???????????????? 线 ○ ○ ????????????????
高中数学选修2-2推理与证明复数部分复习题汇编
一、选择题
1、已知数列{an}的前n项和Sn＝nan(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )
2A. (n＋1)22B. 2
[解析] 观察特例的规律知：位臵相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2010到2012为↑→，故应选C.
3、观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x) C．g(x) _____ 月__ 3_ 年__ 3_ 1_ 0_ 2 号 学 名 姓 级 班 ?n(n＋1) ? ○??C.2
?2n－1 ? ?D.2 ?2n－1 ? ?[答案] B
?○?[解析] 因为Sn＝n2an，a1＝1， ? ?所以Sa12
2＝4a2＝1＋a2?a2＝3＝3×2，
? 封?? ?S9a＋aa1＋a212
3＝3＝a12＋a3?a3＝8＝6＝4×3，
? ○?S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4 ? ? ??aa1＋a2＋a312
4＝15＝10＝5×4.
? ? 所以猜想a2
?n＝ ?n(n＋1)，故应选B.
○??2、n个连续自然数按规律排列下表：
? ? ? ?
密?根据规律，从2010到2012箭头的方向依次为( ) ? ?A．↓→ ?○?B．→↑ ? ? ?C．↑→ ? ?D．→↓ ? ?[答案] C
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D．－g(x) [答案] D
[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查． 4．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111
?
A．1111110 B．1111111 C．1111112 D．1111113
[答案] B
[解析] 根据规律应为7个1，故应选B.
5、把1、3、6、10、15、21、?这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，
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???????????????????????????????????????????????? 天津市高二年级试卷 ???????????????? 线 ○ ○ ????????????????
1
B．V＝Sh
3
1
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4分别为四面体四个面的面积，r为四面体
3
试求第七个三角形数是( ) A．27 B．28 内切球的半径)
1
D．V＝(ab＋bc＋ac)h(h为四面体的高)
3[答案] C
_____ 月__ 3_ 年__ 3_ 1_ 0_ 2 号 学 名 姓 级 班 ? ?C．29 ○??D．30 ? ?[答案] B
? ? ?[解析] 观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋?＋n＝n(n＋1)
2个， ? ?○?∴第七个三角形数为7×(7＋1)
2
＝28.
? ?6、下面几种推理是合情推理的是( ) ? 封?①由圆的性质类比出球的有关性质
? ?②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内 ? 角和都是180°
○?? ?③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了
? ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸 ? ? 多边形的内角和是(n－2)·180°
? ? A．①② ○?? ?B．①③④ ? C．①②④ ? ?密?D．②④ ?[答案] C
? ?○?[解析] ①是类比推理；②④都是归纳推理，都是合情推理．
?7、三角形的面积为S＝1
? ?2(a＋b＋c)·r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的
?半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为( )
? ? ?A．V＝1
3
abc
○??高二数学 第3页（共24页） ?
[解析] 边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选C.
8、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A．① B．①② C．①②③ D．③ [答案] C
[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．
9、类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边的一半 (3)三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质：
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的1
4
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有( ) A．(1)
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???????????????????????????????????????????????? 天津市高二年级试卷 ???????????????? 线 ○ ○ ????????????????
B．(1)(2) C．(1)(2)(3) D．都不对 [答案] C
[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．
10、六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABD[解析] 结合实数的运算知C是正确的．
12、“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 _____ 月__ 3_ 年__ 3_ 1_ 0_ 2 号 学 名 姓 级 班 ? ?中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，
○??AC21＋BD21＋CA21＋DB2
1等于( )
? ? ? ? ? ? ?○?
?A．2(AB2＋AD2＋AA2
1)
? ? B．3(AB2＋AD2＋AA21) 封??＋AA2 ?C．4(AB2＋AD21) ? D．4(AB2＋AD2) ○?? ?[答案] C
?[解析] AC2 1＋BD21＋CA21＋DB21 ? ?＝(AC21＋CA21)＋(BD21＋DB21) ? ?＝2(AA21＋AC2)＋2(BB21＋BD2) ○??＝4AA21＋2(AC2＋BD2)
? ?＝4AA21＋4AB2＋4AD2，故应选C.
? ?11、下面类比推理中恰当的是( )
密? ?A．若“a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b” ? ?B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc” ○? ?C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋bab ?c＝c＋c(c≠0)”
? ?D．“(ab)n
＝anbn
”类比推出“(a＋b)n
＝an
＋bn
” ? ?[答案] C
? ○??高二数学 第5页（共24页） ?
