学建模基础[M]．北京：北京工业大学出版社，2004：3-4.
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[5]谭永基等．经济管理数学模型案例教程[M]．高等教育出版社，2006
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作业3
飞机货舱分为5个区域，每个区域的最大载重（吨）及最大容积(米3)如下表所示
货舱1 货舱2 货舱3 货舱4 货舱5 最大载重 (吨) 10 12 15 10 8 最大容积 (米3) 6800 7600 8700 6800 5300 飞机平衡要求五个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例。
现有8种货物待运输，假定每种货物可以分割到任意小，可以在一个或多个货舱中任意分布且多种货物可以混装，8种货物信息如下表所示，问如何装载使本次飞行获利最大？
货物1 货物2 货物3 货物4 货物5 货物6 货物7 货物8 重量 (吨) 10 12 8 15 23 18 20 12 空间 (米3/吨) 利润 (元/吨) 680 650 400 700 580 550 200 390 3100 3800 3000 4000 3500 2800 1400 2850 此题中已经给出假设：
①每种货物可以分割到任意小；
②每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布； ③多种货物可以混装，并保证不留空隙。 模型建立：
决策变量：用xij表示第i种货物装入第j个货仓的重量（吨），i=1，2，3，
8
4，5，6，7，8；j=1，2，3，4，5；
决策目标可获得的最大总利润，即目标函数
Maxz?3100(x11?x12?x13?x14?x15)?3800(x21?x22?x23?x24?x25)?3000(x31?x32?x33?x34?x35)?4000(x41?x42?x43?x44?x45)?3500(x51?x52?x53?x54?x55)?2800(x61?x62?x63?x64?x65)?1400(x71?x72?x73?x74?x75)?2850(x81?x82?x83?x84?x85)约束条件有以下四个：
⑴供装载的八种货物的总重量约束：
x11?x12?x13?x14?x15?10x21?x22?x23?x24?x25?12x31?x32?x33?x34?x35?8x41?x42?x43?x44?x45?15x51?x52?x53?x54?x55?23 x61?x62?x63?x64?x65?18x71?x72?x73?x74?x75?20x81?x82?x83?x84?x85?12⑵五个货仓的重量限制：
x11?x21?x31?x41?x51?x61?x71?x81?10x12?x22?x32?x42?x52?x62?x72?x82?12x13?x23?x33?x43?x53?x63?x73?x83?15x14?x24?x34?x44?x54?x64?x74?x84?10x15?x25?x35?x45?x55?x65?x75?x85?8⑶五个货仓的空间限制：
680x11?650x21?400x31?700x41?580x51?550x61?200x71?390x81?6800
680x12?650x22?400x32?700x42?580x52?550x62?200x72?390x82?7600680x13?650x23?400x33?700x43?580x53?550x63?200x73?390x83?8700680x14?650x24?400x34?700x44?580x54?550x64?200x74?390x84?6800680x15?650x25?400x35?700x45?580x55?550x65?200x75?390x85?5300⑷五个货仓装入重量的平衡约束：
x11?x21?x31?x41?x51?x61?x71?x81x12?x22?x32?x42?x52?x62?x72?x82?1012x?x?x?x?x?x?x?xx?x?x?x?x?x?x?x?1323334353637383?14243444546474841510x15?x25?x35?x45?x55?x65?x75?x85?8
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x11到x85这40个变量都是非负数才有实际意义，即
x11???x85?0
编程得到： 【LINGO命令】 Model:
max=3100*(x11+x12+x13+x14+x15)+3800*(x21+x22+x23+x24+x25)+3000*(x31+x32+x33+x34+x35)+4000*(x41+x42+x43+x44+x45)+3500*(x51+x52+x53+x54+x55)+2800*(x61+x62+x63+x64+x65)+1400*(x71+x72+x73+x74+x75)+2850*(x81+x82+x83+x84+x85); x11+x12+x13+x14+x15<=10; x21+x22+x23+x24+x25<=12; x31+x32+x33+x34+x35<=8; x41+x42+x43+x44+x45<=15; x51+x52+x53+x54+x55<=23; x61+x62+x63+x64+x65<=18; x71+x72+x73+x74+x75<=20; x81+x82+x83+x84+x85<=12;
