2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页，满分150分。考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和
答题卡一并交回。 参考公式：
柱体的体积公式：V?Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。
圆柱的侧面积公式：S?cl，其中c是圆柱的底面周长，l是圆柱的母线长。
球的体积公式：V?4?R3，其中R是球的半径。 32球的表面积公式：S?4?R，其中R是球的半径。
??用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b?xy?nxyiii?1nn?xi?124?nx2??y?bx， ,a如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要
求的． 1．设集合 M ={x|x?x?6?0}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =
A．[1,2）
B．[1,2]
C．[2,3]
D．[2,3]
22．复数z=
2?i（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为 2?iB．第二象限
xA．第一象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若点（a,9）在函数y?3的图象上，则tan=
a?的值为 6C．1
D．3 A．0 B．
3 34．不等式|x?5|?|x?3|?10的解集是
A．[-5，7]
B．[-4，6]
C．???,?5???7,??? D．???,?4???6,???
5．对于函数y?f(x),x?R,“y?|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的
A．充分而不必要条件 C．充要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要
1
6．若函数f(x)?sin?x (ω>0)在区间?0, A．3
B．2
???????上单调递增，在区间,?上单调递减，则ω= ???3??32?C．
3 23 39
D．
2 37．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
2 广告费用x（万元） 4
49 26 销售额y（万元）
5
54
?为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ??a??bx?中的b根据上表可得回归方程y
A．63．6万元
B．65．5万元
C．67．7万元
D．72．0万元
x2y28．已知双曲线2?2?1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C:x2?y2?6x?5?0相切,且双曲线的右焦点
ab为圆C的圆心,则该双曲线的方程为
x2y2??1 A．
549．函数y?x2y2??1 B．
45x2y2x2y2??1 D．??1 C．
3663x?2sinx的图象大致是 2
10．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0?x?2时,f(x)?x3?x,则函数y?f(x)的图象
在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为 A．6
B．7
C．8
D．9
11．右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，
其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命 题的个数是 A．3 B．2 C．1 D．0
????????????????12．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A，AA?A1A3??A1A2 （λ∈R）14?A12（μ∈R），且
1??1??2,则称A3，A4调和分割A1，A2 ,已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面
说法正确的是
A．C可能是线段AB的中点
2
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
第II卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是 14．若(x?ax2)6展开式的常数项为60，则常数a的值为 .
15．设函数f(x)?f1(x)?f2(x)?f3(x)?f4(x)?x(x?0),观察: x?2xf(x)?,
x?2xf(f1(x))?,
3x?4xf(f2(x))?,
7x?8xf(f3(x))?,
15x?16??
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n?N且n?2时，fn(x)?f(fn?1(x))? . 16．已知函数f（x）=logax?x?b(a＞0，且a?1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点
*x0?(n,n?1),n?N则,? = . n
三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分）
在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
cosA-2cosC2c-a=．
cosBbsinC的值； sinA1 （II）若cosB=，b=2，?ABC的面积S。
4 （I）求
18．（本小题满分12分）
红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。 （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
3
（Ⅱ）用?表示红队队员获胜的总盘数，求?的分布列和数学期望E?.
19．（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.
（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小． 20．（本小题满分12分）
等比数列?an?中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列．
ＥＧ
第一列 第二列 第三列 4
第一行 第二行 第三行 3 6 9 2 4 8 10 14 18 （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）若数列?bn?满足：bn?an?(?1)lnan，求数列?bn?的前n项和Sn．
21．（本小题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均
为半球形，按照设计要求容器的体积为
80?立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有3关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元，设该容器的建造费用为y千元．
（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．
22．（本小题满分14分）
x2y2??1交于P?x1,y1?、Q?x2,y2?两不同点，且△OPQ的面积已知动直线l与椭圆C: 32 5
S?OPQ=
6,其中O为坐标原点. 2（Ⅰ）证明x12?x22和y12?y22均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|?|PQ|的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得S?ODE?S?ODG?S?OEG?不存在，请说明理由.
6?若存在，判断△DEG的形状；若2
一、选择题 二、填空题
参考答案
1—12 ADDDBCBACBAD 13．68 14．4 15．
x(2n?1)x?2n 16．2 6
三、解答题 17．解：
（I）由正弦定理，设
asinA?bsinB?csinC?k, 则2c?a2ksinC?ksinA2sinC?sinAb?ksinB?sinB, 所以
cosA?2cosC2sinC?sinAcosB?sinB. 即(cosA?2cosC)sinB?(2sinC?sinA)cosB， 化简可得sin(A?B)?2sin(B?C). 又A?B?C??，
所以sinC?2sinA
因此sinCsinA?2. （II）由
sinCsinA?2得c?2a. 由余弦定理
b2?a2?c2?2accosB及cosB?14,b?2,
得4=a2?4a2?4a2?14.解得a=1。 因此c=2 又因为cosB?14,且G?B??. 所以sinB?154. 因此S?12acsinB?12?1?2?154?154.