[答案] B
[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.
13、“因对数函数y＝logx>0)是增函数(大前提)，而y＝log1
ax(3
x是对数函数(小前提)，
所以y＝log1
3
x是增函数(结论)”．上面推理的错误是( )
A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错 [答案] A
[解析] 对数函数y＝logax不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的．
14、“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理( ) A．大前提错 B．小前提错 C．推论过程错 D．正确 [答案] C
[解析] 大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.
15、命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理
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???????????????????????????????????????????????? 天津市高二年级试卷 ???????????????? 线 ○ ○ ????????????????
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误 D．使用了“三段论”，但小前提使用错误 [答案] D
[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
1
16、证明命题“f(x)＝ex＋x在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：
( )
A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60° C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60° [答案] B
[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B. _____ 月__ 3_ 年__ 3_ 1_ 0_ 2 号 学 名 姓 级 班 ?e ? ○??∵f(x)＝ex＋1ex，∴f′(x)＝ex－1
ex.
? ?∵x>0，∴ex>1,0<1
?ex<1
? ?∴ex
－1
?e
x>0，即f′(x)>0，
?○?∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( ) ? ?A．综合法 B．分析法 ? 封?C．反证法
D．以上都不是
? ?[答案] A
? ○?[解析] 该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.
? ?17、分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证： ? ?b2－ac<3a索的因应是( ) ? ?A．a－b>0
B．a－c>0 ? ○?C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
? ?[答案] C
? ?[解析] 要证b2－ac<3a ?密?只需证b2－ac<3a2 ?只需证b2
－a(－b－a)<3a2
? ?○?只需证2a2－ab－b2>0. ?只需证(2a＋b)(a－b)>0， ? ? 只需证(a－c)(a－b)>0. ? ? ?故索的因应为C.
? 18、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是
○??高二数学 第7页（共24页） ?
19、设a，b，c?(－∞，0)，则三数a＋1b，c＋11
a，b＋c中( )
A．都不大于－2 B．都不小于－2 C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2 [答案] C
[解析] ??a＋1b??＋??c＋11
a??＋??b＋c?? ＝??a＋1a??＋??b＋1b??＋??c＋1c?? ∵a，b，c∈(－∞，0)， ∴a＋1a＝－??－a＋??－1a????≤－2 b＋1b＝－??－b＋??－1b????≤－2 c＋1c＝－??－c＋??－1c????≤－2 ∴??a＋1b??＋??c＋11
a??＋??b＋c??≤－6 ∴三数a＋1b、c＋1a、b＋1
c
中至少有一个不大于－2，故应选C.
20、用数学归纳法证明1＋12＋13＋?＋1
2n－1
( )
A．1＋1
2
<2
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???????????????????????????????????????????????? 天津市高二年级试卷 ???????????????? 线 ○ ○ ????????????????
11
B．1＋＋＜2
2311
C．1＋＋＜3
23111
D．1＋＋＋＜3
234[答案] B
11
[解析] ∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为2＝，
2－13C.
A．假设n＝k(k?N*)，证明n＝k＋1时命题也成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立 C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立 D．假设n＝2k＋1(k?N)，证明n＝k＋1时命题也成立 [答案] C
[解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选_____ 月__ 3_ 年__ 3_ 1_ 0_ 2 号 学 名 姓 级 班 ? ? ○?故选B.
? ?21、设f(n)＝1 n＋1＋1n＋2＋?＋1
2n(n?N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
? ? ?A.12n＋1 B.1
2n＋2
? ? ?○?C.12n＋1＋12n＋2 D.12n＋1－12n＋2 ? ?[答案] D
? 封?[解析] f(n＋1)－f(n)
? ?＝?11111 ??(n＋1)＋1＋(n＋1)＋2＋?＋2n＋2n＋1＋2(n＋1)??
○?? ?－?111111 ??n＋1＋n＋2＋?＋2n??＝2n＋1＋2(n＋1)－n＋1 ? ?＝11 2n＋1－2n＋2
. ? ? 22、某个命题与自然数n有关，若n＝k(k?N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1○?? ?时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )
? A．当n＝6时该命题不成立 ? ?密?B．当n＝6时该命题成立 ?C．当n＝4时该命题不成立 ? ?○?D．当n＝4时该命题成立 ?[答案] C
? ?[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.
