2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷·理)
数 学 第Ⅰ卷
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置
上．)
1．已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.
2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三年级学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生． 11－7i
3．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值是________．
1－2i4．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是________． 5．函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________． 6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率为________．
7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.
x2y28．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线m－2＝1的离心率为5，则m的值为________．
m＋4→→
9．如图在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF→→＝2，则AE·BF的值是________．
ax＋1，－1≤x＜0，??
10．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝?bx＋2
，0≤x≤1，??x＋11??3?
其中a，b∈R.若f??2?＝f?2?，则a＋3b的值为________．
π4π
α＋?＝，则sin?2α＋?的值为________． 11．设α为锐角，若cos?12??6?5?
12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
13．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的
解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
b
14．已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，cln b≥a＋cln c，则a的取值范围是________．
第Ⅱ卷
二、解答题(本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
→→→15．(本小题满分14分)在△ABC中，已知AB·AC＝3BA·BC.
(1)求证：tan B＝3tan A； (2)若cos C＝
5
，求A的值． 5
16．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B1
＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE.
17．(本小题满分14分)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地
平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－
1
(1＋k2)x2(k20
＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
18．(本小题满分16分)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点． (1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；
(3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个数． 19．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭
x2y2
圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，abF2(c,0)．已知点(1，e)和e，圆的离心率． (1)求椭圆的方程；
(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P. (ⅰ)若AF1－BF2＝
6
，求直线AF1的斜率； 2
??3?都在椭圆上，其中e为椭2?(ⅱ)求证：PF1＋PF2是定值．
20．(本小题满分16分)已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an＋1＝
N*.
?bn?2?bn?(1)设bn＋1＝1＋a，n∈N*，求证数列：???a?是等差数列；
n
an＋bn
22，n∈an＋bn
?
n
?
bn*
(2)设bn＋1＝2·，n∈N，且{an}是等比数列，求a1和b1的值． an
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内
作答．若多做，则按作答的前两小题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C.
[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)
B．已知矩阵A的逆矩阵A
－1
?－4 4?
＝?，求矩阵A的特征值．
11??2 －2?
13
C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
ππ3
2，?，圆心为直线ρsin ?θ－?＝－与极轴的在极坐标系中，已知圆C经过点P?4???3?2交点，求圆C的极坐标方程．
1
D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－
315y|＜，求证：|y|＜.
618
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分)设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两
条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.
(1)求概率P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．
23．(本小题满分10分)设集合Pn＝{1,2，…，n}，n∈N*.记f(n)为同时满足下列条件的集合
A的个数：
①A?Pn；②若x∈A，则2x?A；③若x∈?PnA，则2x??PnA. (1)求f(4)；
(2)求f(n)的解析式(用n表示)．
参考答案
1．解析：∵A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6} ∴A∪B＝{1,2,4,6}． 答案：{1,2,4,6}
2．解析：应从高二年级抽取50×答案：15
3
＝15(名)．
3＋3＋4
11－7i?11－7i??1＋2i?
3．解析：＝＝5＋3i
1－2i?1－2i??1＋2i?∴a＋b＝5＋3＝8. 答案：8
4．解析：解k2－5k＋4＞0得k＜1或k＞4， 又k∈N*，∴输出k的值是5. 答案：5
??1－2log6x≥0
5．解析：?，∴0＜x≤6
?x＞0?
∴函数的定义域是(0，6]． 答案：(0，6]
6．解析：等比数列通项公式为an＝(－3)n1，
－
∴当n为偶数时an＜0，当n为奇数只有a1＝1＜8 63
∴所求事件的概率为＝.