18．解：（I）设甲胜A的事件为D，
乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则?D?,?E?,?F?分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件。因为P(D)?0.6,P(E)?0.5,P(F)?0.5, 由对立事件的概率公式知
P(?D?)?0.4,P(?E?)?0.5,P(?F?)?0.5,
红队至少两人获胜的事件有：
DEF??,DEF??,?DEF?,DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
7
因此红队至少两人获胜的概率为
??????P?P(DEF)?P(DEF)?P(DEF)?P(DEF)?0.6?0.5?0.5?0.6?0.5?0.5?0.4?0.5?0.5?0.6?0.5?0.5 ?0.55. （II）由题意知?可能的取值为0，1，2，3。
又由（I）知?DEF?,?DEF???,DEF????是两两互斥事件，
且各盘比赛的结果相互独立，
因此P(??0)?P(?DEF?????)?0.4?0.5?0.5?0.1, P(??1)?P(?DEF???)?P(?DEF???)?P(DEF????)
?0.4?0.5?0.5?0.4?0.5?0.5?0.6?0.5?0.5?0.35
P(??3)?P(DEF)?0.6?0.5?0.5?0.15.
由对立事件的概率公式得
P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3)?0.4,所以?的分布列为：
?
0 1 P
0．1
0．35
因此E??0?0.1?1?0.35?2?0.4?3?0.15?1.6. 19．（I）证法一：
因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，?ACB?90?，
所以?EGF?90?,?ABC∽?EFG. 由于AB=2EF， 因此，BC=2FC，
连接AF，由于FG//BC，FG?12BC, 在?ABCD中，M是线段AD的中点， 则AM//BC，且AM?12BC, 因此FG//AM且FG=AM，
所以四边形AFGM为平行四边形， 因此GM//FA。
又FA?平面ABFE，GM?平面ABFE， 所以GM//平面AB。
2 3 0．4
0．15
8
证法二：
因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，?ACB?90?， 所以?EGF?90?,?ABC∽?EFG.
由于AB=2EF， 因此，BC=2FC，
取BC的中点N，连接GN，
因此四边形BNGF为平行四边形， 所以GN//FB，
在?ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN， 则MN//AB， 因为MN?GN?N, 所以平面GMN//平面ABFE。 又GM?平面GMN， 所以GM//平面ABFE。 （II）解法一：
因为?ACB?90?,所以?CAD=90?，
又EA?平面ABCD，
所以AC，AD，AE两两垂直，
分别以AC，AD，AE所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所法的空间直角坐标系， 不妨设AC?BC?2AE?2,
则由题意得A（0，0，0，），B（2，-2，0），C（2，0，0，），1），
E（0，0，
????????所以AB?(2,?2,0),BC?(0,2,0),
1AB, 2????所以F(1,?1,1),BF?(?1,1,1).
又EF?设平面BFC的法向量为m?(x1,y1,z1),
????????则m?BC?0,m?BF?0,
?y1?0,所以?取z1?1得x1?1,
x?z,?11所以m?(1,0,1),
设平面ABF的法向量为n?(x2,y2,z2)，
????????则n?AB?0,n?BF?0,
所以?
?x2?y2,取y2?1,得x2?1,
?z2?0,9
则n?(1,1,0)，
所以cosm,n?m?n1|m|?|n|?2.
因此二面角A—BF—C的大小为60?. 解法二：
由题意知，平面ABFE?平面ABCD， 取AB的中点H，连接CH， 因为AC=BC， 所以CH?AB， 则CH?平面ABFE，
过H向BF引垂线交BF于R，连接CR， 则CR?BF.
所以?HRC为二面角A—BF—C的平面角。 由题意，不妨设AC=BC=2AE=2。 在直角梯形ABFE中，连接FH， 则FH?AB，又AB?22, 所以HF?AE?1,BH?2,
因此在Rt?BHF中，HR?63. 由于CH?12AB?2, 所以在Rt?CHR中，tan?HRC?26?3, 3因此二面角A—BF—C的大小为60?.
20．解：（I）当a1?3时，不合题意；
当a1?2时，当且仅当a2?6,a3?18时，符合题意；当a1?10时，不合题意。 因此a1?2,a2?6,a3?18, 所以公式q=3， 故a?1n?2?3n.