? ?23、用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的 ? ?证明时，正确的证法是( )
○??高二数学 第9页（共24页） ?
24、已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝( )
A.2(n＋1)2 B.2n(n＋1) C.2
2n－1 D.22n－1
[答案] B
[解析] 由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1 ∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an ∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an ∴an
n＋1＝n＋2an
(n≥2)．
当n＝2时，Saa2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝11
2＝43＝3 a214a313＝2＝6，a4＝5a3＝10. 由a＝1，a＝111123，a3＝6，a4＝10
猜想a2
n＝n(n＋1)
，故选B.
25、对于不等式n2＋n≤n＋1(n?N＋)，某学生的证明过程如下： (1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．
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???????????????????????????????????????????????? 天津市高二年级试卷
???????????????? 线 ○ ○ ????????????????
(2)假设n＝k(k?N＋)时，不等式成立，即k＋k ∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( ) A．过程全都正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 22A．① B．② C．③ D．④ [答案] D [分析] 由复数的有关概念逐个判定． [解析] 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－_____ 月__ 3_ 年__ 3_ 1_ 0_ 2 号 学 名 姓 级 班 ? ?[答案] D ○??[解析] n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归 ? ?纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D. ? ?26、用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)?(n＋n)＝2n·1·3·?·(2n－1)(n?N*)时，从n ? ?＝k到n＝k＋1，左端需要增加的代数式为( ) ?○?A．2k＋1 ? ?B．2(2k＋1) ? 封??C.2k＋1k＋1 ? ? ○?D.2k＋3?k＋1 ? ?[答案] B ? [解析] 当n＝k时上式为(k＋1)(k＋2)?(k＋k)＝2k ·1·3?·(2k－1)， ? ?当n＝k＋1时原式左边为[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]?[(k＋1)＋(k＋1)] ? ○?＝(k＋2)(k＋3)?(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ? ?＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)?(k＋k)(2k＋1) ? ?所以由k增加到k＋1时，可两边同乘以2(2k＋1)．故应选B. ?密?27、下列命题中： ? ?①若a?R，则(a＋1)i是纯虚数； ?○?②若a，b?R且a>b，则a＋i3 >b＋i2 ； ? ?③若(x2 －1)＋(x2 ＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1； ? ?④两个虚数不能比较大小． ? ?其中，正确命题的序号是( ) ? ○??高二数学 第11页（共24页） ? 1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D. 28、若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a?R)不是纯虚数，则( ) A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1 D．a≠2 [答案] C [解析] 若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C. 29、下列命题中假命题是( ) A．复数的模是非负实数 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2| [答案] D [解析] ①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝a2＋b2≥0总成立．∴A正确； ②由复数相等的条件z＝0????a＝0 ?? b＝0 .?|z|＝0，故B正确； ③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R) 若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2| 反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2， 高二数学 第12页（共24页） ???????????????????????????????????????????????? 天津市高二年级试卷 ???????????????? 线 ○ ○ ???????????????? 如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确； ④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错． 30、已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是( ) 4 A．－ 5B．x<2 4 C．x>－ 5B．4＋8i C．4－8i D．1＋4i [答案] C [解析] 对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i， 设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z. 由平行四边形法则知＝， _____ 月__ 3_ 年__ 3_ 1_ 0_ 2 号 学 名 姓 级 班 ? ? ○?D．x＝－4 ?5或x＝2 ? ?