x11+x21+x31+x41+x51+x61+x71+x81<=10; x12+x22+x33+x44+x55+x62+x72+x82<=12; x13+x23+x33+x43+x53+x63+x73+x83<=15; x14+x24+x34+x44+x54+x64+x74+x84<=10; x15+x25+x35+x45+x55+x65+x75+x85<=8;
680*x11+650*x21+400*x31+700*x41+580*x51+550*x61+200*x71+390*x81<=6800;
10
680*x12+650*x22+400*x32+700*x42+580*x52+550*x62+200*x72+390*x82<=7600;
680*x13+650*x23+400*x33+700*x43+580*x53+550*x63+200*x73+390*x83<=8700;
680*x14+650*x24+400*x34+700*x44+580*x54+550*x64+200*x74+390*x84<=6800;
680*x15+650*x25+400*x35+700*x45+580*x55+550*x65+200*x75+390*x85<=5300;
(x11+x21+x31+x41+x51+x61+x71+x81)/10=(x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72+x82)/12;
(x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72+x82)/12=(x13+x23+x33+x43+x53+x63+x73+x83)/15;
(x13+x23+x33+x43+x53+x63+x73+x83)/15=(x14+x24+x34+x44+x54+x64+x74+x84)/10;
(x14+x24+x34+x44+x54+x64+x74+x84)/10=(x15+x25+x35+x45+x55+x65+x75+x85)/8;
x11>=0;x12>=0;x13>=0;x14>=0;x15>=0;x21>=0;x22>=0;x23>=0;x24>=0;x25>=0;x31>=0;x32>=0;x33>=0;x34>=0;x35>=0;x41>=0;x42>=0;x43>=0;x44>=0;x45>=0;x51>=0;x52>=0;x53>=0;x54>=0;x55>=0;x61>=0;x62>=0;x63>=0;x64>=0;x65>=0;x71>=0;x72>=0;x73>=0;x74>=0;x75>=0;x81>=0;x82>=0;x83>=0;x84>=0;x85>=0; end
11
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Global optimal solution found.
Objective value: 201600.0 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 34
Variable Value Reduced Cost X11 0.000000 0.000000 X12 0.000000 0.000000 X13 0.000000 55.55556
13
X14 5.000000 0.000000 X15 0.000000 0.000000 X21 6.666667 0.000000 X22 5.333333 0.000000 X23 0.000000 38.88889 X24 0.000000 0.000000 X25 0.000000 0.000000 X31 0.000000 100.0000 X32 0.000000 100.0000 X33 0.000000 0.000000 X34 0.000000 100.0000 X35 0.000000 100.0000 X41 3.111111 0.000000 X42 2.222222 0.000000 X43 0.000000 66.66667 X44 4.166667 0.000000 X45 5.500000 0.000000 X51 0.2222222 0.000000 X52 4.444444 0.000000 X53 15.00000 0.000000 X54 0.8333333 0.000000 X55 2.500000 0.000000 X61 0.000000 300.0000 X62 0.000000 300.0000 X63 0.000000 283.3333 X64 0.000000 300.0000 X65 0.000000 300.0000 X71 0.000000 1700.000 X72 0.000000 1700.000 X73 0.000000 1488.889 X74 0.000000 1700.000 X75 0.000000 1700.000 X81 0.000000 250.0000 X82 0.000000 250.0000 X83 0.000000 144.4444 X84 0.000000 250.0000 X85 0.000000 250.0000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 201600.0 1.000000 2 5.000000 0.000000 3 0.000000 700.0000 4 8.000000 0.000000 5 0.000000 900.0000
14