1053
答案：
5
7．解析：棱锥A－BB1D1D的高h就是Rt△ABD斜边BD上的高， AB·AD∴h＝BD S底＝BD·BB1
AB·AD11∴V＝S底h＝·BD·BB1·BD
331
＝BB1·AB·AD 31
＝×2×3×3＝6. 3答案：6
8．解析：a2＝m，b2＝m2＋4，∴c2＝m2＋m＋4
2
c2m＋m＋4∴e＝2＝＝5
ma2
∴m＝2. 答案：2
9．解析：建立如图的直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)，E(2，→→
1)，设F(x,2)，则AF＝(x,2)，AB＝(2，0)
∴x·2＋2·0＝2，∴x＝1
→→
∴AE＝(2，1)，BF＝(1－2，2) →→∴AE·BF＝2·(1－2)＋1·2＝2. 答案：2
10．解析：∵函数周期为2 3??1?13
－，又f??＝f?? ∴f?＝f?2??2??2??2?1??1?
∴f??2?＝f?－2?，又f(－1)＝f(1)
??∴?
b＋2
?－a＋1＝?1＋1
?a＝2?∴? ?b＝－4?
1
b＋221
－a＋1＝21
＋12
∴a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10. 答案：－10
π
11．解析：∵0＜α＜ 2ππ2π∴＜α＋＜ 663π
α＋?＞0 ∴sin??6?πα＋?＝∴sin ??6?π3
α＋?＝ 1－cos2??6?5
πππ24
α＋?＝2sin?α＋?cos?α＋?＝ ∴sin 2??6??6??6?25πππ7α＋?＝cos2?α＋?－sin2?α＋?＝ cos 2??6??6??6?25πππ
α＋?－? 2α＋?＝sin?2?∴sin??6?412??
??ππππ
α＋?cos －cos 2?α＋?sin ＝sin 2??6??6?4424272172＝×－×＝. 25225250答案：172
50
12．解析：由题意知，当k取最大值时，两圆相外切，且两圆心连线与直线y＝kx－2
垂直．
如图设直线y＝kx－2与坐标轴分别交于A、B两点，圆心C(4,0) 设OB＝x，由于CD＝OA＝2 ∴Rt△OAB≌Rt△DCB ∴AB＝BC＝4－x ∴x2＋22＝(4－x)2 3∴x＝
2
24
∴k＝tan ∠OBA＝＝.
3324
答案：
3
13．解析：由f(x)＜c得x2＋ax＋b－c＜0 a－4b＝0 ①??
∴?m＋?m＋6?＝－a ②??m?m＋6?＝b－c ③
2
1
由①得b＝a2 ④
4－a－6
由②得m＝ ⑤
2④⑤代入③得
－a－6?－a－6?12
＝a－c
2?2＋6?4化简得c＝9. 答案：9
??3a＋b≥5c，
14．解析：由题意知?
a
cln b－a≥cln c?b≥ce??c.
a＋b≤4c，
作出可行域(如图所示)．
??a＋b＝4c，由? ?3a＋b＝5c，?
c7得a＝，b＝c.
22b?此时??a?max＝7. a＋b＝4c，??由? a
b＝ce，?c?
4c4ce得a＝，b＝. e＋1e＋14ce
e＋1b?此时?＝＝e. min
?a?4c
e＋1b
所以a∈[e,7]． 答案：[e,7]
→→→→
15．解析：(1)因为AB·AC＝3BA·BC， 所以AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B，
ACBC即AC·cos A＝3BC·cos B，由正弦定理知＝，
sin Bsin A从而sin Bcos A＝3sin Acos B，
又因为0＜A＋B＜π，所以cos A＞0，cos B＞0， 所以tan B＝3tan A. (2)因为cos C＝5
，0＜C＜π， 5
25， 5
所以sin C＝1－cos2 C＝从而tan C＝2，
于是tan[π－(A＋B)]＝2，即tan(A＋B)＝－2，
tan A＋tan B4tan A1亦即＝－2，由(1)得2＝－2，解得tan A＝1或－， 31－tan Atan B1－3tan Aπ因为cos A＞0，故tan A＝1，所以A＝.
4
16．证明：(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1，又AD?平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE. 17．解析：(1)令y＝0，得kx－
1
(1＋k2)x3＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0， 20
20k2020
故x＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号． 3＝121＋k
k＋k所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a＞0，所以
1
炮弹可击中目标?存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立
20?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ?判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0 ?a≤6.