（II）因为bn?an?(?1)nlnan
10
?2?3n?1?(?1)n(2?3n?1)?2?3n?1?(?1)n[ln2?(n?1)ln3]?2?3n?1?(?1)n(ln2?ln3)?(?1)nnln3,所以
S2n?2(1?3???32n?1)?[?1?1?1???(?1)2n](ln2?ln3)?[?1?2?5???(?1)nn]ln3, 所
以
当n为偶数时，S1?3nn?2?1?3?n2ln3 ?3n?n2ln3?1;
当n为奇数时，S1?3nn?2?1?3?(ln2?ln3)?(n?12?n)ln3 ?3n?n?12ln3?ln2?1. 综上所述，
?3n?nln3?S???1,n为偶数?2n
?3n-n?1??2ln3-ln2-1,n为奇数21．解：（I）设容器的容积为V，
由题意知V??r2l?43?r3,又V?80?3, V?4?r3故l?3?r2?803r2?44203r?3(r2?r) 由于l?2r 因此0?r?2.
所以建造费用y?2?rl?3?4?r2c?2?r?4(202?r)?3?4?r23rc, 因此y?4?(c?2)r2?160?r,0?r?2. （II）由（I）得y'?8?(c?2)r?160?8?(c?2)r2?r2(r3?20c?2),0?r?2. 由于c?3,所以c?2?0,
当r3?20c?2?0时,r?320c?2. 令320c?2?m,则m?0 所以y'?8?(c?2)r2(r?m)(r2?rm?m2).
11
（1）当0?m?2即c?92时， 当r=m时,y'=0;当r?(0,m)时,y'<0; 当r?(m,2)时,y'>0.所以r?m是函数y的极小值点，也是最小值点。 （2）当m?2即3?c?92时， 当r?(0,2)时,y'?0,函数单调递减， 所以r=2是函数y的最小值点， 综上所述，当3?c?92时，建造费用最小时r?2; 当c?92时，建造费用最小时r?320c?2. 22．（I）解：（1）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x2?x1,y2??y1. 因为P(x1,y1)在椭圆上，
x2因此13?y212?1 ①
又因为S6?OPQ?2, 所以|x|?61|?|y12. ②
由①、②得|x61|?2,|y1|?1. 此时x2x2221?2?3,y1?y2?2,
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?kx?m,
由题意知m?0，将其代入x2y23?2?1，得 (2?3k2)x2?6kmx?3(m2?2)?0，
其中??36k2m2?12(2?3k2)(m2?2)?0, 即3k2?2?m2
…………（*）
12
又x6km1?x2??2?3k2,x3(m2?2)1x2?2?3k2, 所以|PQ|?1?k2?(x2x2263k2?2?m21?x2)?4x12?1?k?2?3k2,
因为点O到直线l的距离为d?|m|1?k2, 所以S?OPQ?12|PQ|?d 2?13k?2?m2226|m|21?k?2?3k2?1?k2 ?6|m|3k2?2?m22?3k2 又S6?OPQ?2, 整理得3k2?2?2m2,且符合（*）式，
6km2此时x2?x2?(x223(m121?x2)?2x1x2?(?2?3k2)?2??2)2?3k2?3, y2221?y2?23(3?x)?222213(3?x2)?4?3(x21?x2)?2. 综上所述，x2?x2212?3;y21?y2?2,结论成立。
II）解法一：
1）当直线l的斜率存在时，
由（I）知|OM|?|x61|?2,|PQ|?2|y1|?2, 因此|OM|?|PQ|?62?2?6. 2）当直线l的斜率存在时，由（I）知
x1?x23k2?2m, y1?y2x1?x22?k(3k2?3k2?2m2?2)?m??2m?m?2m?m,|OM|2?(x1?x22)2?(y1?y229k216m2?2112)?4m2?m2?4m2?2(3?m2),
22|PQ|2?(1?k2)24(3k?2?m)2(2m2?1)1(2?3k2)2?m2?2(2?m2),13
（ （ （
所以|OM|2?|PQ|2?12?(3?11m2)?2?(2?m2) ?(3?1m2)(2?1m2) 3?11 ?(m2?2?m2)22?254.所以|OM|?|PQ|?52，当且仅当3?11m2?2?m2,即m??2时，等号成立. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为52.
解法二：
因为4|OM|2?|PQ|2?(x21?x2)?(y1?y2)2?(x22?x1)?(y2?y1)2 ?2[(x2?x222
12)?(y1?y2)]?10.
所以2|OM|?|PQ|?4|OM|2?|PQ|22?105?5. 即|OM|?|PQ|?52,当且仅当2|OM|?|PQ|?5时等号成立。 因此 |OM|·|PQ|的最大值为52.
（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S?ODE?S?ODG?S?OEG?62. 证明：假设存在D(u,v),E(x61,y1),G(x2,y2)满足S?ODE?S?ODG?S?OEG?2，由（I）得
u2?x22x2221?3,u2?x2?3,x21?2?3;v2?y21?2,v2?y2?2,y21?y2?2,解得u2?x2232221?x2?2;v?y1?y2?1.
因此u,x只能从?51,x22中选取,v,y1,y2只能从?1中选取,因此D，E，G只能在(?62,?1)这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点， 与S?ODE?S?ODG?S?OEG?62矛盾， 所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.
14
15