[答案] A ?[解析] 由题意知(x－1)2＋(2x－1)2<10， ? ? ?解之得－4 5 ?○?31、如果一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是( ) ? ? ?A.11 封?5 ? ?B.3i ? C.11 5＋3i ○?? ? ?D.11 5＋23i ? ?[答案] C ? ?[解析] 设这个复数为a＋bi(a，b∈R)， ○??则|a＋bi|＝a2＋b2. ? ?由题意知a＋bi＋a2＋b2＝5＋3i ? ?密?即a＋a2＋b2＋bi＝5＋3i ? ?∴??a＋a2＋b2＝5 ?○??b＝3 ，解得a＝115，b＝3. ? ?∴所求复数为11 ?5 ＋3i.故应选C. ? ?32、?ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是( ? ?A．2－3i ○??高二数学 第13页（共24页） ? ∴－1＋3i＝(3－5i)－z， ∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C. 33、i是虚数单位， i 3＋3i ＝( ) A.13 4－12i B.14＋312i C.12＋36i D.12－36i [答案] B [解析] i i(3－3i)3＋3i＝(3＋3i)(3－3i) ＝3＋3i1312＝4＋12 i，故选B. 34、已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z等于( ) A．2i B．i C．－i D．－2i ) [答案] D [解析] 本小题主要考查复数的运算． 高二数学 第14页（共24页） ???????????????????????????????????????????????? 天津市高二年级试卷 ???????????????? 线 ○ ○ ???????????????? z＋22＋bi2－bb＋2 设z＝bi(b∈R)，则＝＝＋i， 221－i1－i∴ b＋2 ＝0，∴b＝－2， 2 C．±1 D．±i [答案] D [解析] 本题主要考查复数的运算． 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi， ???2a＝4?a＝2由z＋z＝4，z z＝8得?22∴? ??a＋b＝8b＝±2?? ∴z＝－2i，故选D. 1＋7i 35、i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b?R)，则乘积ab的值是( ) 2－iA．－15 _____ 月__ 3_ 年__ 3_ 1_ 0_ 2 号 学 名 姓 级 班 ? ?B．－3 ○??C．3 ? ?D．15 ? ?[答案] B ? ?[解析] 本题考查复数的概念及其简单运算． ?○?1＋7i(1＋7i)(2＋i) ?2－i＝(2－i)(2＋i) ＝－5＋15i 5＝－1＋3i＝a＋bi， ? ?∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3. 封?? ?36、已知复数z的实部为－1，虚部为2，则5i z＝( ) ? ○?A．2－i ? ?B．2＋i ? ?C．－2－i ? ?D．－2＋i ? ○?[答案] A ? ?[解析] 考查复数的运算． ? ?z＝－1＋2i，则5i 5i(－1－2i) ?－1＋2i＝(－1＋2i)(－1－2i) 密? ?＝ 10－5i ?5 ＝2－i. ?○? ?37、设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则z ?z 等于( ? ?A．i ? ?B．－i ? ○??高二数学 第15页（共24页） ? ) ∴z＝2＋2i，z＝2－2i或z＝2－2i，z＝2＋2i，z z＝2－2i 2＋2i＝－i或z2＋2izz＝2－2i＝i.∴ z±i，故选D. 38、已知复数z＝3＋i (1－3i)2，是z的共轭复数，则z·＝( ) A.1 4 B.1 2 C．1 D．2 [答案] A [解析] ∵z＝3＋i3＋i3＋i (1－3i)2＝1－23i－3＝－2－23i ＝ 3＋i(3＋－2(1＋3i) ＝i)(1－3i) －2×(1＋3) ＝ 3－3i＋i＋3－8＝23－2i－8＝3－i－4，∴＝3＋i－4 ， ∴z·＝|z|2＝1 4 ，故选A. 39、复数z＝i 1＋i 在复平面上对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案] A [解析] z＝i11 1＋i＝2＋2 i，对应点在第一象限． 高二数学 第16页（共24页） ???????????????????????????????????????????????? 天津市高二年级试卷＝ ???????????????? 线 ○ ○ ???????????????? _____ 40、设复数z＝(a＋i)在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a的值是( ) A．－1 B．1 C.2 D．－3 [答案] A [解析] z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，据条件有 ?a2－1＝0??，∴a＝－1. ?2a＜0? 2 f(－4)＋?＋f(0)＋?＋f(5)＋f(6)的值为________． [答案] 32 [解析] 本题是“方法类比”．因等比数列前n项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f(－5)＋f(－4)＋?＋f(0)＋?＋f(5)＋f(6)＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋?＋[f(0)＋f(1)]， 二、填空题 而当x1＋x2＝1时，有f(x1)＋f(x2)＝ 月__ 3_ 年__ 3_ 1_ 0_ 2 号 学 名 姓 级 班 ?2 ?1、从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝5中，可得一般规律是__________________． ○??[答案] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋?＋(3n－2)＝(2n－1)2 ? [解析] 第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n ? ? 个式子有2n－1个数相加，且第n个式子的第一个加数为n，每数增加1，共有2n－1个 ? ?数相加，故第n个式子为： ? ?○?n＋(n＋1)＋(n＋2)＋?＋{n＋[(2n－1)－1]} ?＝(2n－1)2， ? ?即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋?＋(3n－2)＝(2n－1)2 . 