所以当a不超过6(千米)时，可击中目标．
18．解析：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，
解得a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x＜－2时，g′(x)＜0；
当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点． 当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点． 所以g(x)的极值点为－2.
(3)令f(x)＝t，则h(x)＝f(t)－c.先讨论关于x的方程f(x)＝d根的情况，d∈[－2,2]． 当|d|＝2时，由(2)可知，f(x)＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)＝2的两个不同的根为－1和2.
当|d|＜2时，因为f(－1)－d＝f(2)－d＝2－d＞0，f(1)－d＝f(－2)－d＝－2－d＜0， 所以－2，－1,1,2都不是f(x)＝d的根． 由(1)知f′(x)＝3(x＋1)(x－1)．
① 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)＞f(2)＝2， 此时f(x)＝d无实根．
同理，f(x)＝d在(－∞，－2)上无实根．
②当x∈(1,2)时，f′(x)＞0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)－d＜0，f(2)－d＞0，y＝f(x)－d的图象不间断，
所以f(x)＝d在(1,2)内有唯一实根． 同理，f(x)＝d在(－2，－1)内有唯一实根．
③当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，故f(x)是单调减函数，又f(－1)－d＞0，f(1)－d＜0，y＝f(x)－d的图象不间断，
所以f(x)＝d在(－1,1)内有唯一实根．
由上可知：当|d|＝2时，f(x)＝d有两个不同的根x1，x2满足|x1|＝1，|x2|＝2； 当|d|＜2时，f(x)＝d有三个不同的根x3，x4，x5满足|xi|＜2，i＝3,4,5. 现考虑函数y＝h(x)的零点．
(ⅰ)当|c|＝2时，f(t)＝c有两个根t1，t2满足|t1|＝1，|t2|＝2，而f(x)＝t1有三个不同的根，f(x)＝t2有两个不同的根，故y＝h(x)有5个零点．
(ⅱ)当|c|＜2时，f(t)＝c有三个不同的根t3，t4，t5满足|ti|＜2，i＝3,4,5，而f(x)＝ti(i＝3,4,5)有三个不同的根，故y＝h(x)有9个零点．
综上可知，当|c|＝2时，函数y＝h(x)有5个零点； 当|c|＜2时，函数y＝h(x)有9个零点．
cc21
19．解析：(1)由题设知a＝b＋c，e＝.由点(1，e)在椭圆上，得2＋22＝1，解得b2
aaab
2
2
2
＝1，于是c2＝a2－1，
a－13e233??又点e，在椭圆上，所以2＋2＝1，即4＋＝1，解得a2＝2.
a4ba42??x22
因此，所求椭圆的方程是＋y＝1.
2
2
(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x＋1＝my，直线BF2的方程为x－1＝my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞0，y2＞0.
x??21＋y21＝1，由?得(m2＋2)y21－2my1－1＝0，解得y1＝??x1＋1＝my1，m＋2m2＋2
，
m2＋2
故AF1＝?x1＋1?＋?y1－0?＝222
?my1?＋y21＝
22?m2＋1?＋mm2＋1
.①
m2＋2
2?m2＋1?－mm2＋1
同理，BF2＝.②
m2＋2
2mm2＋12mm2＋16
(ⅰ)由①②得AF1－BF2＝，解＝，得m2＝2，注意到m＞0，222m＋2m＋212
故m＝2.所以直线AF1的斜率为m＝. 2
(ⅱ)证明：因为直线AF1与BF2平行，所以故PF1＝
AF1BF.
