项目一 绪论
【要点回顾】
一、材料力学的任务
强度：构件抵抗破坏的能力。 刚度：构件抵抗变形的能力。
稳定性：构件保持原有平衡形态的能力。 材料力学的任务：研究材料在外力作用下的变形和破坏规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性方面的基本理论和计算方法。
二、材料力学的研究对象
材料力学的研究对象：杆件。
杆件：纵向尺寸远大于横向尺寸的构件。 杆件的几何要素：横截面与轴线。 横截面：杆件的横向截面。
轴线：杆件横截面形心的连线，为杆件的纵向几何中心线。
三、材料力学的基本假设
对变形固体的基本假设——
连续性假设：组成固体的物质毫无空隙地充满了固体所占有的整个几何空间。 均匀性假设：固体的力学性能在固体内处处相同。
各向同性假设：固体在各个方向上的力学性能完全相同。 对构件变形的基本假设——
小变形假设：构件受力产生的变形量远小于构件的原始尺寸。
四、内力、截面法和应力
（1）材料力学研究的内力是由外部因素（载荷作用、温度变化和支座沉降等）引起构件不同部分之间相互作用力的改变量。
（2）截面法是材料力学求解内力的基本方法，可以归纳为三个步骤：
①在欲求内力处用一假想截面将构件分成两部分，任取一部分作为研究对象； ②用截面上的内力代替另一部分对所分析部分的作用力； ③建立取出部分的静力平衡方程，求解未知的内力。
（3）应力是构件内一点处内力的分布集度，是矢量。通常把一点处的全应力p分解成两个正交的应力分量，垂直于截面的分量称为正应力，用符号ζ表示；与截面相切的分量称为切应力（或剪应力），用符号η表示。 应力的国际单位为帕斯卡（Pa），1Pa=1N/m2，1MPa=106Pa，1GPa=109Pa；工程单位为kg/cm2，1kg/cm2=0.1MPa。
五、杆件的基本变形
杆件的基本变形：轴向拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲。
【例题解析】
【例1-1】试求图1-1（a）所示结构m-m和n-n两截面的内力，并指出AB和BC两杆的变形属于何类基本变形。
【解】BC杆为二力杆，取截面n-n以下部分为研究对象，其受力图如图1-1（b）所示。由平衡条件
可得 NBC=4kN
图1-1
BC杆的变形属于轴向拉伸变形。
应用截面法，对图1-1（b）取截面m-m以左及n-n以下部分为研究对象，其受力图如图l-1（c）所示。由平衡方程
可得
AB杆的变形属于弯曲变形。
【例1-2】如图1-2（a）所示简易吊车的横梁上，力F可以左右移动，试求截面1-1和2-2上的内力及其最大值。
图1-2
【解】BC杆是二力杆。应用截面法，从截面1-1截开，取右边部分作为研究对象，其受力图如图1-2（b）所示。由平衡条件
可得
从2-2截面截开，其受力图如图1-2（c）所示，由平衡方程
可得
可见，它们的最大值分别为
。
【自我测试】
一、判断题
1.材料力学是研究构件承载能力的一门学科。（ ） 2.材料力学的任务是尽可能使构件安全地工作。（ ） 3.材料力学主要研究弹性范围内的小变形情况。（ ）
4.因为构件是变形固体，在研究构件的平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。（ ） 5.外力就是构件所承受的载荷。（ ）
6．材料力学研究的内力是构件各部分间的相互作用力。（ ）
7．用截面法求内力时，可以保留截开后构件的任一部分进行平衡计算。（ ） 8．压强是构件表面的正应力。（ ） 9．应力是横截面上的平均内力。（ ） 10．材料力学只研究因构件变形引起的位移。（ ） 11．线应变是构件中单位长度的变形量。（ ） 12．构件内一点处各方向线应变均相等。（ ）
13．切应变是变形后构件中任意两根微线段夹角角度的变化量。（ ） 14．材料力学只限于研究等截面直杆。（ ） 15．杆件的基本变形只是拉（压）、剪、扭和弯四种，如果还有另一种变形，必定是这四种变形的某种组合。（ ） 二、填空题
