例1、假设A证券的预期报酬率为10％，标准差是12％。B证券的预期报酬率是18％，标准差是20％。假设等比例投资于两种证券，即各占50％。（1）求该组合的预期报酬率（2）如果两种证券的相关系数等于1，求该组合的标准； 如果两种证券之间的预期相关系数是0.2，则求组合的标准差。
（1）该组合的预期报酬率为： rp=10％×0.50+18％×0.50=14％
例2.假定你投资10000元于一个股票组合，你的选择是期望收益率14%的股票X和期望收益9%的股票Y，如果你的目标是创造一个期望收益12.2%的组合，你对股票X投资是多少？对股票Y的投资是多少？
E(Rp) =0.122 =0.14wX +0.09(1–wX) 得到wX = 0.64
所以，X=0.64×10000 =6400
Y = (1–0.64) ×10000 = 3600
例3：根据如下信息，计算两只股票的期望收益率和标准差 经济状况 经济状况发生的概率 经济状况发生时的收益率 股票A 衰退 正常 繁荣 0.1 0.6 0.3 0.06 0.07 0.11 股票B -0.2 0.13 0.33 E(RA) =0.10(0.06) +0.60(0.07) +0.30(0.11) = 8.10% E(RB) =0.10(–0.2)+0.60(0.13)+0.30(0.33)=15.70%
2?A?0.10(0.06-0.0810)2 +0 .60(0.07-0.0810)2 + 0.30(0.11-0.0810)2 =0 .00037
?A?0.0192
2?B?0.10(-0.2 - 0.1570)2 + 0.60(0.13-0.1570)2 + 0.30(0.33 -0 .1570)2 = 0.02216
?B?0.1489
例4．假设投资100万元，A和B各占50％。如果A和B完全负相关，即一个变量的增加值永远等于另一个变量的减少值。组合的风险被全部抵销，见表1所示。如果A和B完全正相关，即一个变量的增加值永远等于另一个变量的增加值。组合的风险不减少也不扩大，见表2所示。
表1 完全负相关的证券组合数据 方案 A B 组合 年度 收益 报酬率 收益 报酬率 收益 报酬率 19×1 20 40％ -5 -10％ 15 15％ 19×2 -5 -10％ 20 40％ 15 15％ 19×3 17.5 35％ -2.5 -5％ 15 15％ 19×4 -2.5 -5％ 17.5 35％ 15 15％ 19×5 7.5 15％ 7.5 15％ 15 15％ 平均数 7.5 15％ 7.5 15％ 15 15％ 标准差 22.6％ 22.6％ 0 表2 完全正相关的证券组合数据 方案 A B 组合 年度 收益 报酬率 收益 报酬率 收益 报酬率 19×1 20 40％ 20 40％ 40 40％ 19×2 -5 -10％ -5 -10％ -1O -10％ 19×3 17.5 35％ 17.5 35％ 35 35％ 19×4 -2.5 -5％ -2.5 -5％ -5 -5％ 19×5 7.5 15％ 7.5 15％ 15 15％ 平均数 7.5 15％ 7.5 15％ 15 15％ 标准差 22.6％ 22.6％ 22.6％ 实际上，各种股票之间不可能完全正相关，也不可能完全负相关，所以不同股票的投资组合可以降低风险，但又不能完全消除风险。一般而言，股票的种类越多，风险越小。
例5、假设A证券的预期报酬率为10％，标准差是12％。B证券的预期报酬率是18％，标准差是20％。假设等比例投资于两种证券，即各占50％。（1）求该组合的预期报酬率（2）如果两种证券的相关系数等于1，求该组合的标准； 如果两种证券之间的预期相关系数是0.2，则求组合的标准差。
（1）该组合的预期报酬率为： rp=10％×0.50+18％×0.50=14％
（2）如果两种证券的相关系数等于1，没有任何抵销作用，在等比例投资的情况下该组合的标准差等于两种证券各自标准差的简单算术平均数，即16％。
如果两种证券之间的预期相关系数是0.2，组合的标准差会小于加权平均的标准差，其标准差是：
σp=
??WW?iji?1j?1nnij
=(W1W1?11?W2W1?21?W1W2?12?W2W2?22)
=(W1W1r11?1?1?W2W1r21?1?2?W1W2r12?1?2?W2W2r22?2?2) =(W1W1r11?1?2W2W1r21?1?2?W2W2r22?2)
22=(0.5?0.5?1.0?0.122?2?0.5?0.5?0.20?0.12?0.2?0.5?0.5?1.0?0.22) =0.0036?0.0024?0.01 =12.65％
3-2在例3中，两种证券的投资比例是相等的。如投资比例变化了，投资组合的预期报酬率和标准差也会发生变化。对于这两种证券其他投资比例的组合，计算结果见表3。