6 0.000000 400.0000 7 18.00000 0.000000 8 20.00000 0.000000 9 12.00000 0.000000 10 0.000000 3100.000 11 0.000000 0.000000 12 0.000000 5257.778 13 0.000000 3100.000 14 0.000000 3100.000 15 160.0000 0.000000 16 0.000000 0.000000 17 0.000000 0.5555556 18 0.000000 0.000000 19 0.000000 0.000000 20 0.000000 0.000000 21 0.000000 37200.00 22 0.000000 0.000000 23 0.000000 0.000000 24 0.000000 0.000000 25 0.000000 0.000000 26 0.000000 0.000000 27 5.000000 0.000000 28 0.000000 0.000000 29 6.666667 0.000000 30 5.333333 0.000000 31 0.000000 0.000000 32 0.000000 0.000000 33 0.000000 0.000000 34 0.000000 0.000000 35 0.000000 0.000000 36 0.000000 0.000000 37 0.000000 0.000000 38 0.000000 0.000000 39 3.111111 0.000000 40 2.222222 0.000000 41 0.000000 0.000000 42 4.166667 0.000000 43 5.500000 0.000000 44 0.2222222 0.000000 45 4.444444 0.000000 46 15.00000 0.000000 47 0.8333333 0.000000 48 2.500000 0.000000 49 0.000000 0.000000
15
50 0.000000 0.000000 51 0.000000 0.000000 52 0.000000 0.000000 53 0.000000 0.000000 54 0.000000 0.000000 55 0.000000 0.000000 56 0.000000 0.000000 57 0.000000 0.000000 58 0.000000 0.000000 59 0.000000 0.000000 60 0.000000 0.000000 61 0.000000 0.000000 62 0.000000 0.000000 63 0.000000 0.000000
实验结果分析：第一种货物装在第四个货仓为5吨，第二种货物装在第一个货仓为6.666667吨，第二种货物装在第二个货仓为5.333333吨，第四种货物装在第一个货仓为3.111111吨，第四种货物装在第二个货仓为2.222222吨，第四种货物装在第四个货仓为4.166667吨，第四种货物装在第五个货仓为5.500000吨，第五种货物装在第一个货仓为0.2222222吨，第五种货物装在第二个货仓为4.444444吨，第五种货物装在第三个货仓为15吨，第五种货物装在第四个货仓为0.8333333吨，第五种货物装在第五个货仓为2.500000吨。获得的总利润为201600.0元。
作业4
有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每个人做各项工作所消耗的时间如表。问应该如何指派，才能使总的消耗时间为最小？
16
工作 所耗时间 A B C D 甲 乙 丙 丁 模型建立：
15 19 26 19 18 23 17 21 21 22 16 23 24 18 19 17 当 xij = 1时派第 i人去完成第j项工作；当 xij = 0时不指派第 i人去完成第j项工作，i,j= 1,2,3,4。这可以表示为一个0--1整数规划问题：
Minz?15x11?18x12?21x13?24x14?19x21?23x22?22x23?18x24?26x31?17x32?16x33?19x34?19x41?21x42?23x43?17x44约束条件：
甲﹑乙﹑丙﹑丁四个人每个人有且仅能干一样工作，其约束条件为：
x11?x12?x13?x14?1x21?x22?x23?x24?1x31?x32?x33?x34?1x41?x42?x43?x44?1A﹑B﹑C﹑D四种工作，每种工作只能一个人干，其约束条件为：
x11?x21?x31?x41?1x12?x22?x32?x42?1x13?x23?x33?x43?1x14?x24?x34?x44?1编程得到： 【LINGO命令】 Model:
min=15*x11+18*x12+21*x13+24*x14+19*x21+23*x22+22*x23+18*x24+
17
26*x31+17*x32+16*x33+19*x34+19*x41+21*x42+23*x43+17*x44; x11+x12+x13+x14=1; x21+x22+x23+x24=1; x31+x32+x33+x34=1; x41+x42+x43+x44=1; x11+x21+x31+x41=1; x12+x22+x32+x42=1; x13+x23+x33+x43=1; x14+x24+x34+x44=1;
@BIN(x11);@BIN(x12);@BIN(x13);@BIN(x14); @BIN(x21);@BIN(x22);@BIN(x23);@BIN(x24); @BIN(x31);@BIN(x32);@BIN(x33);@BIN(x34); @BIN(x41);@BIN(x42);@BIN(x43);@BIN(x44); end
18
Global optimal solution found.