1.材料力学和理论力学的研究对象不同，前者研究的是______，而后者研究的是____。 2.变形固体根据其几何特征可分为______、______和______三类。材料力学主要研究对象是______。
3.弹性变形时，构件内一点单位长度上的变形量称为______，微单元体两棱角直角的改变量称为______。
4.截面法的基本步骤可概括为______、______、______。
5.杆件的基本变形有______、______、______和______四种，杆件的复杂变形可以看成是几种基本变形的组合，称为____。 三、计算题
1.试求题1图所示结构中1-1和2-2两截面的内力。
题1图
2.如题2图所示结构，在刚节点B的作用力矩为M，试确定1-1、2-2和3-3截面上的内力。
题2图
3.一高为800mm的混凝土圆柱受压破坏，破坏前轴向平均线应变为-1200310-6，求破坏前圆柱的压缩变形。
项目二 轴向拉伸与压缩
【要点回顾】
一、内力
（1）轴力是指轴向拉压变形时杆件横截面上的内力，用符号N表示。它与杆件的轴线重合。
（2）正负号规定：引起杆件轴向伸长的轴力为正；引起杆件轴向缩短的轴力为负。也可表述为N的方向与截面外法线方向一致时为正，反之为负。 （3）求轴力的方法——截面法，一般将所求截面的内力假设为正值，这种方法称为“设正法”。如果所求结果为正，说明假设正确，该轴力是拉力；如果所求结果为负，则说明假设错误，该轴力是压力。
（4）轴力图是表示各横截面上的轴力沿杆件轴线方向变化的图形。作法：以杆的左端为坐标原点，取x轴为横坐标轴，称为基线，其值代表截面位置；取N轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值。正值绘在基线上方，标号
；负值绘在基线下方，标号
。
作轴力图时应注意轴力图与杆件的一一对应关系，习惯在其值变化的角点标出数值。
二、应力
（1）横截面上的应力
等直拉压杆横截面上只有正应力ζ，没有切应力η。正应力在整个横截面上均匀分布，计算公式为
（2-1）
式中：N为横截面轴力；A为杆横截面面积。
正应力的符号规定：拉应力为正，压应力为负。常用单位为MPa和Pa。实际计算中如果轴力单位取N，横截面面积单位取mm2，则ζ的单位就是MPa。
式（2-1）除可用于等直杆外，还可近似用于锥度不超过20°的小锥度直杆。 （2）斜截面上的应力
拉压杆斜截面上一般既存在正应力ζα，也存在切应力ηα，它们的大小随其方位而变化。计算公式为
（2-2）
式中：ζ为横截面上的正应力；α为斜截面的方向角。
规定：α由横截面外法线转至斜截面外法线时，逆时针转向为正，顺时针转向为负。 下面介绍斜截面的几种特例： 当α=0°时，斜截面即为横截面，正应力达到最大值，ζαmax=ζ0°=ζ，且横截面上η0°=0。
当α=±45°时，切应力达到最大值，，且这两个斜截
面上的正应力。
α
当α=90°时，即在平行于轴线的纵截面上，ζα=η=0，即纵向截面上无任何应力。
三、变形与应变及虎克定律
（1）轴向拉伸与压缩时的变形与应变
等直杆的原长为l，横向尺寸为b，受轴向力F作用发生轴向拉伸或压缩变形。杆变形后杆长变为l1，横向尺寸变为b1。
纵向（轴向）变形为Δl=l1-l，纵向（轴向）应变为；横向变形为Δb=b1-b，横
向应变为。
（2）虎克定律
当ζ≤ζp，即材料处于线弹性范围时，轴向变形可由虎克定律计算：
（2-3）
当轴力N或横截面面积A沿轴线变化时，则
（2-4）
式中：EA称为抗拉（压）刚度；Δl为纵向变形，伸长为正，缩短为负。
虎克定律用应力与应变可表示为
（2-5）
式中：E为材料的拉伸或压缩弹性模量，量纲与应力相同，反映材料的弹性性质。 （3）当ζ≤ζp，即材料处于线弹性范围时，杆件的横向应变ε′和轴向应变ε的关系为
ε′=－με （2-6）
式中：μ称为泊松比（横向变形系数），无量纲。与弹性模量E一样，μ也是材料固有的弹性常数，其值由试验测定，一般介于0.1～0.5。
四、材料的力学性质