封??2、观察下列等式： ? ?C1 5＋C55＝23－2， ○??C19＋C59＋C99＝27＋23， ? ?C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25， ? ?C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27， ? ? ?? ○??由以上等式推测到一个一般的结论： ? ?对于n?N*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋?＋C4n＋ 4n＋1 1＝__________________. ? ?[答案] 24n－ 1＋(－1)n22n－ 1 密? ?[解析] 本小题主要考查归纳推理的能力 ?等式右端第一项指数3,7,11,15，?构成的数列通项公式为a ?n＝4n－1，第二项指数○?1,3,5,7，?的通项公式bn＝2n－1，两项中间等号正、负相间出现，∴右端＝24n－ 1＋(－1)n22n ? ?－1 ?. ? ?3、设f(x)＝1 ?2x＋2 ，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋ ? ○??高二数学 第17页（共24页） ? ＝ 12＝22 ，故所求答案为6×2 2＝32. 4、若数列{a1 n}是等差数列，对于bn＝n(a1＋a2＋?＋an)，则数列{bn}也是等差数列．类 比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于dn>0，则dn＝________时，数列{dn}也是等比数列． [答案] n c1·c2·?·cn 5、在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P(x0，y0)，则过此点的圆的切线方程为2 x2y2 x0x＋y0y＝r，而在椭圆a2＋b 2＝1(a>b>0)中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于 高二数学 第18页（共24页） ???????????????????????????????????????????????? 天津市高二年级试卷 ???????????????? 线 ○ ○ ???????????????? 长半轴a，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式，在椭圆中，S椭＝________.类比过x2y2 圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点P(x1，y1)的椭圆的 ab切线方程为________． x1y1 [答案] π·a·b；2·x＋2·y＝1 ab [解析] 当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积S＝πr2＝π·r·r，猜想椭圆面积S椭＝π·a·b，其严格证明可用定积分处理．而a2＋b2 ∵ab<0，(a＋b)≥0，∴≤－2，②正确； ab 2 a＋ma(b－a)m③－＝ b＋mbb(b＋m)∵a>b>0，m>0， (b－a)m ∴b(b＋m)>0，b－a<0，∴<0， b(b＋m)a＋ma∴<，③不正确． _____ 月__ 3_ 年__ 3_ 1_ 0_ 2 号 学 名 姓 级 班 ? ? 由切线方程x＋yx0·y＝r2变形得○?0·x0y0r2·x＋r2·y＝1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方 ? ? 程为x1 ?a2·x＋y1b 2·y＝1，其严格证明可用导数求切线处理． ? ?6、如果aa＋bb＞ab＋ba，则实数a、b应满足的条件是________． ? ?[答案] a≥0，b≥0且a≠b ?○?[解析] ∵aa＋bb＞ab＋ba ? ??(a－b)2 (a＋b)＞0?a≥0，b≥0且a≠b. ? 封?7、给出下列不等式： ? ?2 ?①a>b>0，且a2＋b ＝1，则ab>a2b2 4； ○?? ?②a，b?R，且ab<0，则a2＋b2 ?ab≤－2； ? ?③a>b>0，m>0，则a＋ma b＋m>b； ? ? ○??④??x＋4 x??≥4(x≠0)． ? 其中正确不等式的序号为________． ? ? ?[答案] ①②④ 密? ?[解析] ①a>b>0，∴a≠b ?2 ?2 ○?∴a2＋b 22 ?4 ＝1>2 a·b4 ＝ab ? ?∴1－ab>0，∴ab－a2b2＝ab(1－ab)>0，∴ab>a2b2正确． ? ?a2＋b2 ?ab＋2＝(a＋b)2②ab ? ○??高二数学 第19页（共24页） ? b＋mb ④??x＋4x??＝|x|＋4 |x| ≥4，④正确． 8、如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m?R)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为________________． [答案] ???－∞，－1－5?2??∪?3?2，＋∞?? [解析] 复数z对应的点在第一象限 需???m2＋m－1>0－1－53??4m2－8m＋3>0 解得：m<2或m>2. 9、若z＋2i，zz1＝a2＝3－4i，且1z为纯虚数，则实数a的值为________． 2[答案] 8 3 [解析] 设z1z＝bi(b∈R且b≠0)，∴z??a＝4b21＝bi(z2)，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.∴? ?? 2＝3b ?a＝8 3. 三、解答题 1、已知a，b，c?(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于1 4. [证明] 证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于1 4.∵a、b、c都是小于1的正 数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.(1－a)＋b 12 ≥(1－a)b＞ 4＝1 2 ， 同理(1－b)＋c2＞1(1－c)＋a12，2＞2 . 高二数学 第20页（共24页） ???????????????????????????????????????????????? 天津市高二年级试卷 ???????????????? 线 ○ ○ ???????????????? 三式相加，得 (1－a)＋b(1－b)＋c(1－c)＋a3 ＋＋＞， 222233 即＞，矛盾． 22 1 所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于. 4 1111 证法2：假设三个式子同时大于，即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，三式相乘得 4444＋ 11 ＋?＋k－1k－1 2＋12＋2 k－1k－211k－2111>＋k－1＋?＋k>＋k＋k＋?