第六章 线性空间自测题
一、判断题(正确的结论打“√”，并给出简单证明，错误的打“×”，试给出反例)
1、定义在整数集上的实函数全体，按通常函数的运算构成实数域上的线性空间。 ( ) 2、设W是线性空间V的子空间，若存在?,??V，但??W且??W，则必有????W
( )
3、若线性空间V的任一向量均可由线性无关的向量组?1,?2,?,?r线性表出，则
dimV?r。 ( )
4、设由基?1,?2,?,?n过渡到基?1,?2,?,?n的矩阵为A，由基?1,?2,?,?n过渡到基
?1,?2,?,?n的矩阵为B，则由?1,?2,?,?n过渡到?1,?2,?,?n的矩阵为AB。
( )
5、设V是一个线性空间，且V?{0}，则它不能表示为它的两个非平凡子空间的并集。
( )
6、设由?1,?2,?,?n是线性空间V的一组基，则?1??2,?2??3,?,?n?1??n,?n??1也是V 的一组基。 ( )
7、设V1，V2均为线性空间V的子空间，满足 V1?V2?{0}，则V?V1?V2。 ( ) 8、无限维线性空间可能与它的某个真子空间同构。 ( ) 二、填空题(将正确的结果填写在题中的横线上) 1、设列向量?1,?2,?,?n与
?1,?2,??n都是线性空间Pn的一组基,记n阶矩阵
A???1,?2,?,?n?,B???1,?2,??n?,则由基?1,?2,?,?n到?1,?2,??n的过渡矩阵是
____________。
2、设?,?,?是线性空间的三个线性无关的向量,记V1?L???,V2?L???,V3?L???, 则子空间 ?V1?V2??V3? 。
3、V为数域P上向量空间V?P，?1?(1,2,1,0)，?2?(?1,1,1,1)，?3?(2,?1,0,1)，
4?4?(1,?,3,7)，V的子空间V1?L(?1,?2)，V2?L(?3,?4)，则?= 时，dim(V1?V2)?1。
1
?a1x?b1y?c1z?0?a2x?b2y?c2z?0?4、设齐次线性方程组a1x?b1y?c1z?0，?和?a2x?b2y?c2z?0的
?a3x?b3y?c3z?0?ax?by?cz?033?3解空间分别为V1,V2,V3，且dimV1?2,dimV2?1,dimV3?1，则dim(V1?V2)? 。5、把同构的子空间分为一类，则所有n维的线性空间可共分为 类。
三、计算题 1、设已知向量
?1?(1,2,4,3),?2?(1,?1,?6,6),?3?(?2,?1,2,?9),?4?(1,1,?2,7),??(4,2,4,a),
(1) 求线性子空间W?L(?1,?2,?3,?4)的维数与一个基; (2) 求a 的值，使得??W ，并求?在 (1) 所选基下的坐标。 2、给定数域R上一个向量组
?1??1,2,1,0?, ?2???1,1,1,1?, ?1??2,?1,0,1?,
44 设由?1,?2生成的R的子空间为V1, 由?1,?2生成的R的子空间为V2. ?2??1,?1,3,7?。
求R的子空间V1?V2和V1?V2的基与维数.
四、证明题
1、设M是复数域上取定的方阵，令S(M)?{N|MN?N?M?0} (1) 证明：S(M)是复数域上的线性空间； (2) 证明：如果M??4?0??InIn?2?是2n阶方阵，则维数dimS(M)?2n?n。 0?n?n2、设M?P,f(x),g(x)?P[x],且(f(x),g(x))?1.令A?f(M),B?g(M),
W,W1,W2分别为线性方程组ABx?0,Ax?0,Bx?0的解空间,证明W=W1?W2。
(提示：A,B可交换，且存在多项式u(x),v(x)，使得u(M)f(M)?v(M)g(M)?E) 3、设?1,?2,?,?n是数域P上的n维线性空间V中的向量，其秩为r，证明：满足
k1?1?k2?2???kn?n?0
的全体向量(k1,k2,?,kn)构成P的子空间，并确定其维数，说明理由。
n 2
4、设?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n是n维线性空间V中的两组基。证明： (1) 在这两组基下坐标完全相同的全体向量组成的集合V1是V的子空间。 (2) 如果向量组?1??1,?2??2,?,?n??n的秩为r， 则V1的维数为n?r； (提示：利用上题的结论)
(3) 设由基?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n的过渡矩阵为A，若矩阵E?A的秩为r，则V1的维数为n?r；
(4) 如果线性空间V中的每个向量在这两组基下的坐标完全相同，则
?1??1,?2??2,?,?n??n。
5、设A是数域P上的幂等矩阵(即A?A)。证明n维向量空间P可分解为齐次线性方程
2nn组Ax?0与(A?E)x?0的解空间的直和，这里x?P。
6、设P为数域P上全体n维向量构成的线性空间。证明：P的任一子空间V1必是某个nnn元齐次线性方程组的解空间。(提示：取V1的一组基，按列构成矩阵B，则其列向量即为所求n元齐次线性方程组的一组基础解系)
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