材料的力学性质是指材料在外力作用下表现出的变形与破坏特征，一般在常温、静载条件下通过试验获得。低碳钢和铸铁是塑性材料和脆性材料的典型代表。 （1）低碳钢拉伸试验
①变形包括四个阶段，分别为弹性阶段、屈服（流动）阶段、强化阶段和局部变形（颈缩）阶段。
②力学性能指标包括强度指标和塑性指标。其中属于强度指标的有： 比例极限ζp：应力和应变成正比的最大应力。 弹性极限ζe：只产生弹性变形的最大应力。 屈服极限ζs：屈服阶段相应的应力。
强度极限ζb：材料在断裂前能承受的最大应力。属于塑性指标的有：
延伸率：
断面收缩率：
工程上通常将δ≥5%的材料称为塑性材料，δ＜s%的材料称为脆性材料。 （2）其他材料的拉伸试验
对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以0.2%残余应变所对应的应力值作为屈服极限，称为名义屈服极限，用ζ0.2表示。
灰口铸铁是典型的脆性材料，其拉伸强度极限较低。 （3）压缩试验
低碳钢压缩时弹性模量E、屈服极限ζs与拉伸时相同，不存在抗压强度极限。灰口铸铁压缩强度极限比拉伸强度极限高很多，是一种良好的耐压、减震材料。
五、强度条件
（1）许用应力
极限应力是指材料丧失工作能力时的应力。对塑性材料取屈服极限ζs（或ζ0.2）；对脆性材料取强度极限ζb。
许用应力是指极限应力除以一个安全因数n（n>1）所得的应力，用[ζ]表示。 对塑性材料：
（2-7）
对脆性材料：
（2-8）
式中：ns和nb分别为塑性材料和脆性材料的安全因数。安全因数和许用应力的数值可从有关规范或设计手册中查得。 （2）强度条件
为了保证构件有足够的强度，同时还具有一定的安全储备，要求在荷载作用下构件的实际工作应力不超过材料的许用应力[ζ]。轴拉（压）构件的强度条件为
（2-9）
（3）强度条件的计算步骤
①用截面法分析杆件的内力，确定危险截面及其内力。
②计算危险点应力，并建立强度条件，按要求进行强度计算。 （4）强度计算的三类问题
强度校核
截面设计
许用载荷计算
再由N与载荷的平衡关系，确定许可载荷[F]。
六、拉压超静定问题
超静定问题是指结构存在多余约束，仅用静力平衡方程不能求出全部未知量的力学问题。多余约束的数目称为超静定次数。多余约束对保证结构的平衡和几何不变性并不是必不可少的，但对满足结构强度和刚度的要求是必须的。
处于平衡状态的超静定结构除了要满足静力平衡方程外，还因多余约束的存在而需要满足其他一些条件的要求。找到这些其他条件，列出相应的补充方程是求解超静定问题的关键。补充方程可由杆件变形之间的变形协调条件，以及变形和力之间的物理关系得到。 求解超静定问题的步骤一般为： ①列出全部独立的静力平衡方程。
②根据结构或杆件变形后应保持连续的变形协调条件作出位移图（或变形图），由位移图的几何关系列出变形间的关系方程。
③由虎克定律列出变形与力之间的关系方程。
④将物理关系代入变形协调条件，得到补充方程。联立求解静力平衡方程和补充方程，
求出全部未知量。
拉压超静定问题大致有桁架系统、温度应力和装配应力三类。 【解题方法】
一、拉（压）杆的强度计算
根据公式进行轴向拉（压）杆的强度计算。 强度计算有以下三类问题： 1．校核强度
已知杆件所受外力、横截面面积和材料许用应力，检验强度条件是否满足。 2．截面设计
已知杆件所受外力和材料许用应力，根据强度条件确定杆件横截面尺寸。 3．确定许可载荷
已知杆件横截面面积和材料许用应力，根据强度条件确定杆件容许承受的载荷。 在根据公式进行拉（压）杆强度计算时，应特别注意以下两点：
1．式中的FN为拉（压）杆横截面上的轴力，应根据截面法由平衡方程确定。
2．应综合根据拉（压）杆的轴力图和其截面的削弱情况来判断危险截面，并对可能的危险截面逐一进行强度计算。
二、拉（压）杆的轴向变形计算
根据公式计算拉（压）杆的轴向变形。
在计算拉（压）杆的轴向变形时，应注意以下几点：
1．若拉（压）杆的轴力、横截面面积或弹性模量沿杆的轴线为分段常数，则应分段运用，然后代数相加，即有