表3 不同投资比例的组合 对A的 对B的 组合的 组合的 组合 投资比例 投资比例 期望收益率 标准差 1 1 0 10.00％ 12.00％ 2 0.8 0.2 3 0.6 0.4 13.20％ 11.78％ 4 0.4 0.6 14.80％ 13.79％ 5 0.2 0.8 16.40％ 16.65％ 6 O 1 18.00％ 20.00％ 图1描绘出随着对两种证券投资比例的改变，期望报酬率与风险之间的关系。图表中黑点与表3中的六种投资组合一一对应。连接这些黑点所形成的曲线称为机会集，它反映出风险与报酬率之间的权衡关系。
例6.一个投资者拥有10万元现金进行组合投资，共投资十种股票且各占十分之一即 1万元。如果这十种股票的β值皆为1.18，则组合的β值为?p=1.18。该
组合的风险比市场风险大，即其价格波动的范围较大，收益率的变动也较大。现在假设完全售出其中的一种股票且以一种β=0.8的股票取代之。此时，股票组合的β值将由1.18下降至1.142；
?p=0.9×1.18+0.1×0.8=1.142
例1：ABC公司拟于2001年2月1日发行面额为1 000元的债券，其票面利率为8％，每年2月1日计算并支付一次利息，并于5年后的1月31日到期。同等风险投资的必要报酬率为10％，则债券的价值为：
PV=
8080808080+1 000
1 +2 +3 +4 +
(1+10%) (1+10%) (1+10%) (1+10%) (1+10%)5
=80 ×（P/A，10％，5）+1 000×（P/S，10％，5） =80×3.791+1 000×0.621 =303.28+621 =924.28（元）
例2有一纯贴现债券，面值1 000元，20年期。假设折现率为10％，其价值为：
1 000
PV= = 148.60（元）
(1+10%)20
例3.有一5年期国库券，面值1 000元，票面利率12％，单利计息，到期时一次还本付息。假设折现率为10％（复利、按年计息），其价值为：
PV =
1 000+1 000×12%×51 600
= = 993.48（元） 5
(1+10%) 1.6105
例4.有一债券面值为1 000元，票面利率为8%，每半年支付一次利息，5年到
期。假设折现率为10%。
1
按惯例，报价利率为按年计算的名义利率，每半年计息时按年利率的 计算，
2即按4%计息，每次支付40元。折现率按同样方法处理，每半年期的折现率按5%确定。该债券的价值为：
PV =
80
×（p/A，10％÷2，5×2）+1 000×（p/s，10％÷2，5×2） 2
= 40×7.7217+1 000×0.6139 = 308.87+613.90 = 922.77（元）
该债券的价值比每年付息一次时的价值（924.28元）降低了。债券付息期越短价值越低的现象，仅出现在折价出售的状态。如果债券溢价出售，则情况正好相反。
例5 有一面值为1 000元，5年期，票面利率为8％，每半年付息一次的债券。假设折现率为6％，则债券价值为：
PV = 40×（p/A，3％，10）+1 000×（p/s，3％，10） = 40×8.5302+1000×0.7441 = 341.21+744.10 = 1 085.31（元）
该债券每年付息一次时的价值为1 084.29元，每半年付息一次使其价值增加到1 085.31元。
例6.有一优先股，承诺每年支付优先股息40元。假设折现率为10％，则其价值为：
40PV = = 400（元）
10%
例7：ABC公司拟于20×1年2月1日发行面额为1 000元的债券，其票面利率为8％，每年2月1日计算并支付一次利息，并于5年后的1月31日到期。同等风险投资的必要报酬率为10％，则债券的价值为：
PV=
8080808080+1 000
1 +2 +3 +4 +
(1+10%) (1+10%) (1+10%) (1+10%) (1+10%)5
=80 ×（p/A，10％，5）+1 000×（p/s，10％，5） =80×3.791+1 000×0.621 =303.28+621 =924.28（元）
（1）如果在例11中，折现率是8％，则债券价值为： PV=80×（P/A，8％，5）+1 000×（P/S，8％，5） =80×3.9927+1 000×0.6806 =1 000（元）
（2）如果在例11中，折现率是6％，则债券价值为： PV=80×（P/A，6％，5）+1 000×（P/S，6％，5） =80×4.2124+1 000×0.7473 =1 084.29（元）
例8.在例11中，如果到期时间缩短至2年，在折现率等于10％的情况下，债券价值为：
PV=80 ×（p/A，10％，2）+1 000 ×（p/s，10％，2） =80×1.7355+1 000×0.8264 =965.24（元）
例9.在例11中，如果折现率为6％，到期时间为2年时，债券价值为：
PV=80×（p/A，6％，2）+1 000×（p/s，6％，2） =80×1.8334+1 000×0.8900 =1 036.67（元）
在折现率为6％并维持不变的情况下，到期时间为5年时债券价值为1 084.72元，3年后下降至1 036.67元，向面值1 000元靠近了。
例10.在折现率为8％并维持不变的情况下，到期时间为2年时债券价值为：