＋k 2222222＋1k－22k1(k＋1)－2＝＋k＝， 222 － _____ ∴当n＝k＋1时，不等式成立． 据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立． 月__ 3_ 年__ 3_ 1_ 0_ 2 号 学 名 姓 级 班 ? ? ○?(1－a)b(1－b)c(1－c)a>?1??4??3 ① ? ?因为0 ? ?○?所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤?1 ??4??3 .② ?2 2 2 2 2 2 * ?2、求证：1－2＋3－4＋?＋(2n－1)－(2n)＝－n(2n＋1)(n?N)． 封??[证明] ①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立． ?2 2 2 2 2 ?②假设n＝k时，等式成立，即1－2＋3－4＋?＋(2k－1)－(2k)2 ＝－k(2k＋1)2 . ○??当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋?＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋ ? ?1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所 ? 以n＝k＋1时，等式也成立． ? ? ?由①②得，等式对任何n∈N*都成立． ○??3、求证：1 ?2＋13＋14＋?＋1n－22n－1>2(n≥2)． ? ?[证明] ①当n＝2时，左＝1 ?2>0＝右， 密?∴不等式成立． ? ?②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立． ?○? ?即1 ?2＋13＋?＋1k－22k－1>2成立． ? ? ?那么n＝k＋1时，1112＋3＋?＋2 k－1 ? ? ○??高二数学 第21页（共24页） ? 4、在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点． 求证：这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22 个区域． [证明] (1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成k2＋k＋2 2块不同的区域，命题成立． 当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成k2＋k＋2 2块区域，直 线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块． 从而k＋1条直线将平面分成k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)＋2 2＋k＋1＝2块区域． 所以n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，原命题成立． 5、试比较2n＋2与n2的大小(n?N*)，并用数学归纳法证明你的结论． [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系； ②利用数学归纳法证明猜想的结论． 解答本题的关键是先利用特殊值猜想． [解析] 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1， 当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4， 当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9， 当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16， 由此可以猜想， 高二数学 第22页（共24页） ???????????????????????????????????????????????? 天津市高二年级试卷 ???????????????? 线 ○ ○ ???????????????? 2＋2>n(n∈N)成立 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时， 左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边， 所以原不等式成立． 当n＝2时，左边＝22＋2＝6， n2* ?(k＋1)－k? ＝(－1)k(k＋1)·2?? (k＋1)[(k＋1)＋1] ＝(－1)k·. 2∴当n＝k＋1时，等式也成立， 根据(1)、(2)可知，对于任何n?N等式成立． * _____ 月__ 3_ 年__ 3_ 1_ 0_ 2 号 学 名 姓 级 班 ? ?右边＝22＝4，所以左边>右边； ○??当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， ? 所以左边>右边． ? ? (2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立， ? ?即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时， ? ?○?2k＋ 1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2. ?又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3 ? ? ＝(k－3)(k＋1)≥0， 封??即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋ 1＋2>(k＋1)2成立． ? ?根据(1)和(2)，原不等式对于任何n?N* 都成立． ○??6、用数学归纳法证明： ? ? ?12－22＋32－42＋?＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·n(n＋1) 2 (n?N*)． ? ? ?[解析] (1)当n＝1时，左边＝12＝1， ○??右边＝(－1)0×1×(1＋1) ?2＝1， ? 左边＝右边，等式成立． ? ?密?(2)假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即 ?12－22＋32－42＋?＋(－1)k－ 1k2 ? ?○?＝(－1)k－1·k(k＋1) 2 . ? ? ?则当n＝k＋1时， ? ?12－22＋32－42＋?＋(－1)k－ 1k2＋(－1)k(k＋1)2 ? ?＝(－1)k－1·k(k＋1) 2 ＋(－1)k(k＋1)2 ○??高二数学 第23页（共24页） ? 高二数学 第24页（共24页）???????????????????????????????????????????????? 天津市高二年级试卷