2．若拉（压）杆的轴力、横截面面积沿杆的轴线为连续函数，则应根据积分元素法，化变为常，先在微段dx上运用，然后积分，即有
3．计算中要考虑轴力FN的正负号。若最终结果Δl为正，则表明杆件伸长；若Δl为负，则表明杆件缩短。
三、求解简单拉伸（压缩）超静定问题
运用变形比较法求解简单拉伸（压缩）超静定问题的基本步骤为： 1．画受力图，列平衡方程；
2．画变形图，建立变形协调方程；
3．通过物理关系，将变形协调方程改写为关于未知力的补充方程； 4．联立补充方程和平衡方程，求解未知力。 求解拉伸（压缩）超静定问题的关键在于变形协调方程的建立。在建立变形协调方程时，一定要作出结构的变形图，并注意利用小变形假设，“以切线代弧线”、“以直代曲”，使问题得到简化。
【例题解析】
【例2-1】 拉杆受载如图2-1（a）所示。已知均布载荷的集度为q，试作拉杆的轴力图。
解 以拉杆左端为原点，建立水平向右的坐标轴x，由截面法可得拉杆的轴力方程为 FN（x）=qx（0≤x≤1）
由对称性，可画出拉杆的轴力图如图1.2所示。
【例2-2】 在图2-2（a）所示结构中，杆BC和杆BD的材料相同，且受拉和受压时的许用应力相等，已知载荷F，杆BC长l，许用应力为[ζ]。试求使该结构的用料最省时的α角。
图2-1
解 研究点B[图1.3（b）]，设两杆轴力为F1和F2。 由节点的平衡方程可得
若使两杆的应力均达到许用应力值，则有
该结构体积为
若V为最小，则有
即
可得
当a=54.74°时，结构的用料最省。
图2-2
【例2-3】 圆锥形杆长l如图2-3所示，已知两端的面积分别为A0和A1，铅垂作用力F，假设锥角α远小于20°，试求： （1）杆的伸长量；
（2）杆内贮存的应变能。 解 （1）求杆的伸长量。
建立图示坐标系，由比例关系可得该杆横截面积为
锥形杆总伸长为
（a）
当x=l1-l时，A=A0，由式（a）可得
（b）
图2-3
即
代入式（b）得
（2）求杆内贮存的应变能。
认为横截面上的应力仍是均匀分布的，则x处横截面上正应力为
应变能密度为
杆内总应变能为
以上结果也可以由“外力功等于应变能”的功能原理得到
【例2-4】 两端固定的等直杆AB，如图2-4所示。已知沿轴向均匀分布的载荷集度为q，杆长为l，拉压刚度为EA，试求： （1）任一横截面的轴向位移；
（2）横截面最大的轴向位移及其位置。 解 （1）求杆AB任一横截面的轴向位移。 研究杆AB（图2-4），由平衡条件得 FA+FB-ql=0
由截面法求得轴力方程为 FN（x）=FA-qx
由“杆的总伸长量为零”的变形几何条件
可得
杆AB任一横截面的轴向位移为
图2-4
（2）求横截面最大轴向位移及其位置。
由得
解得：
即处横截面的轴向位移最大，其最大轴向位移为
【例2-5】 支架如图2-5（a）所示，杆BCD可视作刚体。已知：作用力为F，杆1和杆2的材料和截面积均相同，即有E1=E2，A1=A2，两杆的拉压许用应力分别为[ζt]和[ζc]，试求两杆的横截面积。
图2-5
解 （1）静力关系。
研究杆BCD，受力图如图2-5（b）所示，得
可得
（a）
2个未知数1个方程，为一次超静定。 （2）几何关系。
画杆BCD的变形图，如图2-5（c）所示，得几何方程为
（3）物理关系。
（b）
代入式（b），得
解得
F2=4F1 （c）
联立求解式（a）和式（c），得
杆1为压杆，杆2为拉杆，可建立两杆的强度条件为
由上式解得
为保证安全，两杆的横截面积应为
【例2-6】 组合杆由两种材料组成，如图2-6（a）所示。已知拉力为F，两种材料的弹性模量为E1和E2，截面积分别为A1和A2，截面形心到底边的距离分别为y1和y2。若在拉伸变形过程中，组合杆两端面保持平行移动，试分别求各种材料所受到的轴力F1和F2，应力ζ1和ζ2，以及拉力作用点的位置e。
图2-6
解 （1）静力关系。
研究组合杆右段[图2-6（b）]的平衡 ∑Fx=0，F1 +F2=F （a）
∑M=0，F12y1+F22y2=F2e （b） 3个未知数2个方程，为一次超静定。 （2）几何关系。