PV=80×（p/A，8％，2）+1 000×（p/s，8％，2） =80×1.7833+1 000×0.8573 =1 000（元）
例11：某一两年期债券，每半年付息一次，票面利率8％，面值1 000元。假设折现率是8％，计算其债券价值。
由于债券在一年内复利两次，给出的票面利率是以一年为计息期的名义利率，也称为报价利率。实际计息是以半年为计息期的实际利率，即8％的一半即4％，也称“周期利率”。同样如此，由于债券在一年内复利两次，给出的折现率也是名义折现率，实际的周期折现率为8％的一半即4％。由于票面利率与要求的折现率相同，该债券的价值应当等于其面值（1 000元）。验证如下：
V=PV（利息）+PV（本金）
=
404040401 000
+ 2 +3 +4 +1.04 1.04 1.04 1.04 1.044
=1 000（元）
例12.每年分配股利2元，最低报酬率为16％，则：
P0 = 2÷16％=12.5，（元）
例13.ABC公司报酬率为16％，年增长率为12％，D0 =2元，D1 =2×（1+12％）=2×1.12=2.24元，则股票的内在价值为：
P=（2×1.12）÷（0.16-0.12）=56（元）
例14.一个投资人持有ABC公司的股票，他的投资必要报酬率为15％。预计ABC公司未来3年股利将高速增长，增长率为20％。在此以后转为正常增长，增长率为12％。公司最近支付的股利是2元。现计算该公司股票的内在价值。
首先，计算非正常增长期的股利现值（见表）：
表4 非正常增长期的股利现值计算 单位：元 年份 股利（Dt） 现值因数（15％） 现值（PVDt） 1 2×1.2=2.4 0.870 2.088 2 2.4×1.2=2.88 0.756 2.177 3 2.88×1.2=3.456 0.658 2.274 合计（3年股利的现值） 6.539 其次，计算第三年年底的普通股内在价值：
P3 =
D4 D3 ·(1+g)3.456×1.12
= = = 129.02（元） RS -gRS -g0.15-0.12
计算其现值：
PVP3 =129.02×（p/s，15％，3）=129.02×0.6575=84.831（元） 最后，计算股票目前的内在价值：P0 =6.539+84.831=91.37（元）
例15.有一只股票的价格为20元，预计下一期的股利是1元，该股利将以大约10％的速度持续增长。该股票的期望报酬率为：
R=1/20+10％=15％
如果用15％作为必要报酬率，则一年后的股价为： P1 =D1 ×（1+g）/（R-g）=1×（1+10％）/（15％-10％）=1.1/5％=22（元） 如果你现在用20元购买该股票，年末你将收到1元股利，并且得到2元（22-20）的资本利得：
总报酬率=股利收益率+资本利得收益率 =1/20+2/20 =5％+10％ =15％
=
404040401 000
+ 2 +3 +4 +1.04 1.04 1.04 1.04 1.044
=1 000（元）
例12.每年分配股利2元，最低报酬率为16％，则：
P0 = 2÷16％=12.5，（元）
例13.ABC公司报酬率为16％，年增长率为12％，D0 =2元，D1 =2×（1+12％）=2×1.12=2.24元，则股票的内在价值为：
P=（2×1.12）÷（0.16-0.12）=56（元）
例14.一个投资人持有ABC公司的股票，他的投资必要报酬率为15％。预计ABC公司未来3年股利将高速增长，增长率为20％。在此以后转为正常增长，增长率为12％。公司最近支付的股利是2元。现计算该公司股票的内在价值。
首先，计算非正常增长期的股利现值（见表）：
表4 非正常增长期的股利现值计算 单位：元 年份 股利（Dt） 现值因数（15％） 现值（PVDt） 1 2×1.2=2.4 0.870 2.088 2 2.4×1.2=2.88 0.756 2.177 3 2.88×1.2=3.456 0.658 2.274 合计（3年股利的现值） 6.539 其次，计算第三年年底的普通股内在价值：
P3 =
D4 D3 ·(1+g)3.456×1.12
= = = 129.02（元） RS -gRS -g0.15-0.12
计算其现值：
PVP3 =129.02×（p/s，15％，3）=129.02×0.6575=84.831（元） 最后，计算股票目前的内在价值：P0 =6.539+84.831=91.37（元）
例15.有一只股票的价格为20元，预计下一期的股利是1元，该股利将以大约10％的速度持续增长。该股票的期望报酬率为：
R=1/20+10％=15％
如果用15％作为必要报酬率，则一年后的股价为： P1 =D1 ×（1+g）/（R-g）=1×（1+10％）/（15％-10％）=1.1/5％=22（元） 如果你现在用20元购买该股票，年末你将收到1元股利，并且得到2元（22-20）的资本利得：
总报酬率=股利收益率+资本利得收益率 =1/20+2/20 =5％+10％ =15％