AF1＋BF21
PB＋PF1BF2＋AF1PBBF2＝，于是＝， PF1AF1PF1AF1
由B点在椭圆上知BF1＋BF2＝22， 从而PF1＝同理PF2＝
AF1(22－BF2)．
AF1＋BF2
BF2(22－AF1)．
AF1＋BF2
AF1BF2(22－BF2)＋(22－AF1)
AF1＋BF2AF1＋BF2
因此，PF1＋PF2＝
2AF1·BF2＝22－. AF1＋BF2
22?m2＋1?m2＋1
又由①②知AF1＋BF2＝，AF1·BF2＝2，
m2＋2m＋2所以PF1＋PF2＝22－
232＝.因此，PF1＋PF2是定值． 22
an＋bn
2 a2n＋bn
20．解析：证明：(1)由题设知an＋1＝
bn1＋a
nn
＝
bn?21＋??a?
＝
bn＋1
， bn2?1＋??an?
bn＋1
所以＝an＋1
?
n
bn?2?bn＋1?2－?bn?2＝1(n∈N*)， 1＋?，从而?a＋??a??an?n?n1?
?
?bn?2??所以数列???a?是以1为公差的等差数列．
?an＋bn?222
(2)因为an＞0，bn＞0，所以≤an＋b2n＜(an＋bn)， 2从而1＜an＋1＝
an＋bn
2a2n＋bn
≤2.(*)
设等比数列{an}的公比为q，由an＞0知q＞0.下证q＝1.
a32
若q＞1，则a1＝q＜a2≤2，故当n＞logq 时，an＋1＝a1qn＞2，与(*)矛盾；
a1a21
若0＜q＜1，则a1＝q＞a2＞1，故当n＞logq时，an＋1＝a1qn＜1，与(*)矛盾．
a1综上，q＝1，故an＝a1(n∈N*)，所以1＜a1≤2.
bn22
又bn＋1＝2·＝·bn(n∈N*)，所以{bn}是公比为的等比数列．
ana1a1若a1≠2，则
2a1
＞1，于是b1＜b2＜b3.
2a1±a212－a1
又由a1＝22得bn＝，所以b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾．所
a21－1a1＋bn
a1＋bn
2a1±a212－a1
以a1＝2，从而bn＝＝2.
a21－1
所以a1＝b1＝2.
21．A证明：连结OD，因为BD＝DC，O为AB的中点， 所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.
因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.
因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，
故∠E＝∠B，所以∠E＝∠C.
B解析：因为A1A＝E，所以A＝(A1)1.
－
－
－
?－4 4?
因为A＝?，所以A＝(A
11??2 －2?
1
13
－1－1
?2 )＝?
?2
3?1?
?，
?λ－2 －3?2
于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝??＝λ－3λ－4.
? －2 λ－1?
令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.
π3
θ－?＝－中令θ＝0，得ρ＝1， C解析：在ρsin??3?2所以圆C的圆心坐标为(1,0)． π
2，?， 因为圆C经过点P?4??所以圆C的半径PC＝的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
D证明：因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|， 112155
由题设知|x＋y|＜，|2x－y|＜，从而3|y|＜＋＝，所以|y|＜. 3636618
22．解析：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有
8C23对相交棱，因此
8×348C23P(ξ＝0)＝2＝＝.
C126611
π?2?2＋12－2×1×2cos ＝1，于是圆C过极点，所以圆C
4
(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P(ξ＝2)61＝2＝， C1211
416
于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－－＝，
111111所以随机变量ξ的分布列是
ξ P(ξ) 616＋2因此E(ξ)＝1×＋2×＝. 11111123．解析：(1)当n＝4时，符合条件的集合A为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f(4)＝4.
(2)任取偶数x∈Pn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k次以后，商必为奇数，此时记商为m，于是x＝m·2k，其中m为奇数，k∈N*.
由条件知，若m∈A，则x∈A?k为偶数； 若m?A，则x∈A?k为奇数．
于是x是否属于A由m是否属于A确定．设Qn是Pn中所有奇数的集合，因此f(n)等nn＋1?于Qn的子集个数．当n为偶数(或奇数)时，Pn中奇数的个数是?或，所以f(n)＝
2?2?0 4 111 6 112 1 11??n＋1
?22， n为奇数.
n
2， n为偶数，2