Objective value: 70.00000 Objective bound: 70.00000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost X11 0.000000 15.00000 X12 1.000000 18.00000 X13 0.000000 21.00000 X14 0.000000 24.00000 X21 1.000000 19.00000 X22 0.000000 23.00000 X23 0.000000 22.00000 X24 0.000000 18.00000 X31 0.000000 26.00000 X32 0.000000 17.00000 X33 1.000000 16.00000 X34 0.000000 19.00000 X41 0.000000 19.00000 X42 0.000000 21.00000 X43 0.000000 23.00000 X44 1.000000 17.00000
Row Slack or Surplus Dual Price
19
1 70.00000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000
实验结果分析：让甲去做B工作，让乙去做A工作，让丙去做C工作，让丁去做D工作，可以得到总耗时的最小值70。
作业5
利用层次分析方法，针对某个实际问题（报考院校选取、旅游地点选取、物品购买选取等）开展建模分析
某位学生打算外出旅游, 有三个地方景点是他所比较喜爱的, 假定他要考虑5个因素: 费用、景色、居住条件、饮食以及旅游条件。因为该学生没有固定收入, 他对费用最为看重, 其次是旅游点的景色, 至于旅游条件、饮食, 差不多就行。 这四个旅游点没有一个具有明显的优势, 而是各有优劣. 该同学拿不定主意, 请用层次分析法帮助他找出最佳旅游点。 1、利用层次分析法构造层次分析模型：
目标层 景点选择准则层 景色 费用 居住条件 饮食 旅游条件 方案层 丽江 张家界 衡山
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2、列表
主要影响因素对比 费用 费用 1 景色 1/2 居住条件 1/9 饮食 1/4 旅游条件 1/5 景色 2 1 1/4 1/3 1/2 居住条件 9 4 1 3 2 饮食 4 3 1/3 1 1 旅游条件 5 2 1/2 1 1 3.构造成对比较判断矩阵
(1) 建立准则层对目标层的成对比较判断矩阵
2945??1??2??1/2143A??1/91/411/31/2? 由于a12?a23?a13，因此该矩阵不一致，此时其最
??1??1/41/331?1/51/2211???其特征值?max?5.0549?5，对应权值量为
?1?(0.4803,0.2470,0.0510,0.1142,0.1075)TCI?CR??max?nn?1?max?n?
n?15.0549?5CI???0.0137?0.1?1.12?0.1125?1因此认为其一致性可以接受。
（2）准则层关于方案层的成对比较判断矩阵
2?1?B1??1/31?1/31/2?1?1?B4??11?1/21/2?3??2?1??2??2?1??3?1?B2??1/31?1/51/2?2?1?B5??1/31?1/61/3?5??2?1??6??3?1??34??1??B3??1/313??1/41/31???
计算可求得最大特征值与对应的权向量分别为：
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?(1)max?3.0092?(2)max? 3.0037?(3)max? 3.0375?(4)max? 3.0000?(5)max? 3.0000由于CI??1?(0.5396,0.2970,0.1634)T?2?(0.6483,0.2297,0.1220)T?3?(0.6144,0.2684,0.1172)T ?4?(0.4000,0.4000,0.2000)T?5?(0.6000,0.3000,0.1000)T?0.1?0.58(k?1,2,3,4,5)，因此他们的一致性可以接受。
?max?3(k)n?3则可得方案yi受准则因素xj影响的权重矩阵
?0.53960.64830.61440.40000.6000??yi,xj???0.29700.22970.26840.40000.3000?? ??0.16340.12200.11720.20000.1000??设三个方案y1,y2,y3在决策f中的权重向量为
wfy??wfy1,wfy2,wfy3?T则5wfy1??wy1,xj?w1jj?1??0.5396,0.6483,0.6144,0.4000,0.6000???1?0.56085wfy2??wy2,xj?w1j
j?1??0.2970,0.2297,0.2684,0.4000,0.3000???1?0.29105wfy3??wy3,xj?w1jj?1??0.1634,0.1220,0.1172,0.2000,0.1000???1?0.1482其中w1j表示向量w1的第j元素。
综上所述，方案y1即选择丽江为令人满意的决策。
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