杆端面平行移动，则有 ε1=ε2=ε
（3）物理关系。
将物理关系代入几何方程可得
（c） 联立求解式（a）和式（c）得
可得应力表达式为
由式（b）可解得拉力作用点的位置
【例2-7】 许用应力[ζ]=160MPa的钢丝绳沿铅垂方向绷紧在A、B两点之间，如图2-7所示，绳内预应力为ζ0=100MPa。已知：绳长l=1m，弹性模量E=200GPa，截面积A=1cm2，在l1=0.4m处加一个向下的载荷F。试求： （1）许用载荷[F]以及点C的位移ΔC；
（2）若要提高许用载荷，施力点C应取在何处？[F]可以提高到多少？
图2-7
解 （1）求许用载荷[F]以及点C的位移Δc。 由于钢丝绳内已有预应力，假设：外力F所产生的应力与预应力叠加的结果不为压应力，则可将钢丝绳视为弹性杆求解。外力F在钢丝绳AB段和BC段内产生的轴力为
AC段的应力为
（a）
（b）
可解得
由此，可求得BC段内应力叠加的结果为
为拉应力，因而前面的假设成立。可取许用载荷[F]=10kN。在此外力作用下，点C的位移为
（2）确定外载荷F的作用点及许用载荷的最大值[F]max。
由式（b）可见，要提高许可载荷，应减小l2，同时，由式（a）可知，l2变小会使BC段内的压应力增加，与预拉应力叠加后有可能产生压应力。因此，应使BC段的轴力不低于零以及AB段的应力恰好达到许用值这两个条件同时满足，即
联立求解以上两式，可得
即在距钢丝绳上端0.625m处可施加最大的许可载荷为16kN。
【例2-8】 桁架由杆AB和杆BC组成，如图2-8（a）所示。已知两杆的横截面积均为A=20mm2，长度均为l=300mm，θ=30°，F=5kN。两杆材料相同，应力一应变曲线如图（b）所示，弹性模量为折线变化。试求点B的铅垂位移ΔB。
图2-8
解从桁架的对称性可知两杆的轴力相等，设为FN，由节点B的平衡方程可得
当轴力FN0=120320=2.4kN时，材料的弹性模量将会改变，可将加载过程分为两段来分析。
第一段：各杆轴力为FN=0～2.4kN，各杆伸长为
点B向下的铅垂位移为
第二段：各杆轴力为FN=2.4～5.0kN，各杆伸长为
点B向下的铅垂位移为
点B向下的总铅垂位移为
【例2-9】如图2-9（a）所示的三角形支架，AC为5035035的等边角钢，AB为10号槽钢。已知[ζ]=120MPa，求许用载荷F。
图2-9例2-9图
解 （1）计算轴力
设斜杆为1杆，水平杆为2杆，用截面法取节点A为研究对象，受力图如图2-8（b）所示。
解得
（2）根据斜杆AC的强度条件，求许可载荷
查型钢表得斜杆AC的面积为A1=2cm34.8cm=9.6cm2 N1≤[ζ]A1
（3）根据水平杆AB的强度条件，求许可载荷
查型钢表得水平杆AB的面积为A2=2cm312.74cm=25.48cm2 N2≤[ζ]A2
许用载荷为 F≤min{57.6 176.7}=57.6（kN）
【例2-10】如图2-10（a）所示的两端固定杆，AC、CD和DB三段长度均为l，在C、D两截面处施加沿轴线方向的外力F，杆的横截面面积均为A，求杆内的最大正应力。
图2-10例2-10图
解 由于外力F沿轴线作用，故A、B两端的约束力FA和FB也沿轴线方向，如图2-9（b）所示。由于
得
（a）
因为只有一个平衡方程，故为一次超静定，必须根据补充方程来求解。 由于杆件两端固定，所以整根杆件的轴向变形为零，即
由截面法可求出AC、CD和DB段的轴力，分别为
根据虎克定律得
将物理关系代入几何关系，得到补充方程 （b）联立式（a）和式（b），求解得
各段的轴力分别为
因此，最大正应力发生在CD段，即
【例2-11】在温度为2℃时安装的铁轨，每段铁轨长12.5m，相邻铁轨间预留的空隙为Δl=1.2mm。当夏天气温升为40℃时，铁轨内的温度应力为多少？已知：E=200GPa，线膨胀系数α=12.5310-6/℃。 解 变形协调条件为
将已知条件代入得
故 （受压）
【例2-12】 比较低碳钢和铸铁的断口形状。
解低碳钢断口呈杯状，断口组织为暗灰色的纤维状组织，是典型的韧状断口。铸铁断面平齐，断口组织为闪光的颗粒状组织，是典型的脆状断口。
【自我测试】
一、判断题
1.使杆件产生轴向拉压变形的外力必须是一对沿杆轴线的集中力。（ ） 2.拉杆伸长后，横向会缩短，这是因为杆有横向应力存在。（ ） 3.虎克定律适用于弹性变形范围内。（ ）
图4-5例4-6图
【解】设两杆的轴力为N，圆轴扭矩为T，由静力平衡方程得
上式中包含两个未知量，可见这是一个一次超静定问题。 根据变形协调条件可得几何方程
其中，ψB为圆轴上B截面的扭转角。 其物理方程为
联立上面三个公式，求解可得
4．刚度条件
【例4-7】某空心轴外径D=100mm，内外径比值，轴的转速n=300r/min，
轴所传递的功率P=150kW，材料的许用切应力[η]=40MPa，单位长度许用扭转角[θ]=0.5°/m，切变模量G=80GPa。试校核轴的强度和刚度。 【解】 （1）由外力偶矩计算公式，得
（2）强度校核。由强度条件
（3）刚度校核。由刚度条件
由此可见，该轴的强度和刚度均满足要求。 5.扭转实验
【例4-8】试分析铸铁试件受扭时的破坏现象。
解圆截面铸铁试件扭转时，表面上各点均处于纯剪切应力状态，且切应力最大，其数值为
其中，d为试件直径。由应力状态分析得其主应力及主方向如图4-6所示，各点最大拉应力ζ1，所在平面联成倾角为45°的螺旋面。由于铸铁的抗拉能力较其抗剪和抗压能力都来得差，故试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。
图4-6例4-8图
【自我测试】
一、填空题
1.圆杆扭转时，根据（ ），其纵截面上也存在切应力。
2.铸铁圆杆发生扭转破坏的破断线如图，试画出圆杆所受外力偶的方向。
题2图
3.画出圆杆扭转时，两种截面的切应力分布图。
题3图
4.在计算圆柱形密圈螺旋弹簧簧丝切应力时，考虑到（ ），而加以校正系数。
5.开口薄壁杆扭转时，截面上最大切应力发生在（ ）处；闭口薄壁杆扭转时，截面上最大切应力发生在（ ）处。 二、选择题
1.阶梯圆轴的最大切应力发生在（ ）。 （A）扭矩最大的截面；（B）直径最小的截面； （C）单位长度扭转角最大的截面；（D）不能确定。
2.空心圆轴的外径为D，内径为d，α=d/D。其抗扭截面系数为（ ）。
（A）；（B）；
（C）；（D）。
3.扭转切应力公式适用于（ ）杆件。
（A）任意截面；（B）任意实心截面； （C）任意材料的圆截面；（D）线弹性材料的圆截面。 4.单位长度扭转角θ与（ ）无关。 （A）杆的长度；（B）扭矩； （C）材料性质；（D）截面几何性质。
5.图示圆轴由钢杆和铝套管牢固地结合在一起。扭转变形时，横截面上切应力分布如图（ ）所示。
题5图
三、计算题
1. 圆轴受力和尺寸如题图1所示。已知：d=100mm，Me1=20kN2m，Me2=Me3=10kN2m。 （1）试画出圆轴的扭矩图；
（2）若三个外力偶的位置可以互换，试求最合理布置时圆轴内的最大切应力ηmax。 2.已知空心圆截面杆外径为D，长度为2l，切变模量为D，分布力偶集度为me，如题图2所示。要使截面C的转角为ψ，试求空心圆截面杆内径d。
题图1
题图2
3.圆杆AB如题图3所示，在全长上承受均布力偶的集度为me（kN2m/m），在截面C处承受的集中力偶为Me=me2l。若已知切变模量G，试求截面B的扭转角。
题图3
4.扭转切应力公式对如题图4所示的四种等截面直杆适用的截面有____。
题图4
5.如题图5所示的圆轴在外力偶Me的作用下，其母线AB移至AB′位置，已知产生的微小夹角为α、轴的直径为D以及材料的切变模量为G，则该轴横截面上的最大切应力ηmax=______，扭转角ψ=______。
6.组合圆截面实心轴如题图6所示，截面A和C为固定端，已知：AB段长为lAB，直径为θAB，材料为钢，其切变模量为GS；BC段长为lBC，直径为θBC，材料为黄铜，其切变模量为GB。若在截面B处受到外力偶矩Me作用，试分别求AB段和BC段的扭矩TAB和TBC。
题图5